DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) Analyse numérique

Analyse numérique des problèmes hyperboliques

On a vu que les problèmes hyperboliques possèdent les propriétés suivantes : a) vitesse finie de propagation ; b) propagation des singularités dans le cas linéaire ; c) apparition, dans le cas non linéaire, de singularités, interaction entre deux singularités, propagation dans les intervalles entre ces événements.

Les méthodes numériques relatives à ces problèmes doivent prendre en compte ces propriétés. Le fait, en particulier, que la solution se propage a conduit à privilégier les méthodes de différences finies par rapport aux méthodes d'éléments finis, car on suit plus facilement l'évolution de la solution en parcourant, selon sa propagation, les points du maillage. Il n'existe encore aucun résultat systématique à plus d'une dimension d'espace ; on se limitera donc à des problèmes de la forme :

oucomplétés par la donnée initiale u(x, 0) = u₀(x).

Dans (11) et (12), u est un vecteur ; dans (11), A est une matrice à valeurs propres réelles et distinctes. Le système (12) est un système hyperbolique (cf. chap. 1 in équations aux dérivées partielles - Équations aux dérivées partielles non linéaires).

Désignons par h et τ deux paramètres destinés à tendre vers zéro, et soit uⁿ _i, i ∈ Z et n ∈ N une approximation de la solution au point (ih, nτ). On remplace la dérivée par rapport au temps par l'expression :

et la dérivée A(∂u/∂x), ou (∂/∂x) (F(u)), par une expression de la forme :

Par exemple, on peut remplacer (∂/∂x) (F(u)) par les quantités suivantes :

L'équation approchée s'écrit sous la forme (13) :qui définit un schéma explicite à (2r + 1) points.

Pour simplifier, nous nous limiterons à un schéma à trois points. Dans ce cas, on obtient, aussi bien pour la solution de (11) que pour celle de (12), une expression de la forme :

La fonction G devra être choisie de telle sorte que la méthode soit stable, consistante, et, dans le cas non linéaire, conduise à une solution respectant la condition d'entropie. Si ces trois conditions, que nous allons expliciter et commenter, sont remplies, on peut, dans certains cas (il reste encore beaucoup de problèmes mathématiques ouverts), prouver la convergence de la solution approchée vers la solution de (11) ou (12).

La stabilité signifie que la suite (uⁿ _i) est bornée, pour une norme convenable, indépendamment de h et de τ. La consistance signifie que (14) ressemble bien à l'équation initiale ; elle se vérifie en montrant que, pour toute solution régulière u(x, t ) de l'équation initiale, on a :

où α et β désignent les ordres de la méthode. La condition d'entropie a été discutée au chapitre Équations aux dérivées partielles non linéaires. La différence entre la notion de stabilité et celle de consistance apparaît très bien sur la discrétisation de l'équation :Les schémas :sont tous deux consistants d'ordre 1 en h et τ ; par contre, le schéma (15) ne peut convenir. En effet, on détermine u_i ⁿ⁺¹ à partir de uⁿ _i et uⁿ _i+1 et donc finalement en fonction de la donnée initiale sur l'intervalle [ih, (i + n)h], ce qui est en contradiction avec la formule explicite :.

Puisque le schéma (15) ne convient pas, c'est qu'il présente des défauts de stabilité, que nous allons mettre en évidence en prenant une donnée initiale égale à 0 pour x ≤ 0 et à 1 pour x > 0.

Le schéma (15) donne alors :

ce qui est complètement différent de la solution exacte pour aτn ≥ ih, mais borné, et :On voit que, si le rapport τ/h est fixé, uⁿ ₀ tend toujours vers − ∞ avec n. Un raisonnement simple d'analyse fonctionnelle permet de déduire de cet exemple l'existence de l'instabilité avec des données initiales régulières. On notera que, dans ce schéma, uⁿ _i est déterminé par les données appartenant à l'intervalle [ih, (i + n)h] qui ne contient pas le point auquel se réduit le domaine de dépendance du point (nτ, ih).

Une condition nécessaire de stabilité est donc liée à la direction de la propagation. Mais il y en a une autre, liée à la vitesse de cette propagation ; elle s'écrit :

où les λ_k sont les valeurs propres de la matrice grad_U F (ξ) et où ξ parcourt l'enveloppe convexe de l'ensemble des uⁿ _i ; dans le cas linéaire, les λ_k sont donc les valeurs propres de la matrice fixe A. La condition (19) a été dégagée vers les années 1930 par Courant, Friedrichs et Lewy, d'où son nom de condition C.F.L. Nous la supposerons désormais vérifiée. Elle ne tient pas compte de la direction de la vitesse ni de la condition d'entropie dans le cas non linéaire. Pour remédier à cet inconvénient, on utilise le [...]

1  2  3  4  5 …
pour nos abonnés,
l’article se compose de 10 pages

Afficher les 7 médias de l'article