DIOPHANTIENNES APPROXIMATIONS

La théorie des approximations diophantiennes concerne principalement l'approximation des irrationnels par des rationnels. Dans le cas d'un seul irrationnel, un rôle essentiel est joué par les fractions continuées (utilisées dès 1650 par Huygens pour le calcul des engrenages des horloges astronomiques). L'approximation des irrationnels algébriques fut étudiée par une méthode directe en 1844 par Liouville ; ses résultats furent améliorés à de nombreuses reprises jusqu'à l'important et définitif résultat de Roth en 1955. Dans le cas de plusieurs irrationnels, on peut soit chercher à approcher chacun d'eux par un rationnel, soit chercher à rendre minimale une forme linéaire à variables entières, à coefficients irrationnels (problème dual du précédent). Dans les deux cas, la théorie des réseaux de points (ou Z-modules, comme Zⁿ par exemple) joue un grand rôle, avec la caractérisation de ses bases et le théorème fondamental de Minkowski sur les domaines convexes symétriques d'un réseau ; ce dernier théorème conduit principalement à la résolution en entiers d'inégalités à coefficients irrationnels, ce qui est aussi un problème d'approximation diophantienne. L'étude de la répartition modulo 1 a été également rattachée à cet article, étant encore, dans une certaine mesure, une question d'approximation diophantienne.

Z-modules et réseaux

Un Z-module de Rⁿ est un ensemble M de points M de Rⁿ, de coordonnées (x¹, x², ..., xⁿ), qui est sous-groupe additif de Rⁿ (donc, s'il contient M′ et M″, il contient u M′ + v M″ pour tout u et v de Z). On appelle base de M un ensemble A₁, A₂, ..., A_r d'éléments de M, tel que tout élément de M s'écrit, d'une manière unique, sous la forme a¹A₁ + a²A₂ + ... + a^rA_r, où aⁱ ∈ Z. On remarquera qu'on peut avoir r > n (par exemple dans R avec les nombres de la forme a + b √2, où a et b sont entiers, on a r = 2 pour n = 1).

Lorsque chaque point de M est isolé dans Rⁿ, c'est-à-dire est centre d'une boule ne contenant pas d'autre point de M, le Z-module est dit discret ; cette propriété est évidemment caractérisée par le fait qu'il existe une boule de Rⁿ, de centre O, qui ne contient que O comme point de M. On appelle réseau tout Z-module discret et on démontre qu'un réseau de Rⁿ ne peut avoir de base comprenant plus de n éléments. Plus précisément, si un réseau admet une base de r éléments, l'espace vectoriel qu'il engendre est de dimension r.

Pour n = 1, tout réseau est donné par x = mx₀ où m ∈ Z et x₀ = inf |x| pour x ∈ M − { O } ; en effet, M étant discret, x₀ existe bien, est non nul et appartient à M, et tout x de M en est multiple, sans quoi le reste du quotient de |x| par x₀ contredirait l'hypothèse faite sur x₀. Pour n quelconque, la démonstration de r ≤ n se fait par récurrence en projetant sur R^n-1 parallèlement à l'un des vecteurs OA_i.

On supposera, sans rien restreindre dans ce qui suit, que les réseaux envisagés correspondent à r = n. Un exemple fondamental est celui des points à coordonnées entières de Rⁿ, auquel on peut toujours se ramener dès qu'on a une base A₁, A₂, ..., A_n du réseau : c'est Zⁿ.

Il est important de pouvoir caractériser les bases de Zⁿ ; on démontre qu'une condition nécessaire et suffisante pour que n points A₁, A₂, ..., A_n de Zⁿ forment une base de ce réseau est que le déterminant de leurs coordonnées soit égal à ± 1. Dans le cas de n = 2, si (p₁, q₁) et (p₂, q₂) sont les coordonnées de A₁ et A₂, on doit donc avoir, pour une base, p₁q₂ − p₂q₁ = ± 1, c'est-à-dire que les deux fractions p₁/q₁ et p₂/q₂ sont adjacentes.

On remarque enfin que OA₁A₂ forment base de Z² si, et seulement si, le parallélogramme construit sur OA₁, OA₂ ne contient aucun point du réseau en son intérieur ; il a alors pour surface 1, et cela se généralise à Zⁿ.

Un important théorème de Minkowski, sur les réseaux, sera vu plus loin.

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