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GROUPES (mathématiques) Groupes de Lie

Algèbres semi-simples complexes et leurs formes réelles

Dans le chapitre 6, en partant de l' algèbre de Lie d'un groupe semi-simple compact, on a obtenu, en la complexifiant, une algèbre de Lie semi-simple complexe. Ce processus admet une réciproque, qui établit une correspondance biunivoque entre groupes connexes semi-simples complexes et groupes connexes semi-simples compacts.

L'unique méthode connue pour établir ce fait est due à Killing et É. Cartan, et est fort longue : on commence par démontrer, dans une algèbre semi-simple complexeg de dimension n sur C, l'existence d'une sous-algèbre commutative maximale h (sous-algèbre de Cartan) telle que la relation ad(X)(h) ⊂ h entraîne X ∈ h. En étudiant la représentation adjointe H ↦ ad(H) de h dans l'espace vectoriel g, on arrive alors à décomposer g en somme directe de h et de sous-espaces CXα de dimension 1, où les Xα vérifient les relations (13) à (16). On voit aisément que l'espace vectoriel réel u engendré par les iHα, les Xα − X−α et les i(Xα + X−α) est une algèbre de Lie réelle dans laquelle la forme de Killing est négative non dégénérée ; donc u est l'algèbre de Lie d'un groupe compact semi-simple U, et g = u ⊕ iu. Les iHα engendrent une sous-algèbre (réelle) commutative maximale t de u (correspondant à un tore maximal T de U), et on a h = t ⊕ it.

Si l'on choisit une base (αj), avec 1 ≤ j ≤ m, du système des racines de g, la sous-algèbre (complexe) n+ (resp. n-) de g ayant pour base les Xα pour α > 0 (resp. α < 0) est une sous-algèbre nilpotente ; on a :

et b = h ⊕ n+ est une sous-algèbre résoluble maximale de g. Si G est un groupe de Lie (complexe) connexe d'algèbre de Lie g et B le sous-groupe connexe de G correspondant à b, B est donc un sous-groupe résoluble connexe maximal de G. Les sous-groupes ayant ces trois propriétés sont appelés sous-groupes de Borel de G ; ils sont tous conjugués dans G. On montre que B est son propre normalisateur dans G, et que l'espace homogène G/B est compact et peut canoniquement être muni d'une structure de variété algébrique projective sur C. En outre, les doubles classes BsB forment une partition de G qui est canoniquement indexée par le groupe de Weyl W de U (décomposition de Bruhat) : de façon précise, pour tout w ∈ W, il existe, dans le normalisateur de T dans U, un élément nw tel que Ad(nw) laisse stable h et induise sur h la contragrédiente de w considéré comme opérant dans h* (cf. chap. 6) ; l'application w ↦ BnwB est une bijection de W sur l'ensemble des doubles classes modulo B.

Dans SL(n, C), par exemple, un groupe de Borel est le groupe trigonal large supérieur T(n, C) (cf. chap. 1).

Le groupe de Borel permet de donner une expression explicite de la représentation linéaire de G correspondant à une représentation linéaire de g de poids dominant ω. Supposons, pour simplifier, G simplement connexe, et soit M le sous-groupe connexe de G correspondant à h, qui est isomorphe à (C*)m (« groupe de type multiplicatif ») ; on déduit de ω un homomorphisme ψω : M → C* défini par :

coïncidant dans T avec le caractère χω ; si N+ est le sous-groupe de B correspondant à n+, on a B = M . N+ et on prolonge ψω en un homomorphisme de B dans C* en lui donnant la valeur 1 dans N+. Soit alors Vω l'espace vectoriel des fonctions f holomorphes dans G et vérifiant l'identité :
pour x ∈ G et b ∈ B. On peut faire opérer linéairement G dans Vω en posant :
pour s, x dans G. On prouve que Vω est de dimension finie, que la représentation de G dans Vω ainsi définie est irréductible et que sa contragrédiente a pour caractère χω.

On dit qu'une algèbre semi-simple g0 sur R est une forme réelle de g si g est isomorphe à la complexifiée :

de g0 ; il est immédiat qu'il[...]

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Pour citer cet article

Jean DIEUDONNÉ. GROUPES (mathématiques) - Groupes de Lie [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )

Médias

Groupes classiques simples - crédits : Encyclopædia Universalis France

Groupes classiques simples

Encyclopædia Universalis France

Théorie des groupes et des algèbres de Lie - crédits : Encyclopædia Universalis France

Théorie des groupes et des algèbres de Lie

Encyclopædia Universalis France

Autres références

  • ALGÈBRE

    • Écrit par Jean-Luc VERLEY
    • 7 143 mots
    La structure de groupe est une des structures algébriques les plus simples et, sans conteste, la plus importante des mathématiques modernes. Son universalité ne s'arrête pas là : le psychologue Piaget a mis en évidence le rôle essentiel joué par cette notion dans les mécanismes mêmes de la pensée, et...

  • ALGÉBRIQUES STRUCTURES

    • Écrit par Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
    • 29 463 mots
    Un groupe peut être défini indifféremment comme un monoïde (E, l) tel que tout élément de E soit symétrisable, ou comme un magma associatif unifère (E, l) tel que tout élément de E soit symétrisable, ou comme un groupoïde ayant un et un seul élément neutre. Tout semi-groupe fini est un groupe....

  • BOREL ARMAND (1923-2003)

    • Écrit par Pierre CARTIER
    • 795 mots

    En 1992, le mathématicien Armand Borel a reçu le prix international Balzan « pour ses contributions fondamentales à la théorie des groupes de Lie, des groupes algébriques et des groupes arithmétiques, et pour son action inlassable en faveur de la recherche mathématique et de la propagation...

  • BURNSIDE WILLIAM SNOW (1852-1927)

    • Écrit par Bernard PIRE
    • 394 mots

    Mathématicien britannique, spécialiste de la théorie des groupes. Né le 2 juillet 1852 à Londres (Grande-Bretagne) d'un père écossais, William Snow Burnside fait ses études supérieures au Pembroke College de l'université de Cambridge, dont il est diplômé en 1875 et où il effectue ses recherches...

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Voir aussi

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