DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) Analyse numérique

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Méthode des éléments finis

Méthode des éléments finis
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Solution approchée pour N = 10

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Solution approchée pour N = 20

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Instabilité

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Plus peut-être que tout autre domaine des mathématiques, les équations aux dérivés partielles étaient prédisposées à bénéficier de l'utilisation des ordinateurs, pour de nombreuses raisons. La plus importante est leur intervention dans de nombreux problèmes techniques. C'est d'ailleurs un problème d'hydrodynamique, dont la solution devait « améliorer » les premières bombes atomiques, qui a fait l'objet de la première application traitée sur ordinateur.

Une deuxième raison est la complexité des problèmes aux dérivées partielles. Pour s'en faire une idée, réfléchissons à ce que représente la résolution numérique d'un problème aux limites. Très schématiquement, on sera amené à résoudre un système de N équations à N inconnues, où N est de l'ordre de grandeur de (1/h)n ; ici, h est le pas de discrétisation (dont dépendra la précision de la solution) et n le nombre de variables indépendantes. C'est dire que, même avec une approximation très grossière pour un problème simple, N se comptera en centaines pour deux variables et en milliers pour trois variables indépendantes. On n'oubliera pas, pour estimer ces ordres de grandeur, que le volume des calculs croît plus vite que N.

Une troisième raison vient donner toute son importance à la deuxième ; c'est dans cette théorie que, plus encore que dans beaucoup d'autres branches des mathématiques, les situations où on dispose de solutions explicites sont rares. Il en est de même des solutions semi-explicites sous forme de séries.

L'analyse numérique des équations aux dérivées partielles n'est pas née avec les ordinateurs, tant s'en faut ; la situation est plus complexe. De toute façon, l'introduction de l'analyse numérique comme branche particulière des mathématiques est un fait relativement récent, qui exprime son extrême spécialisation.

Un des premiers travaux mathématiques sur les équations aux dérivées partielles – le mémoire de Daniel Bernoulli publié en 1753 – contient deux procédés d'approximation de la solution. L'un est celui des séries trigonométriques ; l'autr [...]

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DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX)  - Équations non linéaires

  • Écrit par 
  • Claude BARDOS
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L'étude des équations aux dérivées partielles non linéaires se trouve à l'interface de nombreux problèmes scientifiques. En effet, la plupart des phénomènes de la physique ou des sciences de l'ingénieur sont non linéaires et une modélisation par des équations linéaires risque, dans certains cas, d'effacer des […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/derivees-partielles-equations-aux-equations-non-lineaires/

DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX)  - Sources et applications

  • Écrit par 
  • Martin ZERNER
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On se propose de décrire très sommairement quelques types classiques d'équations aux dérivées partielles issues principalement de la physique et de préciser leurs interventions dans des domaines variés des mathématiques. Alors que les solutions des équations différentielles ordinaires dépendent d'une ou de plusieurs constantes arbitraires, […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/derivees-partielles-equations-aux-sources-et-applications/

DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX)  - Théorie linéaire

  • Écrit par 
  • Martin ZERNER
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Il existe une théorie mathématique assez bien constituée des équations aux dérivées partielles linéaires, dont nous allons essayer de donner une idée. En contraste, les équations non linéaires présentent un foisonnement de problèmes et de méthodes dont peu sont générales. Sans que nous le précisions à chaque fois, certains des résultats que nous […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/derivees-partielles-equations-aux-theorie-lineaire/

ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES (notions de base)

  • Écrit par 
  • Yves GAUTIER
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Beaucoup de phénomènes peuvent être décrits par une fonction. Par exemple, le déplacement d’un mobile dans l’espace peut être défini par une fonction f(xyz) où les coordonnées x, y et z correspondent à […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/equations-aux-derivees-partielles-notions-de-base/

ANALYSE MATHÉMATIQUE

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 8 744 mots

Dans le chapitre « Équations différentielles et équations aux dérivées partielles »  : […] de problèmes de mécanique, d'astronomie ou de physique. Au cours du xviiie siècle, les développements des applications des mathématiques à la physique avaient introduit des équations aux dérivées partielles, qui apparaissent aussi par ailleurs dans les problèmes de la naissante théorie des surfaces […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/analyse-mathematique/#i_26310

CALCUL INFINITÉSIMAL - Histoire

  • Écrit par 
  • René TATON
  •  • 11 509 mots
  •  • 3 médias

Dans le chapitre « Équations aux dérivées partielles »  : […] En 1747, à l'occasion d'une étude sur le problème des vents, d'Alembert introduisit et étudia des équations d'un type nouveau, les équations aux dérivées partielles, faisant intervenir simultanément les dérivées partielles d'une même fonction par rapport à différentes variables. Le fait que la plupart des phénomènes physiques dépendent de plusieurs […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/calcul-infinitesimal-histoire/#i_26310

CAUCHY AUGUSTIN-LOUIS (1789-1857)

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
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Dans le chapitre « Une production considérable »  : […] est secondaire, il est un des fondateurs de la théorie mathématique de l'élasticité. En analyse, il introduit la notion fondamentale de caractéristique dans la théorie des équations aux dérivées partielles du premier ordre, et il avait compris très tôt l'importance de la transformation de Fourier (que ce dernier et Poisson n' […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/augustin-louis-cauchy/#i_26310

DARBOUX GASTON (1842-1917)

  • Écrit par 
  • Jacques MEYER
  •  • 320 mots

Mathématicien français, né à Nîmes et mort à Paris. Après des études à l'École normale supérieure, Darboux fut l'assistant de J. Bertrand à la chaire de physique mathématique au Collège de France (1866-1867), puis enseigna au lycée Louis-le-Grand (1867-1872) et à l'École normale (1872-1873). Il fut maître de conférences ( […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/gaston-darboux/#i_26310

ÉQUATION, mathématique

  • Écrit par 
  • Gilles LACHAUD
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Dans le chapitre « Équations différentielles »  : […] Dans une équation aux dérivées partielles, les inconnues sont des fonctions de plusieurs variables, et l'équation comprend la fonction f et ses dérivées partielles ∂f /∂x, etc. Le Laplacien Δf d'une fonction est la somme de ses […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/equation-mathematique/#i_26310

EULER LEONHARD (1707-1783)

  • Écrit par 
  • Christian HOUZEL, 
  • Jean ITARD
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Dans le chapitre « Mathématiques »  : […] par une série entière, la résolution de nombreuses équations différentielles ou aux dérivées partielles par la méthode du facteur intégrant et les équations du calcul des variations. Comme d'Alembert l'avait reconnu à propos des cordes vibrantes en 1747, l'intégration d'une équation aux dérivées partielles fait intervenir […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/leonhard-euler/#i_26310

FORME

  • Écrit par 
  • Jean PETITOT
  •  • 27 547 mots

Dans le chapitre « Caustiques et optique écologique »  : […] ainsi bien apparaître le lien entre optique géométrique et optique ondulatoire. C'est celui qu'on trouve en général dans les équations aux dérivées partielles hyperboliques ; l'existence d'une infrastructure hamiltonienne (bicaractéristiques, caractéristiques, etc.). À l'opérateur D est associé l'hamiltonien H(qp) = 1 − | p | […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/forme/#i_26310

FOURIER JOSEPH (1768-1830)

  • Écrit par 
  • Louis CHARBONNEAU
  •  • 1 865 mots

Dans le chapitre « L'œuvre mathématique »  : […] de la propagation de la chaleur dans un solide. Sur le plan purement mathématique, les résultats sont de deux ordres : d'une part, la résolution des équations aux dérivées partielles en attribuant aux conditions aux bornes l'importance qui leur revient, d'autre part, la représentation d'une « fonction arbitraire » par une série trigonométrique […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/joseph-fourier/#i_26310

FREDHOLM IVAR (1866-1927)

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 320 mots

Mathématicien suédois dont le nom reste attaché à la théorie des équations intégrales. Né à Stockholm, Fredholm obtint son doctorat ès sciences à Uppsala en 1898, puis il fut attaché comme maître de conférences de physique mathématique à l'université de Stockholm. Il conserva ce poste jusqu'à sa […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/ivar-fredholm/#i_26310

GREEN GEORGE (1793-1841)

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 312 mots

Mathématicien anglais, né et mort à Sneinton (près de Nottingham). George Green, à travers sa recherche d'une formulation mathématique de la théorie de l'électricité statique et du magnétisme, est le créateur de la théorie du potentiel. Boulanger de son métier, il s'initia seul aux mathématiques, […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/george-green/#i_26310

HADAMARD JACQUES (1865-1963)

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 1 395 mots

Dans le chapitre « Équations aux dérivées partielles »  : […] avec l'« intuition physique », Hadamard a consacré un grand nombre de publications aux équations aux dérivées partielles et s'est toujours intéressé à ce sujet. On lui doit tout d'abord la notion de « problème correctement posé ». Amené à l'introduire par une réflexion sur la signification physique de nombreux problèmes aux limites, il impose aux […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/jacques-hadamard/#i_26310

HILBERT DAVID (1862-1943)

  • Écrit par 
  • Rüdiger INHETVEEN, 
  • Jean-Michel KANTOR, 
  • Christian THIEL
  •  • 14 855 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Équations aux dérivées partielles : problèmes 19, 20 et 23 »  : […] à la classe des fonctions « différentiellement algébriques », c'est-à-dire solutions d'équations différentielles (ou aux dérivées partielles) non linéaires de type polynomial. Cet exemple est beaucoup plus restreint (comme des résultats de Hölder le montraient déjà), mais Hilbert semble avoir pressenti que ces fonctions pourraient être […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/david-hilbert/#i_26310

HÖRMANDER LARS (1931-2012)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 243 mots

Mathématicien suédois, lauréat de la médaille Fields en 1962 pour ses travaux dans le domaine des équations aux dérivées partielles. Né le 24 janvier1931 à Mjällby (Suède), Lars Hörmander est le fils de l'instituteur d'un petit village de pêcheurs de la côte sud suédoise. Il fait ses études supérieures à l'université de Lund […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/lars-hormander/#i_26310

KOLMOGOROV ANDREÏ NIKOLAÏEVITCH (1903-1987)

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 1 416 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Mathématiques appliquées »  : […] Kolmogorov a consacré de nombreuses publications aux équations aux dérivées partielles de la physique. Les équations de Navier-Stockes étaient le prototype des équations qui interviennent dans l'étude de la réaction-diffusion, la turbulence et la mécanique statistique […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/andrei-nikolaievitch-kolmogorov/#i_26310

KOVALEVSKAÏA SOFIA VASSILIEVNA (1850-1891)

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 261 mots

Femme de lettres et mathématicienne russe, née à Moscou et morte à Stockholm. Le nom de Kovalevskaïa reste attaché à la théorie des équations aux dérivées partielles. Issue d'un milieu aristocratique et riche (elle était fille d'un général d'artillerie), Sofia Vassilievna épousa, en 1868, un jeune paléontologiste, V. Kovalewski, et alla étudier les […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/sofia-vassilievna-kovalevskaia/#i_26310

LAX PETER (1926-    )

  • Écrit par 
  • Jeremy John GRAY
  • , Universalis
  •  • 657 mots

Les équations aux dérivées partielles sont l'une des manières fondamentales par lesquelles mathématiciens et scientifiques décrivent des phénomènes naturels et mathématiques qui dépendent de plusieurs variables. Dans l'étude des équations aux dérivées partielles hyperboliques, Lax montre qu'il existe de nombreux types d'équations qui admettent des […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/peter-lax/#i_26310

LERAY JEAN (1906-1998)

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 417 mots

Mathématicien français dont les travaux sont centrés sur les équations aux dérivées partielles ; c'est à propos de problèmes posés par cette théorie qu'il a forgé de nouveaux outils mathématiques qui sont devenus fondamentaux, en analyse et en topologie algébrique notamment […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/jean-leray/#i_26310

LICHNEROWICZ ANDRÉ (1915-1998)

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 597 mots

Mathématicien français dont les travaux portent sur la géométrie différentielle, la mécanique et la physique mathématique. Né le 21 janvier 1915 à Bourbon-L'Archambault (Allier), élève de l'École normale supérieure, André Lichnerowicz a enseigné dans les universités de Strasbourg (1941-1949), puis de […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/andre-lichnerowicz/#i_26310

LIE SOPHUS (1842-1899)

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 1 333 mots

Dans le chapitre « La théorie des groupes de Lie »  : […] Le premier théorème affirme que, sous l'hypothèse que les paramètres sont « effectifs », les fonctions fi de (1) vérifient une équation aux dérivées partielles :où la matrice (ξki) est de rang maximal et det (Ψij) ≠ 0. Réciproquement, si les fonctions fi […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/sophus-lie/#i_26310

LIONS PIERRE-LOUIS (1956-    )

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 417 mots

Mathématicien français, lauréat de la médaille Fields en 1994 pour ses travaux dans le domaine des équations aux dérivées partielles. Né le 11 août 1956 à Grasse (Alpes-Maritimes), fils du mathématicien Jacques-Louis Lions (1928-2001), Pierre-Louis Lions est élève à l'École normale supérieure de Paris, puis soutient sa thèse […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/pierre-louis-lions/#i_26310

MÉDAILLES FIELDS 2014

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 1 046 mots
  •  • 1 média

à l’université de Genève sous la direction du physicien théoricien Jean-Pierre Eckmann. Dès son travail de thèse sur le comportement asymptotique des équations aux dérivées partielles (EDP) stochastiques, il s’intéresse à l’influence du bruit sur les solutions de ces équations qui gouvernent de nombreux phénomènes physiques. Enseignant à l’ […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/medailles-fields-2014/#i_26310

MORAWETZ CATHLEEN (1923-2017)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 432 mots

Mathématicienne américaine d'origine irlandaise, spécialiste des équations aux dérivées partielles. Cathleen Morawetz, née Synge, est la fille du mathématicien irlandais John Lighton Synge (1897-1995). Née le 5 mai 1923 à Toronto où son père enseignait, elle passe son enfance à Dublin avant de retourner à Toronto en 1930. Elle y fait toutes ses […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/cathleen-morawetz/#i_26310

ONDES GRAVITATIONNELLES

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 5 715 mots
  •  • 6 médias

Dans le chapitre « Équations d’Einstein et solutions »  : […] Les équations d’Einstein sont des équations aux dérivées partielles qui relient le tenseur énergie-impulsion Tµν d’un système à une quantité, appelée « tenseur de Ricci », qui caractérise la géométrie de l’espace-temps qui l’environne en décrivant mathématiquement la façon dont cet espace-temps est courbe […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/ondes-gravitationnelles/#i_26310

OPTIMISATION & CONTRÔLE

  • Écrit par 
  • Ivar EKELAND
  •  • 5 244 mots
  •  • 2 médias

Dans le chapitre « Équations aux dérivées partielles »  : […] Soit Ω un ouvert borné de Rn. Si l'on cherche, dans un espace fonctionnel approprié, les fonctions x : Ω → RN prenant des valeurs données sur le bord de Ω et minimisant l'intégrale : […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/optimisation-et-controle/#i_26310

PHYSIQUE - Physique et informatique

  • Écrit par 
  • Claude ROIESNEL
  •  • 6 728 mots

Dans le chapitre « Méthode des éléments finis »  : […] Il existe en physique mathématique trois grandes classes d'équations aux dérivées partielles, illustrées chacune par un type de phénomène bien particulier. Il y a les équations de type elliptique, qui apparaissent dans les études de régime stationnaire en électricité, en mécanique ou en thermique. Les équations de type […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/physique-physique-et-informatique/#i_26310

PICARD ÉMILE (1856-1941)

  • Écrit par 
  • Michel HERVÉ
  •  • 1 907 mots

Dans le chapitre « La méthode de Picard »  : […] On appelle souvent méthode de Picard la méthode des approximations successives, dont les applications sont nombreuses : aux équations aux dérivées partielles (dans le Journal de Liouville de 1890) ; aux équations différentielles (dans une note du 18 mars 1891 au Bulletin de la S.M.F.) ; aux […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/emile-picard/#i_26310

POINCARÉ HENRI (1854-1912)

  • Écrit par 
  • Gérard BESSON, 
  • Christian HOUZEL, 
  • Michel PATY
  •  • 6 144 mots
  •  • 2 médias

Dans le chapitre « Physique mathématique et physique théorique »  : […] à la physique mathématique, en raison du lien de ces équations, en particulier des équations aux dérivées partielles du second ordre, dont la plus simple est celle de Laplace, Δu = 0, avec les lois des phénomènes physiques les plus divers. La distribution électrique, le magnétisme, l'hydrodynamique, les équations de vibration […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/henri-poincare/#i_26310

THÉORIE ANALYTIQUE DE LA CHALEUR (J. Fourier)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 194 mots

Les travaux de Joseph Fourier (1768-1830) sur la propagation de la chaleur, entrepris dès 1804 alors qu'il occupait le poste de préfet de l'Isère, présentés en 1811 dans un mémoire à l'Académie des sciences et rassemblés en 1822 dans le livre Théorie analytique de la chaleur, ont […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/theorie-analytique-de-la-chaleur/#i_26310

WEBER HEINRICH MARTIN (1842-1913)

  • Écrit par 
  • Jeanne PEIFFER
  •  • 804 mots

Universalité. C'est le mot qui caractérise peut-être le mieux le mathématicien allemand Heinrich Weber. Esprit souple, il était capable de travailler dans des domaines très divers des mathématiques. Mais il concentra surtout ses recherches sur l'analyse et ses applications à la physique mathématique et obtint ses résultats les plus profonds en […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/heinrich-martin-weber/#i_26310

WHITTAKER sir EDMUND (1873-1956)

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 294 mots

Mathématicien anglais dont les travaux portent principalement sur les équations différentielles et aux dérivées partielles et sur leurs applications à la physique mathématique et à l'astronomie. De 1906 à 1912, Whittaker fut Royal Astronomer of Ireland à Dublin. Il fut nommé […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/whittaker-sir-edmund/#i_26310

YAU SHING-TUNG (1949-    )

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 277 mots

Les travaux de Yau concernent la géométrie différentielle globale et les équations aux dérivées partielles elliptiques. Il a en particulier résolu en 1976 la célèbre conjecture d'Eugenio Calabi, formulée en 1954, prouvant l'existence d'une certaine métrique dans une variété compacte kählerienne. Le problème analytique revient à prouver l'existence […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/shing-tung-yau/#i_26310

Voir aussi

Pour citer l’article

Claude BARDOS, Martin ZERNER, « DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Analyse numérique », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le . URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/derivees-partielles-equations-aux-analyse-numerique/