DIOPHANTIENNES APPROXIMATIONS

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La théorie des approximations diophantiennes concerne principalement l'approximation des irrationnels par des rationnels. Dans le cas d'un seul irrationnel, un rôle essentiel est joué par les fractions continuées (utilisées dès 1650 par Huygens pour le calcul des engrenages des horloges astronomiques). L'approximation des irrationnels algébriques fut étudiée par une méthode directe en 1844 par Liouville ; ses résultats furent améliorés à de nombreuses reprises jusqu'à l'important et définitif résultat de Roth en 1955. Dans le cas de plusieurs irrationnels, on peut soit chercher à approcher chacun d'eux par un rationnel, soit chercher à rendre minimale une forme linéaire à variables entières, à coefficients irrationnels (problème dual du précédent). Dans les deux cas, la théorie des réseaux de points (ou Z-modules, comme Zn par exemple) joue un grand rôle, avec la caractérisation de ses bases et le théorème fondamental de Minkowski sur les domaines convexes symétriques d'un réseau ; ce dernier théorème conduit principalement à la résolution en entiers d'inégalités à coefficients irrationnels, ce qui est aussi un problème d'approximation diophantienne. L'étude de la répartition modulo 1 a été également rattachée à cet article, étant encore, dans une certaine mesure, une question d'approximation diophantienne.

Z-modules et réseaux

Un Z-module de Rn est un ensemble M de points M de Rn, de coordonnées (x1, x2, ..., xn), qui est sous-groupe additif de Rn (donc, s'il contient M′ et M″, il contient u M′ + v M″ pour tout u et v de Z). On appelle base de M un ensemble A1, A2, ..., Ar d'éléments de M, tel que tout élément de M s'écrit, d'une manière unique, sous la forme a1A1 + a2A2 + ... + arAr, où ai ∈ Z. On remarquera qu'on peut avoir r > n (par exemple dans R avec les nombres de la forme a + b √2, où a et b sont entiers, on a r = 2 pour n = 1).

Lorsque chaque point de M est isolé dans Rn, c'est-à-dire est centre d'une boule ne contenant pas d'autre point de M, le Z-module est dit discret ; cette propriété est évidemment caractérisée par le fait qu'il existe une boule de Rn, [...]

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Dans le chapitre « Points entiers sur les courbes de genre au moins 1 »  : […] On dispose du théorème général de C. L.  Siegel (1929) selon lequel une telle courbe n'a qu'un nombre fini de points entiers. La démonstration utilise d'une part le théorème de A. Weil (1928), étendant celui de Mordell, d'autre part la mauvaise approximation par des rationnels des irrationnels algébriques. Ce résultat englobe celui de Thue (1909), lui aussi fondé sur les approximations diophantie […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/equations-diophantiennes/#i_26296

KHINTCHINE ALEXANDRE IAKOVLEVITCH (1894-1959)

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Mathématicien soviétique, né à Kondrovo et mort à Moscou, membre correspondant de l'Académie des sciences de l'U.R.S.S., professeur à l'université de Moscou, prix Staline (1941). Ses premiers travaux concernent la théorie des fonctions d'une variable réelle, où il introduit la notion de dérivée asymptotique, généralise la notion d'intégrale de Denjoy et étudie la structure des fonctions mesurables […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/alexandre-iakovlevitch-khintchine/#i_26296

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THÉORÈME DE BÉZOUT  •    •  ÉQUIRÉPARTITION  •  FRACTION CONTINUÉE  •  JAUGE mathématiques  •  NOMBRES DE LIOUVILLE  •  THÉORÈME DE LIOUVILLE  •  THÉORÈME DE MINKOWSKI  •  MODULE mathématiques  •  NOMBRE D'OR  •  NOMBRES DE PISOT  •  RÉPARTITION MODULO UN  •  RÉSEAU mathématiques  •  THÉORÈME DE ROTH

Pour citer l’article

Marcel DAVID, « DIOPHANTIENNES APPROXIMATIONS », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 17 mai 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/approximations-diophantiennes/