DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) Analyse numérique

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Méthode des éléments finis

Méthode des éléments finis
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Solution approchée pour N = 10

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Solution approchée pour N = 20

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Instabilité

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Analyse numérique des problèmes hyperboliques

On a vu que les problèmes hyperboliques possèdent les propriétés suivantes : a) vitesse finie de propagation ; b) propagation des singularités dans le cas linéaire ; c) apparition, dans le cas non linéaire, de singularités, interaction entre deux singularités, propagation dans les intervalles entre ces événements.

Les méthodes numériques relatives à ces problèmes doivent prendre en compte ces propriétés. Le fait, en particulier, que la solution se propage a conduit à privilégier les méthodes de différences finies par rapport aux méthodes d'éléments finis, car on suit plus facilement l'évolution de la solution en parcourant, selon sa propagation, les points du maillage. Il n'existe encore aucun résultat systématique à plus d'une dimension d'espace ; on se limitera donc à des problèmes de la forme :

ou
complétés par la donnée initiale u(x, 0) = u0(x).

Dans (11) et (12), u est un vecteur ; dans (11), A est une matrice à valeurs propres réelles et distinctes. Le système (12) est un système hyperbolique (cf. chap. 1 in équations aux dérivées partielles - Équations aux dérivées partielles non linéaires).

Désignons par h et τ deux paramètres destinés à tendre vers zéro, et soit un i, ∈ Z et ∈ N une approximation de la solution au point (ihnτ). On remplace la dérivée par rapport au temps par l'expression :

et la dérivée A(∂u/∂x), ou (∂/∂x) (F(u)), par une expression de la forme :

Par exemple, on peut remplacer (∂/∂x) (F(u)) par les quantités suivantes :

L'équation approchée s'écrit sous la forme (13) :
qui définit un schéma explicite à (2r + 1) points.

Pour simplifier, nous nous limiterons à un schéma à trois points. Dans ce cas, on obtient, aussi bien pour la solution de (11) que pour celle de (12), une expression de la forme :

La fonction G devra être choisie de telle sorte que la méthode soit stable, consistante, et, dans le cas non linéaire, conduise à une solution respectant la condition d'entropie. Si ces trois conditions, que nous allons expliciter et commenter, sont remplies, on peut, dans certains cas (il reste encore beau [...]

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DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Équations non linéaires

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  • Claude BARDOS
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ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES (notions de base)

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  • Yves GAUTIER
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ANALYSE MATHÉMATIQUE

  • Écrit par 
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Dans le chapitre « Équations différentielles et équations aux dérivées partielles »  : […] Les équations différentielles s'étaient présentées dès le début du calcul infinitésimal, soit à propos de la détermination de courbes vérifiant certaines propriétés différentielles, soit comme traductions mathématiques de problèmes de mécanique, d'astronomie ou de physique. Au cours du xviii e  siècle, les développements des applications des mathé […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/analyse-mathematique/#i_26310

CALCUL INFINITÉSIMAL - Histoire

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Dans le chapitre « Équations aux dérivées partielles »  : […] En 1747, à l'occasion d'une étude sur le problème des vents, d'Alembert introduisit et étudia des équations d'un type nouveau, les équations aux dérivées partielles, faisant intervenir simultanément les dérivées partielles d'une même fonction par rapport à différentes variables. Le fait que la plupart des phénomènes physiques dépendent de plusieurs variables révélait l'importance de ce nouveau ty […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/calcul-infinitesimal-histoire/#i_26310

CAUCHY AUGUSTIN-LOUIS (1789-1857)

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DARBOUX GASTON (1842-1917)

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EULER LEONHARD (1707-1783)

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FREDHOLM IVAR (1866-1927)

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Mathématicien suédois dont le nom reste attaché à la théorie des équations intégrales. Né à Stockholm, Fredholm obtint son doctorat ès sciences à Uppsala en 1898, puis il fut attaché comme maître de conférences de physique mathématique à l'université de Stockholm. Il conserva ce poste jusqu'à sa nomination, en 1906, comme professeur de mécanique rationnelle et de physique mathématique à la même un […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/ivar-fredholm/#i_26310

GREEN GEORGE (1793-1841)

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
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Mathématicien anglais, né et mort à Sneinton (près de Nottingham). George Green, à travers sa recherche d'une formulation mathématique de la théorie de l'électricité statique et du magnétisme, est le créateur de la théorie du potentiel. Boulanger de son métier, il s'initia seul aux mathématiques, principalement en lisant les mémoires de Poisson, et peut-être cela explique-t-il la très grande origi […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/george-green/#i_26310

HADAMARD JACQUES (1865-1963)

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
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Dans le chapitre « Équations aux dérivées partielles »  : […] Cherchant toujours à rester en contact étroit avec l'« intuition physique », Hadamard a consacré un grand nombre de publications aux équations aux dérivées partielles et s'est toujours intéressé à ce sujet. On lui doit tout d'abord la notion de « problème correctement posé ». Amené à l'introduire par une réflexion sur la signification physique de nombreux problèmes aux limites, il impose aux solu […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/jacques-hadamard/#i_26310

HILBERT DAVID (1862-1943)

  • Écrit par 
  • Rüdiger INHETVEEN, 
  • Jean-Michel KANTOR, 
  • Christian THIEL
  •  • 14 855 mots
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Dans le chapitre « Équations aux dérivées partielles : problèmes 19, 20 et 23 »  : […] Avant d'aborder le sujet de la théorie des fonctions, Hilbert pose la question : Quelles fonctions ? Autrement dit, comment choisir une classe de fonctions ayant d'assez bonnes propriétés, mais aussi suffisamment riche pour contenir les solutions d'équations « naturelles », par exemple celles de la physique. Nous avons vu (treizième problème) que de telles préoccupations étaient constantes chez lu […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/david-hilbert/#i_26310

HÖRMANDER LARS (1931-2012)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 243 mots

Mathématicien suédois, lauréat de la médaille Fields en 1962 pour ses travaux dans le domaine des équations aux dérivées partielles. Né le 24 janvier1931 à Mjällby (Suède), Lars Hörmander est le fils de l'instituteur d'un petit village de pêcheurs de la côte sud suédoise. Il fait ses études supérieures à l'université de Lund sous la direction de Marcel Riesz (1886-1969) et obtient son doctorat en […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/lars-hormander/#i_26310

KOLMOGOROV ANDREÏ NIKOLAÏEVITCH (1903-1987)

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 1 416 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Mathématiques appliquées »  : […] Kolmogorov a consacré de nombreuses publications aux équations aux dérivées partielles de la physique. Les équations de Navier-Stockes étaient le prototype des équations qui interviennent dans l'étude de la réaction-diffusion, la turbulence et la mécanique statistique. En 1931, Kolmogorov a introduit une vaste classe d'équations aux dérivées partielles dont le champ naturel est l'espace de Hilber […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/andrei-nikolaievitch-kolmogorov/#i_26310

KOVALEVSKAÏA SOFIA VASSILIEVNA (1850-1891)

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 261 mots

Femme de lettres et mathématicienne russe, née à Moscou et morte à Stockholm. Le nom de Kovalevskaïa reste attaché à la théorie des équations aux dérivées partielles. Issue d'un milieu aristocratique et riche (elle était fille d'un général d'artillerie), Sofia Vassilievna épousa, en 1868, un jeune paléontologiste, V. Kovalewski, et alla étudier les mathématiques à l'université de Heidelberg, où el […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/sofia-vassilievna-kovalevskaia/#i_26310

LAX PETER (1926- )

  • Écrit par 
  • Jeremy John GRAY
  • , Universalis
  •  • 657 mots

Mathématicien américain d'origine hongroise, Peter Lax reçut en 2005 le prix Abel « pour ses contributions novatrices à la théorie et à l'application des équations différentielles et au calcul de leurs solutions ». Il est l'un des rares chercheurs dont les découvertes vont des bases théoriques aux applications pratiques d'un domaine des mathématiques. Peter David Lax naît le 1 […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/peter-lax/#i_26310

LERAY JEAN (1906-1998)

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 417 mots

Mathématicien français dont les travaux sont centrés sur les équations aux dérivées partielles ; c'est à propos de problèmes posés par cette théorie qu'il a forgé de nouveaux outils mathématiques qui sont devenus fondamentaux, en analyse et en topologie algébrique notamment. Né à Chantenay, près de Nantes, Jean Leray a été élève de l'École normale supérieure de 1926 à 1929. Il a enseigné à la facu […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/jean-leray/#i_26310

LICHNEROWICZ ANDRÉ (1915-1998)

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 597 mots

Mathématicien français dont les travaux portent sur la géométrie différentielle, la mécanique et la physique mathématique. Né le 21 janvier 1915 à Bourbon-L'Archambault (Allier), élève de l'École normale supérieure, André Lichnerowicz a enseigné dans les universités de Strasbourg (1941-1949), puis de Paris (1949-1952). De 1952 à 1986, il a été professeur de physique mathématique au Collège de Fran […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/andre-lichnerowicz/#i_26310

LIE SOPHUS (1842-1899)

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 1 333 mots

Dans le chapitre « La théorie des groupes de Lie »  : […] Sous le nom de «  groupes finis et continus », Lie étudie des groupes de transformations analytiques sur l'espace C n des n variables complexes x 1 , ..., x n , dépendant « effectivement » de r paramètres complexes a 1 […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/sophus-lie/#i_26310

LIONS PIERRE-LOUIS (1956- )

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 417 mots

Mathématicien français, lauréat de la médaille Fields en 1994 pour ses travaux dans le domaine des équations aux dérivées partielles. Né le 11 août 1956 à Grasse (Alpes-Maritimes), fils du mathématicien Jacques-Louis Lions (1928-2001), Pierre-Louis Lions est élève à l'École normale supérieure de Paris, puis soutient sa thèse de doctorat en 1979 sous la direction de Haïm Brezis au laboratoire d'ana […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/pierre-louis-lions/#i_26310

MÉDAILLES FIELDS 2014

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 1 045 mots
  •  • 1 média

Les médailles Fields récompensent tous les quatre ans de jeunes mathématiciens dont les travaux originaux ont été particulièrement remarqués. En août 2014, à l’occasion du Congrès international des mathématiciens réuni à Séoul en Corée du Sud, quatre chercheurs ont reçu ce prix prestigieux . Le mathématicien franco-brésilien Artur Ávila (né le 29 juin 1979 à Rio de Janeiro) est distingué pour ses […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/medailles-fields-2014/#i_26310

MORAWETZ CATHLEEN (1923-2017)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 432 mots

Mathématicienne américaine d'origine irlandaise, spécialiste des équations aux dérivées partielles. Cathleen Morawetz, née Synge, est la fille du mathématicien irlandais John Lighton Synge (1897-1995). Née le 5 mai 1923 à Toronto où son père enseignait, elle passe son enfance à Dublin avant de retourner à Toronto en 1930. Elle y fait toutes ses études secondaires et le début de ses études supérieu […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/cathleen-morawetz/#i_26310

ONDES GRAVITATIONNELLES

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
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Dans le chapitre « Équations d’Einstein et solutions »  : […] Les équations d’Einstein sont des équations aux dérivées partielles qui relient le tenseur énergie-impulsion T µν d’un système à une quantité, appelée « tenseur de Ricci », qui caractérise la géométrie de l’espace-temps qui l’environne en décrivant mathématiquement la façon dont cet espace-temps est courbe. Rappelons qu’un tenseur est un objet mathématique qui généralise la […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/ondes-gravitationnelles/#i_26310

OPTIMISATION & CONTRÔLE

  • Écrit par 
  • Ivar EKELAND
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Dans le chapitre « Équations aux dérivées partielles »  : […] Soit Ω un ouvert borné de R n . Si l'on cherche, dans un espace fonctionnel approprié, les fonctions x  : Ω →  R N prenant des valeurs données sur le bord de Ω et minimisant l'intégrale : où (∂ x /∂ t ) ( t ) représente la matrice des (∂ […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/optimisation-et-controle/#i_26310

PHYSIQUE - Physique et informatique

  • Écrit par 
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Dans le chapitre « Méthode des éléments finis »  : […] Il existe en physique mathématique trois grandes classes d'équations aux dérivées partielles, illustrées chacune par un type de phénomène bien particulier. Il y a les équations de type elliptique, qui apparaissent dans les études de régime stationnaire en électricité, en mécanique ou en thermique. Les équations de type parabolique sont représentatives des problèmes de diffusion, par exemple de la […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/physique-physique-et-informatique/#i_26310

PICARD ÉMILE (1856-1941)

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  • Michel HERVÉ
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Dans le chapitre « La méthode de Picard »  : […] On appelle souvent méthode de Picard la méthode des approximations successives, dont les applications sont nombreuses : aux équations aux dérivées partielles (dans le Journal de Liouville de 1890) ; aux équations différentielles (dans une note du 18 mars 1891 au Bulletin de la S.M.F.) ; aux équations intégrales (cf. équations […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/emile-picard/#i_26310

POINCARÉ HENRI (1854-1912)

  • Écrit par 
  • Gérard BESSON, 
  • Christian HOUZEL, 
  • Michel PATY
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Dans le chapitre « Physique mathématique et physique théorique »  : […] Les travaux mathématiques de Poincaré sur la théorie des équations différentielles l'amenèrent naturellement à s'intéresser à la physique mathématique, en raison du lien de ces équations, en particulier des équations aux dérivées partielles du second ordre, dont la plus simple est celle de Laplace, Δ u  = 0, avec les lois des phénomènes physiques les plus divers. La distribut […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/henri-poincare/#i_26310

THÉORIE ANALYTIQUE DE LA CHALEUR (J. Fourier)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
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Les travaux de Joseph Fourier (1768-1830) sur la propagation de la chaleur, entrepris dès 1804 alors qu'il occupait le poste de préfet de l'Isère, présentés en 1811 dans un mémoire à l'Académie des sciences et rassemblés en 1822 dans le livre Théorie analytique de la chaleur , ont joué un rôle fondamental dans le développement de l'analyse mathématique. Fourier insistait sur […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/theorie-analytique-de-la-chaleur/#i_26310

WEBER HEINRICH MARTIN (1842-1913)

  • Écrit par 
  • Jeanne PEIFFER
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Universalité. C'est le mot qui caractérise peut-être le mieux le mathématicien allemand Heinrich Weber. Esprit souple, il était capable de travailler dans des domaines très divers des mathématiques. Mais il concentra surtout ses recherches sur l'analyse et ses applications à la physique mathématique et obtint ses résultats les plus profonds en algèbre et en théorie des nombres. Né le 5 mai 1842 à […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/heinrich-martin-weber/#i_26310

WHITTAKER sir EDMUND (1873-1956)

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
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Mathématicien anglais dont les travaux portent principalement sur les équations différentielles et aux dérivées partielles et sur leurs applications à la physique mathématique et à l'astronomie. De 1906 à 1912, Whittaker fut Royal Astronomer of Ireland à Dublin. Il fut nommé alors professeur à l'université d'Édimbourg, où il restera jusqu'à sa retraite en 1946 ; il y a fondé un remarquable groupe […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/whittaker-sir-edmund/#i_26310

YAU SHING-TUNG (1949- )

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 277 mots

Mathématicien chinois, lauréat de la médaille Fields en 1983 pour ses travaux en géométrie différentielle. Né le 4 avril 1949 à Swatow (Chine), Shing-tung Yau fait ses études supérieures à l'université de Californie à Berkeley, où il soutient sa thèse de doctorat en 1971 sous la direction de Shiing-shu Chern. Enseignant à l'université de l'État de New York à Stony Brook de 1972 à 1974, chercheur à […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/shing-tung-yau/#i_26310

Voir aussi

Pour citer l’article

Claude BARDOS, Martin ZERNER, « DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Analyse numérique », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 11 septembre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/derivees-partielles-equations-aux-analyse-numerique/