MODULAIRE FONCTION

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• FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions elliptiques et modulaire

  • Écrit par Michel HERVÉ
  • 3 098 mots
  • 1 média
  La fonction modulaire J est celle qui à ζ = τ/τ′ fait correspondre :

  

  elle n'a de sens que pour ζ non réel, c'est pourquoi on la considère sur le demi-plan supérieur Im ζ < 0, où elle est holomorphe ; elle est invariante par les substitutions modulaires, en particulier par la translation ζ ↦ ζ + 1. C'est donc aussi, pour |w| < 1, une fonction holomorphe de w = exp (2 πiζ), à savoir :

  

• GAUSS CARL FRIEDRICH (1777-1855)

  • Écrit par Pierre COSTABEL, Jean DIEUDONNÉ
  • 4 886 mots
  ...lesquelles Gauss, dès les premières années du siècle, s'inscrit comme le précurseur d'une large part de la théorie des fonctions elliptiques et de la fonction modulaire, une des œuvres maîtresses du xix^e siècle. Il s'agit peut-être là de la partie la plus profonde de toute l'œuvre de Gauss et, en raison...

• HECKE ERICH (1887-1947)

  • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
  • 337 mots

  Né à Buk (Posnanie), Hecke fut l'élève de Hilbert à Göttingen, où il soutint sa thèse en 1912. Il enseigna brièvement à Bâle et à Göttingen, puis à Hambourg à partir de 1919, où il demeura jusqu'à sa mort.

  Hecke a consacré la quasi-totalité de ses recherches à la fascinante...

• HURWITZ ADOLF (1859-1919)

  • Écrit par Jeanne PEIFFER
  • 782 mots

  Élève de Felix Klein, Adolf Hurwitz représentait une tendance unificatrice en mathématiques. Avec ses étudiants Hilbert et Minkowski, il s'éleva contre le partage abusif des mathématiques en de nombreuses branches, non seulement suivant le sujet traité, mais même suivant la façon d'aborder...

• KLEIN FELIX (1849-1925)

  • Écrit par Universalis, Jacques MEYER
  • 551 mots
  • 1 média

  À travers son « programme d’Erlangen » énoncé en 1872, le mathématicien allemand Felix Klein a apporté une nouvelle définition de la géométrie, englobant notamment la géométrie classique (dite « euclidienne »), la géométrie projective, la géométrie conforme et les géométries «...

• POINCARÉ HENRI (1854-1912)

  • Écrit par Gérard BESSON, Christian HOUZEL, Michel PATY
  • 6 137 mots
  • 2 médias
  ...l'intégration de toutes les équations différentielles linéaires à coefficients algébriques. Guidé par l'analogie des fonctions elliptiques, il partit de la fonction modulaire étudiée par Hermite et chercha les groupes discontinus des fonctions hyperboliques [(aζ + b) / (cζ + d), a, b, c, d = const.]...

• QUADRATIQUES FORMES

  • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
  • 6 412 mots
  • 1 média
  ...transformations :

  

  avec a, b, c, d entiers et ad − bc = 1 ; c'est un groupe discontinu dont un domaine fondamental est donné par la figure. Une forme modulaire de poids 2 k, pour k entier, est une fonction f holomorphe dans Im z > 0 telle que :

  

  pour toute transformation du groupe...

• SHIMURA-TANIYAMA-WEIL CONJECTURE DE

  • Écrit par Christophe BREUIL
  • 4 312 mots
  Les formes modulaires sont certaines fonctions holomorphes sur H vérifiant une équation fonctionnelle liée au choix d'un groupe Γ₀(N). Leur définition, donnée ci-dessous en poids 2, est peu éclairante quant à leur formidable richesse.