Mathématiques: thèmes généraux


ART & MATHÉMATIQUE

  • Écrit par 
  • Georges CHARBONNIER
  •  • 4 468 mots

Il semble bien que l'activité mathématique a toujours sous-tendu la création artistique, tout d'abord en ignorance de cause, puis intuitivement, enfin consciemment. Et, plus directement encore, à des fins heuristiques.Dès les premiers essais de représentation de l'animal et du corps humain, l'homme a été aux prises avec l'idée simple de symétrie. Les premières représentations de l'animal concernen […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/art-et-mathematique/#i_0

CALCUL, mathématique

  • Écrit par 
  • Philippe FLAJOLET
  •  • 1 792 mots

C'est par l'utilisation de petits cailloux (caillou se dit en latin calculus) que les jeunes Romains apprenaient à compter. Le calcul est, à l'origine, étroitement associé à la notion de nombre entier et de nombre rationnel. Étant donné un mode de représentation concret des nombres – Babyloniens, Égyptiens, Grecs, Romains, Indiens ou Chino […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/calcul-mathematique/#i_0

COMPLEXITÉ, mathématique

  • Écrit par 
  • Jean-Paul DELAHAYE
  •  • 1 631 mots

Au cœur de l'informatique théorique, la théorie du calcul – ou théorie de la calculabilité – née dans la décennie 1930 des travaux de Kurt Gödel (1906-1978), Alan Turing (1912-1954) et Alonzo Church (1903-1995), répond à des questions sur ce qui est faisable dans l'absolu par le calcul avec un ordinateur. Elle énonce des résultats négatifs du type : il es […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/complexite-mathematique/#i_0

CONSTRUCTIVISME, mathématique

  • Écrit par 
  • Jacques-Paul DUBUCS
  •  • 1 379 mots

Le constructivisme est une philosophie des mathématiques définie par deux composantes. Au plan ontologique, le constructiviste considère les objets mathématiques, non comme existant « par eux-mêmes », mais comme le résultat des constructions mentales du mathématicien. Au plan méthodologique, il insiste sur l'importance des preuves dites « constructives », c'est-à-dire des démonstrations qui, si el […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/constructivisme-mathematique/#i_0

CONVENTIONNALISME, mathématique

  • Écrit par 
  • Gerhard HEINZMANN
  •  • 1 057 mots

Selon Kant, les jugements mathématiques ne sont ni analytiques et nécessaires, ni synthétiques et contingents. Ils sont synthétiques et a priori. Le conventionnalisme mathématique est une conception philosophique qui abandonne le caractère synthétique a priori des jugements géométriques. En effet, l'existence de plusieurs géométries possibles met en péril la solution kantienne. Si la négation de l […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/conventionnalisme-mathematique/#i_0

ERREUR

  • Écrit par 
  • Bertrand SAINT-SERNIN
  •  • 4 886 mots
  •  • 2 médias

Dans le chapitre « L'erreur en mathématiques »  : […] L'idée de présenter les théories d'une manière axiomatique date des Grecs, et les Éléments d'Euclide ont constitué à cet égard un modèle pendant plus de deux millénaires. En fait, on s'est aperçu, au cours des siècles, que les figures jouaient un rôle équivoque dans certaines démonstrations, et on s'est efforcé de dissocier les représ […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/erreur/2-l-erreur-en-mathematiques/

FINITISME ET ULTRAFINITISME, mathématique

  • Écrit par 
  • Jacques-Paul DUBUCS
  •  • 1 498 mots

Le finitisme est un point de vue sur les fondements des mathématiques essentiellement défendu par le mathématicien David Hilbert (1862-1943) dans les années 1920, et particulièrement développé dans „Sur l'infini“, son célèbre article de 1925.Le principe fondamental du finitisme consiste à me […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/finitisme-et-ultrafinitisme-mathematique/#i_0

FONDATIONNALISME ET ANTIFONDATIONNALISME, mathématique

  • Écrit par 
  • Jean-Paul DELAHAYE
  •  • 874 mots

Jamais dans aucune science la recherche de fondements – ou de fondations – n'a été aussi approfondie qu'en mathématiques. Les méthodes proposées sont nombreuses et le débat qui est né de ces diverses propositions (voir les articles liés) semble sans fin et ne pas progresser vers une solution unique pouvant recueillir un soutien unanime (alors que les mathématiques, elles, avancent à grands pas et […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/fondationnalisme-et-antifondationnalisme-mathematique/#i_0

FORMALISME

  • Écrit par 
  • Étienne BALIBAR, 
  • Pierre MACHEREY
  •  • 5 016 mots
  •  • 1 média

Au sens moderne la formalisation est la présentation des théories scientifiques – et, en premier lieu sinon exclusivement, des mathématiques – dans le cadre d'un système formel, permettant de caractériser sans ambiguïté les expressions du langage et les règles de démonstration recevables.On aurait tort de considérer pour autant que l'importance scientifique de la formalisation […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/formalisme/#i_0

IDÉALISME

  • Écrit par 
  • Jean LARGEAULT
  •  • 9 545 mots

Dans le chapitre « Les mathématiques et l'idéalisme »  : […] La réalité mathématique se présente sous trois aspects : entités, conceptions abstraites, symboles. Privilégier l'un de ces aspects à l'exclusion des autres donne à chaque fois une philosophie des mathématiques : platonisme ou réalisme, constructivisme, formalisme. L'attitude constructiviste, représentée par les intuitionnistes qui se rangent du côté de L […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/idealisme/5-les-mathematiques-et-l-idealisme/

INFORMATIQUE ET VÉRITÉ MATHÉMATIQUE

  • Écrit par 
  • Jean-Paul DELAHAYE
  •  • 1 995 mots
  •  • 1 média

« Tel nombre est premier », « tels graphes sont isomorphes », « telle classification est complète », etc. Traditionnellement, en mathématiques, la certitude concernant de telles affirmations formelles ne peut résulter que d'une démonstration. La pratique, cependant, semble remettre en question certaines des idées communément admises en la matière. L'informati […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/informatique-et-verite-mathematique/#i_0

INTUITIONNISME

  • Écrit par 
  • Jacques-Paul DUBUCS
  •  • 1 653 mots

Dans l'acception technique et contemporaine du mot, c'est-à-dire quand le terme ne se contente pas de caractériser une philosophie faisant à l'intuition une large part, l'intuitionnisme est à la fois une doctrine relative aux mathématiques, à la vérité et au langage, et une logi […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/intuitionnisme/#i_0

INVARIANT, mathématique

  • Écrit par 
  • Nicole BERLINE
  •  • 1 742 mots

À l'origine, la notion d'invariant est relative à un changement de repère en géométrie. L'un des premiers exemples concerne les coniques, c'est-à-dire les courbes, dans le plan, données par une équation du second degré ax2 + 2bxy + cy […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/invariant-mathematique/#i_0

ITÉRATION, mathématique

  • Écrit par 
  • Jean-Paul DELAHAYE, 
  • Universalis
  •  • 838 mots

Itérer signifie recommencer, faire à nouveau. Construire les nombres entiers peut être vu comme l'opération consistant à partir de zéro à itérer indéfiniment l'ajout d'une unité.Plus généralement, en mathématiques, lorsqu'une fonction ou opération est disponible, il est fréquent d'en envisager l'itération, celle-ci conduisant soit à de nouvelles fonctions ou opérations, soit à des structures ou pr […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/iteration-mathematique/#i_0

KOLMOGOROV THÉORIE DE LA COMPLEXITÉ DE

  • Écrit par 
  • Jean-Paul DELAHAYE
  •  • 567 mots

La théorie de la complexité de Kolmogorov d'une suite numérique S est définie comme la taille, K(S), du plus court programme P qui, confié à une machine universelle (tout ordinateur contemporain en est une), produit la suite S. Cette notion est séduisante car elle synthétise en un seul nombre plusieurs mesures de complexité dont celle que propose la […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/theorie-de-la-complexite-de-kolmogorov/#i_0

LE PROBLÈME DES OBJETS DANS LA PENSÉE MATHÉMATIQUE (M. Caveing)

  • Écrit par 
  • Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
  •  • 1 030 mots

Qu'est-ce qu'un « objet mathématique » ? Depuis l'Antiquité, cette importante question d'épistémologie mathématique et quelques autres qui lui sont liées (les objets mathématiques ont-ils une existence propre, préalable à tout travail mathématique, ou non ? sont-ils découverts ou inventés ?) sont débattues. Maurice Caveing, directeur de recherche honora […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/le-probleme-des-objets-dans-la-pensee-mathematique/#i_0

MATHÉMATIQUE

  • Écrit par 
  • Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
  •  • 6 374 mots
  •  • 1 média

La mathématique est une science hypothético-déductive qui, en développant un langage autonome, élabore et étudie des notions abstraites liées les unes aux autres et souvent capables de fournir des modèles et des processus opératoires permettant de mieux comprendre de nombreux aspects du monde observable, en particulier lorsque peuvent être invoquées des idées de quantité, de forme et de partie de […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/mathematique/#i_0

MATHÉMATIQUE ÉPISTÉMOLOGIE DE LA

  • Écrit par 
  • Jean-Michel SALANSKIS
  •  • 2 885 mots

Certes, l'épistémologie se distingue de toutes les réflexions d'ordre éthique ou politique qui interrogent la science et entendent contribuer à la réponse individuelle et collective à la question pratique « Que faire de la science ? ». Elle ne prétend pas travailler à la constitution d'une « conscience » de la science. Mais, en […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/epistemologie-de-la-mathematique/#i_0

MODÈLE

  • Écrit par 
  • Raymond BOUDON, 
  • Hubert DAMISCH, 
  • Jean GOGUEL, 
  • Sylvanie GUINAND, 
  • Bernard JAULIN, 
  • Noël MOULOUD, 
  • Jean-François RICHARD, 
  • Bernard VICTORRI
  •  • 24 526 mots
  •  • 2 médias

Dans le chapitre « Le modèle mathématique »  : […] On sait, notamment depuis Cantor et Zermelo, que la plupart des notions de la mathématique peuvent être explicitées dans le cadre d'une théorie du premier ordre dont les axiomes affirment l'existence de certains objets appelés « ensembles » (cf. théorie élémentaire desensembles). La réduction à laquelle il est fait allusion signifie, entre autres choses, qu'un nombre réel, […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/modele/1-le-modele-mathematique/

NOMINALISME, mathématique

  • Écrit par 
  • Jean-Paul DELAHAYE
  •  • 932 mots

Le nominalisme dans son sens traditionnel est le refus de considérer qu'il existe des entités abstraites (les universaux). Très brièvement : les entités abstraites aident l'esprit à se repérer dans le monde et permettent la communication entre les hommes, mais fondamentalement elles sont illusoires. Depuis Guillaume d'Ockham (1290 env.-env. 1349), les nombreux objets considérés en mathématiques et […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nominalisme-mathematique/#i_0

NOTATION MATHÉMATIQUE

  • Écrit par 
  • Hans FREUDENTHAL
  •  • 10 362 mots
  •  • 1 média

Pour connaître une langue naturelle, il n'est pas nécessaire d'en apprendre l'histoire ni, pour comprendre sa littérature, de faire l'étude historique de la grammaire et du vocabulaire. À cet égard, le langage mathématique, en raison de son caractère plutôt artificiel, se p […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/notation-mathematique/#i_0

OBJET

  • Écrit par 
  • Gilles Gaston GRANGER
  •  • 8 224 mots

Dans le chapitre « Les objets mathématiques »  : […] Les objets mathématiques ont bien évidemment des propriétés, un contenu, qui les différencie non en tant qu'individus réalisés hic et nunc, mais en tant que concepts déterminés, car ils ne sont pas saisissables comme tels dans une expérience sensible. Les philosophes ont pris à leur égard des positions très variées, qu'on peut cependant répartir entre que […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/objet/2-les-objets-mathematiques/

OBJET MATHÉMATIQUE

  • Écrit par 
  • Patrick DEHORNOY
  •  • 1 063 mots

Le but des mathématiques est de démontrer des résultats non triviaux sur ce qu'on peut appeler globalement des objets mathématiques. Il en existe de nombreux types : nombres entiers, nombres réels, points, droites ou courbes de la géométrie, suites, séries et fonctions de l'analyse, ensembles divers, ensembles […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/objet-mathematique/#i_0

OBJET UNIVERSEL, mathématique

  • Écrit par 
  • Patrick DEHORNOY
  •  • 1 055 mots

Des objets universels apparaissent dans de multiples contextes mathématiques, mais l'idée de base est commune : un objet universel est un objet à partir duquel tous les autres membres de la famille considérée peuvent se reconstruire. Par conséquent, un objet universel est, quand il existe, le plus grand, le plus général de la famille. L'existence d'un tel objet permet d'économiser des démonstratio […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/objet-universel-mathematique/#i_0

PHÉNOMÉNOLOGIE, mathématique

  • Écrit par 
  • Jean-Michel SALANSKIS
  •  • 1 349 mots

La phénoménologie, courant majeur de la philosophie au xxe siècle, a donné lieu à un regard sur les mathématiques, non seulement parce que, philosophie absolument générale, elle ne jugeait rien comme étranger à sa compétence, mais aussi parce que le fondateur du […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/phenomenologie-mathematique/#i_0

PHYSIQUE - Physique et mathématique

  • Écrit par 
  • Jean-Marc LÉVY-LEBLOND
  •  • 7 216 mots

L'existence d'une relation particulière entre la physique et les mathématiques est universellement reconnue. Les témoignages explicites en abondent à travers toute l'histoire de la physique, à commencer par la célèbre assertion de Galilée : « La philosophie est écrite dans ce livre immense perpétuellement ouvert d […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/physique-physique-et-mathematique/#i_0

PRÉDICATIVISME, mathématique

  • Écrit par 
  • Philippe de ROUILHAN
  •  • 1 011 mots

Doctrine selon laquelle certaines définitions naïvement reçues de la logique ou des mathématiques classiques recèlent une certaine sorte de circularité qu'on retrouve à l'origine de tous les grands paradoxes et qui, même quand elle n'y conduit pas, devrait être interdite. Le principe de cette interdiction est le « princip […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/predicativisme-mathematique/#i_0

QUASI-EMPIRISME, mathématique

  • Écrit par 
  • Jean-Paul DELAHAYE
  •  • 1 246 mots

La statue du portail royal de la cathédrale de Chartres, qui représente Euclide avec des instruments en main, montre clairement que, dans l'esprit des artistes et artisans du Moyen Âge, le mathématicien géomètre possède des outils et élabore son savoir en les utilisant, c'est-à-dire en se confrontant au monde réel. Pourtant, l'idée que les mathématiques sont une science à part où la démonstration […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/quasi-empirisme-mathematique/#i_0

RÉALISME, mathématique

  • Écrit par 
  • Hourya BENIS-SINACEUR
  •  • 2 174 mots

Le réalisme affirme l'existence, indépendante et préalable à la connaissance que nous en avons, des entités mathématiques : nombres, figures, ensembles, fonctions, variétés, etc. Pour le réaliste, le mathématicien manipule des objets bien déterminés qui défient son intelligence. Connaître n'est pas […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/realisme-mathematique/#i_0

STRUCTURALISME, mathématique

  • Écrit par 
  • Jean-Paul DELAHAYE
  •  • 1 697 mots

Concernant les mathématiques, deux « doctrines » assez différentes portent le nom de structuralisme. D'une part, le mot désigne une façon d'envisager l'organisation du champ des mathématiques autour des structures comme le sont les groupes, les ensembles ordonnés, les espaces topologiques, etc. Cette vision a été défendue en France par […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/structuralisme-mathematique/#i_0

VÉRITÉ, mathématique

  • Écrit par 
  • Jean-Paul DELAHAYE
  •  • 1 310 mots

Assez paradoxalement, la notion de vérité mathématique est délicate du point de vue du philosophe et peu problématique dans le travail quotidien du mathématicien. Comprendre cette opposition est crucial pour se faire une idée juste des mathématiques contemporaines.Une multitude d'attitudes sont possibles vis-à-vis du sens à donner aux énoncés mathématiq […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/verite-mathematique/#i_0


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Étalage de fruits sur un marché de Bombay (Inde)

Étalage de fruits sur un marché de Bombay (Inde)

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Les fruits sphériques ou quasi sphériques, et de même taille, y sont remarquablement rangés en pyramides. La reconnaissance empirique du fait que ce type d'empilement de sphères égales semble offrir la densité maximale possible remonte peut-être à quelques millénaires.... 

Crédits : Photodisc collection/ Getty

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Angle, démonstration 1

Angle, démonstration 1

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Angle, démonstration 1 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Angle, démonstration 2

Angle, démonstration 2

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Angle, démonstration 2 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Étalage de fruits sur un marché de Bombay (Inde)

Étalage de fruits sur un marché de Bombay (Inde)
Crédits : Photodisc collection/ Getty

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Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Angle, démonstration 2

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Crédits : Encyclopædia Universalis France

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