DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) Analyse numérique

Problèmes d'évolution

Généralités

On peut toujours formuler ces problèmes de la manière suivante : Trouver une fonction u vérifiant :

où u₀ est une fonction (ou une distribution) donnée et A un opérateur aux dérivées partielles en x, complété par des conditions aux limites (problème mixte) ou non (problème de Cauchy).

On peut, en particulier, mettre sous cette forme le problème de Cauchy pour l'équation des ondes :

où B est un opérateur elliptique du second ordre ; il suffit de prendre ∂u/∂t comme fonction inconnue auxiliaire.

Les procédés d'approximation des problèmes aux limites ci-dessus reviennent tous à remplacer A par un opérateur approché A_h. On est ainsi ramené au problème aux valeurs initiales pour le système différentiel ordinaire :

on peut alors puiser dans les techniques de l'analyse numérique des systèmes différentiels, en commençant par la méthode de Runge-Kutta (cf. équations différentielles, chap. 7) et les méthodes linéaires multipas.

Toutefois, ces systèmes présentent des particularités. Ils sont compliqués et à un grand nombre de dimensions, ce qui rend malaisé l'emploi de méthodes sophistiquées ; en fait même illusoire, du fait que le système lui-même n'est qu'une approximation.

Mais surtout, il ne faut pas oublier que h est un paramètre « destiné à tendre vers zéro ». Ce point est source de difficultés que nous nous proposons de préciser maintenant.

Instabilité de discrétisations linéaires

Considérons encore un problème très simple, que l'on peut d'ailleurs résoudre plus efficacement par développement en série trigonométrique.

Une plaque d'un matériau homogène est plongée dans l'eau bouillante jusqu'à obtention partout de la température 100⁰, puis, à l'instant t = 0 dans de la glace fondante. La température u ne dépend donc que du temps et de la variable d'espace transversale à la plaque. Avec des unités de longueur et de temps adaptées, ce problème satisfait aux équations suivantes :

Approchons ce problème en divisant l'intervalle [0, 1] en N sous-intervalles égaux et en appliquant la méthode des différences finies p [...]

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