GROUPES (mathématiques)Groupes de Lie

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Représentations linéaires de dimension infinie

La description des représentations irréductibles d'un groupe semi-simple complexe donnée dans (21) et (22) est un exemple particulier de l'idée fondamentale de représentation linéaire induite, initialement introduite par Frobenius pour les groupes finis, appliquée aux groupes de Lie.

D'une façon générale, soit G un groupe de Lie, Γ un sous-groupe fermé de G, F un espace vectoriel complexe de dimension finie, et ξ ↦ L(ξ) une représentation linéaire de Γ dans F. Soit alors V un espace vectoriel (en général de dimension infinie) de fonctions définies dans G et vérifiant l'identité :

pour ∈ G et ξ ∈ Γ. On fait alors opérer G dans V en posant :
pour s, x dans G.

L'exemple des représentations de dimension finie donné dans (21) et (22) correspond au cas où L est une représentation de dimension 1 et où V est de dimension finie. Le cas le plus étudié en dehors de ce dernier est celui où L est une représentation unitaire (autrement dit, L(ξ) laisse invariant un produit scalaire euclidien dans F) ; si f vérifie (23), on a ∥f (xξ)∥ = ∥(x)∥ pour la norme euclidienne dans F, et on peut considérer f comme définie dans G/Γ ; on définit alors V comme l'espace de Hilbert des fonctions f sur G/Γ telles que :

où μ est une mesure sur GΓ invariante pour l'action de G. Il s'agit de savoir si cette représentation est irréductible, ou de la décomposer en représentations irréductibles ; cela pose des problèmes difficiles qui sont encore loin d'être tous résolus. Leur intérêt réside dans le fait qu'ils rattachent à la théorie des groupes de Lie des questions d'analyse ou de physique d'allure toute différente.

En premier lieu, on rencontre ainsi de façon naturelle de nombreuses fonctions spéciales, dont on peut ainsi faire une théorie unifiée et « expliquer » maintes propriétés qui paraissaient fortuites.

Les exemples les plus simples s'obtiennent lorsqu'on prend G = U, groupe compact semi-simple, et Γ = K0 (notations du chap. 7). Alors toutes les représentations de U dans un espace de Hilbert V se décomposent en représentations de dimension finie, [...]


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Théorie des groupes et des algèbres de Lie

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Jean DIEUDONNÉ, « GROUPES (mathématiques) - Groupes de Lie », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 25 octobre 2020. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/groupes-mathematiques-groupes-de-lie/