GROUPES (mathématiques)Groupes de Lie

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La théorie des groupes de Lie, fondée dans la période de 1870-1880 par le mathématicien norvégien Sophus Lie, a d'abord été considérée comme une partie assez marginale des mathématiques, liée à des problèmes touchant les équations différentielles, les équations aux dérivées partielles et la géométrie différentielle. Leur étude générale a mis plus tard en évidence un certain nombre d'objets mathématiques particuliers, explicitement définis, les groupes semi-simples, dont on a peu à peu découvert le rôle fondamental dans presque toutes les parties des mathématiques modernes, même les plus éloignées en apparence des vues initiales de Lie. En outre, ces groupes semblent intervenir de façon de plus en plus profonde dans les conceptions récentes de la physique théorique, surtout en théorie de la relativité et en mécanique quantique.

On suppose connues les notions fondamentales relatives aux variétés différentielles et analytiques. On utilisera systématiquement ici les notions introduites dans l'article sur les groupes classiques, qui constituent les premiers et les plus importants exemples de groupes de Lie.

La structure des groupes de Lie généraux

Un groupe de Lie (appelé aussi groupe de Lie réel) est, par définition, une variété analytique réelle G (dite sous-jacente au groupe), munie d'une loi de composition (x, y)  xy pour laquelle G est un groupe, et qui est telle que l'application (x, y) ↦ xy-1 de G × G dans G soit analytique. Une variété analytique complexe G munie d'une loi de composition (xy) ↦ xy pour laquelle G est un groupe, et qui est telle que (x, y) ↦ xy-1 soit une application holomorphe de G × G dans G, est appelée groupe de Lie complexe ; un tel groupe peut évidemment aussi être considéré comme groupe de Lie réel (dit sous-jacent au groupe de Lie complexe), en n'envisageant que sa structure de variété analytique réelle. Dans un groupe de Lie réel (resp. complexe) G, les translations ↦ ax, ↦ xa et les automorphismes intérieurs :

sont des applications analytiques (resp. holomorphes) ; il en résulte que la dimension (resp. la dimension complexe) de la variété sous-jacente à G est la même en tous les points de G ; on dit que c'est la dimension (resp. la dimension complexe) de G ; si G est un groupe de Lie complexe de dimension complexe n, le groupe de Lie réel sous-jacent est de dimension 2 n.

Un sous-groupe de Lie (resp. sous-groupe de Lie complexe) H d'un groupe de Lie (resp. groupe de Lie complexe) G est un sous-groupe de G dont l'ensemble sous-jacent est une sous-variété fermée de la variété sous-jacente à G. On montre qu'un sous-groupe fermé d'un groupe de Lie G est nécessairement un sous-groupe de Lie de G (mais non nécessairement un sous-groupe de Lie complexe lorsque G est un groupe de Lie complexe).

Ainsi, le groupe linéaire GL (n, R) (resp. GL(n, C)) est un groupe de Lie réel (resp. complexe) de dimension (resp. de dimension complexe) n2 ; le groupe unimodulaire SL(nR) (resp. SL(n, C)) en est un sous-groupe de Lie (resp. un sous-groupe de Lie complexe) de dimension (resp. de dimension complexe) n2 − 1. Le groupe orthogonal O(nR) (resp. O(n, C)) est un sous-groupe de Lie (resp. un sous-groupe de Lie complexe) de GL(n, R) (resp. GL(n, C) de dimension (resp. de dimension complexe) n(n − 1)/2.

Un homomorphisme f : G → G′ de groupes de Lie (resp. de groupes de Lie complexes) est un homomorphisme de groupes qui est en même temps une application analytique (resp. holomorphe). Le noyau f-1(e′) est un sous-groupe de Lie (resp. un sous-groupe de Lie complexe) de G. Par contre, l'image (G) est un sous-groupe de G′ qui n'est pas nécessairement fermé.

On se bornera, dans ce chapitre, aux propriétés des groupes de Lie réels ; lorsqu'on mentionnera un groupe de Lie complexe, par exemple GL(n, C), c'est en fait le groupe de Lie réel sous-jacent dont il sera question.

Si N est un sous-groupe de Lie distingué d'un groupe de Lie G (donc fermé dans G), on peut définir sur le groupe G/N une structure et une seule de variété analytique qui en fait un groupe de Lie et pour laquelle l'application canonique :

est une submersion. Si G et G′ sont deux groupes de Lie, la structure de variété produit sur G × G′ définit sur ce groupe une structure de groupe de Lie. Plus généralement, soit L et N deux groupes de Lie, et ↦ τx un homomorphisme du groupe L dans le groupe Aut(N) des automorphismes de N, tel que l'application (xy) ↦ τx(y) de L × N dans N soit analytique. Alors le produit semi-direct L × τ N de L par N relatif à τ est un groupe de Lie pour la structure de variété produit ; N est un sous-groupe distingué fermé de L ×τ N, et le groupe quotient :
est isomorphe à L.

Les groupes de Lie de dimension 0 sont les groupes discrets. Dans un groupe de Lie G, la composante neutre (c'est-à-dire la composante connexe de l'élément neutre e de G) est un sous-groupe ouvert (donc à plus forte raison fermé) distingué G0, et le quotient G/G0 est discret ; on notera que G n'est pas nécessairement produit semi-direct de G0 et d'un sous-groupe isomorphe à G/G0. L'étude des groupes de Lie se concentre presque exclusivement sur les groupes de Lie connexes.

Pour un groupe de Lie connexe G, il existe un groupe de Lie simplement connexe G̃ appelé revêtement universel de G, déterminé à un isomorphisme près, tel que G soit isomorphe à G̃/D, où D est un sous-groupe discret du centre de G̃, isomorphe au groupe fondamental π1(G) de la variété sous-jacente à G (le groupe π1(G) est donc toujours commutatif). La structure des groupes de Lie connexes est donc ramenée à celle des groupes simplement connexes.

Ainsi le groupe GL(nC) est connexe ; mais le groupe GL(n, R) a deux composantes connexes, la composante neutre étant l'ensemble des matrices de déterminant strictement positif. Les groupes SL(n, C) et SL(n, R) sont connexes. Chacun des groupes O(n, C) et O(n, R) a deux composantes connexes ; les composantes neutres sont SO(n, C) et SO(n, R).

Un groupe de Lie commutatif connexe est nécessairement isomorphe à un groupe du type R× Tq, où T = R/Z (« tore à une dimension ») ; son revêtement universel est Rp+q. Le groupe SL(n, C) est simplement connexe, mais GL(n, C) ne l'est pas : son revêtement universel est isomorphe à :

et son groupe fondamental isomorphe à Z. Le groupe SO(2, R) est commutatif et isomorphe à T ; pour ≥ 3, le groupe SO(nR) a pour revêtement universel le groupe Spin(n) (cf. groupes [mathématiques] – Groupes classiques et géométrie) noté encore Spin(n, R), et le groupe fondamental est d'ordre 2 ; on définit de même le groupe Spin(n, C), qui est revêtement universel de SO(n, C) pour ≥ 3, avec encore un groupe fondamental d'ordre 2.

Dans un groupe de Lie simplement connexe G, les groupes dérivés successifs Dr(G) sont des sous-groupes distingués fermés connexes  [...]

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Jean DIEUDONNÉ, « GROUPES (mathématiques) - Groupes de Lie », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 01 décembre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/groupes-mathematiques-groupes-de-lie/