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GAUSS CARL FRIEDRICH (1777-1855)

La rigueur

Non seulement Gauss nous apparaît tout proche de la pensée moderne par son sens profond des « structures » cachées sous les phénomènes mathématiques et de leur caractère général, mais c'est lui aussi qui le premier insiste avec vigueur sur la nécessité de démonstrations absolument rigoureuses, sans recours à de plus ou moins fallacieuses « intuitions » (exigence d'ailleurs tout à fait naturelle dès que précisément les notions de base deviennent plus abstraites). Beaucoup de ses efforts les plus acharnés visent à fournir des démonstrations irréprochables pour des théorèmes énoncés par ses prédécesseurs mais ne s'appuyant que sur des raisonnements vagues ou incomplets : deux exemples célèbres sont le théorème fondamental de l'algèbre, qu'avaient cherché à démontrer entre autres d'Alembert, Euler et Lagrange, et la loi de réciprocité quadratique de Legendre, dont ce dernier n'était jamais parvenu à donner une preuve complète. Mais c'est surtout en analyse que le besoin d'une réforme se faisait sentir. Sous l'influence des Bernoulli et d'Euler, les mathématiciens du xviiie siècle avaient totalement négligé d'asseoir sur des bases solides leurs raisonnements de calcul infinitésimal et notamment n'hésitaient pas à calculer sur des séries divergentes, ils obtenaient d'ailleurs souvent ainsi des résultats exacts (pour des raisons qui nous sont maintenant claires mais ne pouvaient absolument pas être comprises à cette époque), et cela ne laissait pas de les encourager à persévérer dans leurs erreurs. Ici encore, Gauss est le précurseur du retour à la rigueur, qui se manifestera dans toute sa force chez ses successeurs immédiats, notamment Cauchy et Abel ; ainsi, ayant rencontré au cours de ses recherches la série hypergéométrique :

il obtient de façon précise les conditions à imposer à α, β, γ et x pour que cette série converge, et c'est seulement ensuite qu'il examine les propriétés de la fonction représentée par cette série (au contraire de la façon dont auraient sûrement procédé tous ses prédécesseurs) ; les critères de convergence qu'il applique à cette occasion sont encore parmi les plus utiles à l'heure actuelle.

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. In Encyclopædia Universalis []. Disponible sur : (consulté le )

Autres références

  • RECHERCHES ARITHMÉTIQUES (C. F. Gauss)

    • Écrit par Bernard PIRE
    • 190 mots

    Les Recherches arithmétiques (Disquisitiones arithmeticae) que Carl Friedrich Gauss (1777-1855) publie à Brunswick en 1801 marquent un progrès fondamental en théorie des nombres. Les quatre premières sections sont consacrées aux congruences et, selon la Préface même de l'auteur, contiennent peu...

  • ALGÈBRE

    • Écrit par Jean-Luc VERLEY
    • 7 143 mots
    Le premier exemple de groupe formé d'éléments de nature assez différente de celle des nombres est fourni par les travaux de Gauss sur les formes quadratiquesax2 + bxy + cy2, où a, b, c sont des entiers relatifs premiers entre eux. Deux telles formes étant dites équivalentes si l'on passe de...

  • ALGORITHME DE TRANSFORMÉE DE FOURIER RAPIDE (J. W. Cooley et J. W. Tukey)

    • Écrit par Bernard PIRE
    • 348 mots

    La publication en 1965, dans le journal Mathematics of Computation de la Société américaine de mathématiques (AMS), de l’« Algorithme de transformée de Fourier rapide » par les mathématiciens américains James William Cooley (1926-2016) et John Wilder Tuckey (1915-2000) révolutionne l’automatisation...

  • ANALYSE MATHÉMATIQUE

    • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
    • 8 527 mots
    ...xixe siècle est caractérisé tout d'abord par un retour à la rigueur, notamment dans l'emploi des séries, où, sous l'influence de Gauss et surtout d' Abel et de Cauchy, il est assez rapidement admis qu'une série n'a de sens que lorsqu'on a prouvé sa convergence. Or, une fonction...

  • DIOPHANTIENNES APPROXIMATIONS

    • Écrit par Marcel DAVID
    • 4 514 mots
    Pour  obtenir  le  développement  de (e + 1)/(e − 1), Gauss a utilisé le développement en fraction continuée non régulière des séries hypergéométriques.
  • Afficher les 27 références

Voir aussi

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