DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) Analyse numérique

On a vu que les problèmes hyperboliques possèdent les propriétés suivantes : a) vitesse finie de propagation ; b) propagation des singularités dans le cas linéaire ; c) apparition, dans le cas non linéaire, de singularités, interaction entre deux singularités, propagation dans les intervalles entre ces événements.

Les méthodes numériques relatives à ces problèmes doivent prendre en compte ces propriétés. Le fait, en particulier, que la solution se propage a conduit à privilégier les méthodes de différences finies par rapport aux méthodes d'éléments finis, car on suit plus facilement l'évolution de la solution en parcourant, selon sa propagation, les points du maillage. Il n'existe encore aucun résultat systématique à plus d'une dimension d'espace ; on se limitera donc à des problèmes de la forme :

oucomplétés par la donnée initiale u(x, 0) = u₀(x).

Dans (11) et (12), u est un vecteur ; dans (11), A est une matrice à valeurs propres réelles et distinctes. Le système (12) est un système hyperbolique (cf. chap. 1 in équations aux dérivées partielles - Équations aux dérivées partielles non linéaires).

Désignons par h et τ deux paramètres destinés à tendre vers zéro, et soit uⁿ _i, i ∈ Z et n ∈ N une approximation de la solution au point (ih, nτ). On remplace la dérivée par rapport au temps par l'expression :

et la dérivée A(∂u/∂x), ou (∂/∂x) (F(u)), par une expression de la forme :

Par exemple, on peut remplacer (∂/∂x) (F(u)) par les quantités suivantes :

L'équation approchée s'écrit sous la forme (13) :qui définit un schéma explicite à (2r + 1) points.

Pour simplifier, nous nous limiterons à un schéma à trois points. Dans ce cas, on obtient, aussi bien pour la solution de (11) que pour celle de (12), une expression de la forme :

La fonction G devra être choisie de telle sorte que la méthode soit stable, consistante, et, dans le cas non linéaire, conduise à une solution respectant la condition d'entropie. Si ces trois conditions, que nous allons expliciter et commenter, sont remplies, on peut, dans certains cas (il reste encore beau [...]