GROUPES (mathématiques)Groupes de Lie

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Algèbres semi-simples complexes et leurs formes réelles

Dans le chapitre 6, en partant de l'algèbre de Lie d'un groupe semi-simple compact, on a obtenu, en la complexifiant, une algèbre de Lie semi-simple complexe. Ce processus admet une réciproque, qui établit une correspondance biunivoque entre groupes connexes semi-simples complexes et groupes connexes semi-simples compacts.

L'unique méthode connue pour établir ce fait est due à Killing et É. Cartan, et est fort longue : on commence par démontrer, dans une algèbre semi-simple complexe g de dimension n sur C, l'existence d'une sous-algèbre commutative maximale h (sous-algèbre de Cartan) telle que la relation ad(X)(h) ⊂ h entraîne X ∈ h. En étudiant la représentation adjointe H ↦ ad(H) de h dans l'espace vectoriel g, on arrive alors à décomposer g en somme directe de h et de sous-espaces CXα de dimension 1, où les Xα vérifient les relations (13) à (16). On voit aisément que l'espace vectoriel réel u engendré par les iHα, les Xα − X−α et les i(Xα + X−α) est une algèbre de Lie réelle dans laquelle la forme de Killing est négative non dégénérée ; donc u est l'algèbre de Lie d'un groupe compact semi-simple U, et g = u ⊕ iu. Les iHα engendrent une sous-algèbre (réelle) commutative maximale t de u (correspondant à un tore maximal T de U), et on a h = t ⊕ it.

Si l'on choisit une base (αj), avec 1 ≤ j ≤ m, du système des racines de g, la sous-algèbre (complexe) n+ (resp. n-) de g ayant pour base les Xα pour α > 0 (resp. α < 0) est une sous-algèbre nilpotente ; on a :

et b = hn+ est une sous-algèbre résoluble maximale de g. Si G est un groupe de Lie (complexe) connexe d'algèbre de Lie g et B le sous-groupe connexe de G correspondant à b, B est donc un sous-groupe résoluble connexe maximal de G. Les sous-groupes ayant ces trois propriétés sont appelés sous-groupes de Borel de G ; ils sont tous conjugués dans G. On montre que B est son propre normalisateur dans G, et que l'espace homogène G/B est compact et peut canoniquement être muni d'une structure de variété algébrique projective sur C. En outre, les doubles classes BsB [...]

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Jean DIEUDONNÉ, « GROUPES (mathématiques) - Groupes de Lie », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 08 mai 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/groupes-mathematiques-groupes-de-lie/