DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) Analyse numérique

Plus peut-être que tout autre domaine des mathématiques, les équations aux dérivés partielles étaient prédisposées à bénéficier de l'utilisation des ordinateurs, pour de nombreuses raisons. La plus importante est leur intervention dans de nombreux problèmes techniques. C'est d'ailleurs un problème d'hydrodynamique, dont la solution devait « améliorer » les premières bombes atomiques, qui a fait l'objet de la première application traitée sur ordinateur.

Une deuxième raison est la complexité des problèmes aux dérivées partielles. Pour s'en faire une idée, réfléchissons à ce que représente la résolution numérique d'un problème aux limites. Très schématiquement, on sera amené à résoudre un système de N équations à N inconnues, où N est de l'ordre de grandeur de (1/h)ⁿ ; ici, h est le pas de discrétisation (dont dépendra la précision de la solution) et n le nombre de variables indépendantes. C'est dire que, même avec une approximation très grossière pour un problème simple, N se comptera en centaines pour deux variables et en milliers pour trois variables indépendantes. On n'oubliera pas, pour estimer ces ordres de grandeur, que le volume des calculs croît plus vite que N.

Une troisième raison vient donner toute son importance à la deuxième ; c'est dans cette théorie que, plus encore que dans beaucoup d'autres branches des mathématiques, les situations où on dispose de solutions explicites sont rares. Il en est de même des solutions semi-explicites sous forme de séries.

L'analyse numérique des équations aux dérivées partielles n'est pas née avec les ordinateurs, tant s'en faut ; la situation est plus complexe. De toute façon, l'introduction de l'analyse numérique comme branche particulière des mathématiques est un fait relativement récent, qui exprime son extrême spécialisation.

Un des premiers travaux mathématiques sur les équations aux dérivées partielles – le mémoire de Daniel Bernoulli publié en 1753 – contient deux procédés d'approximation de la solution. L'un est celui des séries trigonométriques ; l'autre consiste à remplacer la corde vibrante par un nombre fini de masses ponctuelles reliées par un fil élastique sans masse, ce qui donne une approximation du type différences finies. Il est vrai que, au xviii^e siècle, ces procédés étaient considérés comme des outils de démonstration et non comme des méthodes numériques. Quand Fourier, au début du xix^e siècle, reprend la méthode des séries trigonométriques (cf. j. fourier, séries trigonométriques), il l'applique à l'équation de la chaleur qu'il vient de trouver. Il est alors pleinement conscient de l'importance du calcul numérique des solutions que cette méthode permet. La résolution des équations aux dérivées partielles sans l'aide d'un ordinateur est maintenant limitée soit à des cas très particuliers, soit à l'approximation grossière de problèmes simples.

Une autre particularité de l'analyse numérique des équations aux dérivées partielles, plus précisément l'approximation des problèmes d'évolution, est l'apparition de types spécifiques d'instabilités numériques que nous examinerons dans le chapitre 2 (Problèmes d'évolution).

Un problème aux dérivées partielles n'est posé de façon précise que lorsqu'on a fixé l'espace de fonctions dans lequel on cherche la solution. Autant que possible, c'est la nature physique du problème qui fixe cet espace et, avec lui, la norme pour laquelle doit être évaluée et limitée l'erreur. Dans de nombreux problèmes, l'intégrale de Dirichlet :