DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) Analyse numérique

Carte mentale

Élargissez votre recherche dans Universalis

Plus peut-être que tout autre domaine des mathématiques, les équations aux dérivés partielles étaient prédisposées à bénéficier de l'utilisation des ordinateurs, pour de nombreuses raisons. La plus importante est leur intervention dans de nombreux problèmes techniques. C'est d'ailleurs un problème d'hydrodynamique, dont la solution devait « améliorer » les premières bombes atomiques, qui a fait l'objet de la première application traitée sur ordinateur.

Une deuxième raison est la complexité des problèmes aux dérivées partielles. Pour s'en faire une idée, réfléchissons à ce que représente la résolution numérique d'un problème aux limites. Très schématiquement, on sera amené à résoudre un système de N équations à N inconnues, où N est de l'ordre de grandeur de (1/h)n ; ici, h est le pas de discrétisation (dont dépendra la précision de la solution) et n le nombre de variables indépendantes. C'est dire que, même avec une approximation très grossière pour un problème simple, N se comptera en centaines pour deux variables et en milliers pour trois variables indépendantes. On n'oubliera pas, pour estimer ces ordres de grandeur, que le volume des calculs croît plus vite que N.

Une troisième raison vient donner toute son importance à la deuxième ; c'est dans cette théorie que, plus encore que dans beaucoup d'autres branches des mathématiques, les situations où on dispose de solutions explicites sont rares. Il en est de même des solutions semi-explicites sous forme de séries.

L'analyse numérique des équations aux dérivées partielles n'est pas née avec les ordinateurs, tant s'en faut ; la situation est plus complexe. De toute façon, l'introduction de l'analyse numérique comme branche particulière des mathématiques est un fait relativement récent, qui exprime son extrême spécialisation.

Un des premiers travaux mathématiques sur les équations aux dérivées partielles – le mémoire de Daniel Bernoulli publié en 1753 – contient deux procédés d'approximati [...]

1  2  3  4  5
pour nos abonnés,
l’article se compose de 10 pages

Médias de l’article

Méthode des éléments finis

Méthode des éléments finis
Crédits : Encyclopædia Universalis France

dessin

Solution approchée pour N = 10

Solution approchée pour N = 10
Crédits : Encyclopædia Universalis France

tableau

Solution approchée pour N = 20

Solution approchée pour N = 20
Crédits : Encyclopædia Universalis France

tableau

Instabilité

Instabilité
Crédits : Encyclopædia Universalis France

dessin

Afficher les 7 médias de l'article


Écrit par :

Classification

Autres références

«  DÉRIVÉES PARTIELLES ÉQUATIONS AUX  » est également traité dans :

DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Équations non linéaires

  • Écrit par 
  • Claude BARDOS
  •  • 10 860 mots
  •  • 3 médias

L'étude des équations aux dérivées partielles non linéaires se trouve à l'interface de nombreux problèmes scientifiques. En effet, la plupart des phénomènes de la physique ou des sciences de l'ingénieur sont non linéaires et une modélisation par des équations linéaires risque, dans certains cas, d'effacer des événements que les équations linéaires ne peuvent […] Lire la suite

DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Sources et applications

  • Écrit par 
  • Martin ZERNER
  •  • 6 318 mots
  •  • 1 média

On se propose de décrire très sommairement quelques types classiques d'équations aux dérivées partielles issues principalement de la physique et de préciser leurs interventions dans des domaines variés des mathématiques.Alors que les solutions des équations différentielles ordinaires dépendent d'une ou de plusieurs constantes arbitraires, c […] Lire la suite

DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Théorie linéaire

  • Écrit par 
  • Martin ZERNER
  •  • 5 498 mots

Il existe une théorie mathématique assez bien constituée des équations aux dérivées partielles linéaires, dont nous allons essayer de donner une idée. En contraste, les équations non linéaires présentent un foisonnement de problèmes et de méthodes dont peu sont générales. Sans que nous le précisions à chaque fois, certains des résultats que nous allons […] Lire la suite

ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES (notions de base)

  • Écrit par 
  • Yves GAUTIER
  •  • 1 580 mots
  •  • 2 médias

Beaucoup de phénomènes peuvent être décrits par une fonction. Par exemple, le déplacement d’un mobile dans l’espace peut être défini par une fonction f(xyz) où les coordonnées x, y et z correspondent à tous les points de l’espace occupés par le mobile traç […] Lire la suite

ANALYSE MATHÉMATIQUE

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 8 744 mots

Dans le chapitre « Équations différentielles et équations aux dérivées partielles »  : […] Les équations différentielles s'étaient présentées dès le début du calcul infinitésimal, soit à propos de la détermination de courbes vérifiant certaines propriétés différentielles, soit comme traductions mathématiques de problèmes de mécanique, d'astronomie ou de physique. Au cours du xviii e  siècle, les développements des applications des mathématiques à la physique avaient introduit des équati […] Lire la suite

CALCUL INFINITÉSIMAL - Histoire

  • Écrit par 
  • René TATON
  •  • 11 508 mots
  •  • 3 médias

Dans le chapitre « Équations aux dérivées partielles »  : […] En 1747, à l'occasion d'une étude sur le problème des vents, d'Alembert introduisit et étudia des équations d'un type nouveau, les équations aux dérivées partielles, faisant intervenir simultanément les dérivées partielles d'une même fonction par rapport à différentes variables. Le fait que la plupart des phénomènes physiques dépendent de plusieurs variables révélait l'importance de ce nouveau ty […] Lire la suite

CAUCHY AUGUSTIN-LOUIS (1789-1857)

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 1 403 mots

Dans le chapitre « Une production considérable »  : […] La production de Cauchy a été considérable ; même ses contemporains lui reprochaient à juste titre sa hâte inconsidérée à livrer souvent à l'impression des débauches indignes de son génie, et il y a évidemment un déchet non négligeable dans le demi-millier de notes qu'il a publiées aux Comptes rendus de l'Académie des sciences. Il n'en est pas moins vrai que, même en faisant abstraction de ses tr […] Lire la suite

DARBOUX GASTON (1842-1917)

  • Écrit par 
  • Jacques MEYER
  •  • 320 mots

Mathématicien français, né à Nîmes et mort à Paris. Après des études à l'École normale supérieure, Darboux fut l'assistant de J. Bertrand à la chaire de physique mathématique au Collège de France (1866-1867), puis enseigna au lycée Louis-le-Grand (1867-1872) et à l'École normale (1872-1873). Il fut maître de conférences (1873-1881), puis professeur de géométrie supérieure (1881) à la faculté des s […] Lire la suite

ÉQUATION, mathématique

  • Écrit par 
  • Gilles LACHAUD
  •  • 1 488 mots

Dans le chapitre « Équations différentielles »  : […] Les équations différentielles sont des équations dont les coefficients et les variables sont eux-mêmes des fonctions, et dont les termes contiennent les dérivées de cette fonction ainsi que la fonction elle-même. Les équations différentielles ordinaires impliquent une fonction y d'une seule variable x et ses dérivées y ', y '', etc. ; l' ordre d'une telle équation est l'ordre de la plus haute […] Lire la suite

EULER LEONHARD (1707-1783)

  • Écrit par 
  • Christian HOUZEL, 
  • Jean ITARD
  •  • 2 813 mots

Dans le chapitre « Mathématiques »  : […] Euler est l'auteur de trois grands traités didactiques sur l'analyse infinitésimale, dans lesquels il a exposé sa conception nouvelle du calcul différentiel et intégral et ses rapports avec la géométrie : l' Introductio in analysin infinitorum (1748), les Institutiones calculi differentialis (1755) et les Institutiones calculi integralis (3 vol., 1768-1770). Le premier de ces traités opè […] Lire la suite

Voir aussi

Pour citer l’article

Claude BARDOS, Martin ZERNER, « DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Analyse numérique », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 22 juin 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/derivees-partielles-equations-aux-analyse-numerique/