SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES

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Les séries trigonométriques se sont introduites au xviiie et au début du xixe siècle, en liaison avec certains problèmes de physique (mouvement des cordes vibrantes, propagation de la chaleur). Elles sont d'un usage courant en astronomie, en cristallographie, en optique. Mais c'est en mathématiques qu'elles ont joué le rôle le plus important.

La justification du formalisme introduit par Joseph Fourier a occupé une grande part de l'effort des analystes du xixe et même du xxe siècle. Elle a conduit au concept moderne de fonction, à la théorie de l'intégration, aux notions les plus importantes concernant la sommation des séries et enfin à une partie de l'analyse fonctionnelle moderne. Il se trouve même qu'un problème concernant les séries trigonométriques est à l'origine de la théorie des ensembles. Les séries trigonométriques constituent donc l'exemple type d'un objet mathématique introduit par les besoins de la physique et dont l'étude a conduit à l'élaboration de concepts et de théories mathématiques de grande portée.

Ce rôle, sans être aussi important qu'autrefois, n'est pas terminé, et l'article s'efforcera d'en donner une idée.

Notations

Les séries trigonométriques sont les séries de la forme :

dans lesquelles t désigne une variable réelle, ω un nombre > 0 (c'est la fréquence fondamentale), les an et les bn des coefficients réels (b0 = 0), les rn des nombres ≥ 0 (les amplitudes) et les ϕn des nombres réels définis modulo 2π (les phases). Les séries (1) et (2) sont liées par les formules :

Les sommes partielles s'écrivent :

Il est souvent commode de les écrire :

en posant cn = an + ibn, ≥ 0, et cnan − ibn, ≤ 0. Cela amène à considérer, au lieu de séries (1) ou (2), des séries :
à coefficients cn complexes, dont on définit encore les « sommes partielles » par (3).

C'est sous la forme inspirée de (4) que s'écrivent le plus commodément les « séries trigonométriques généralisées » :

où la suite λn est réelle (les λn s'appellent les fréquence [...]

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Pour citer l’article

Jean-Pierre KAHANE, « SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 21 septembre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/series-trigonometriques/