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GROUPES (mathématiques) Groupes de Lie

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Algèbres de Lie

L'outil essentiel dans la démonstration des remarquables résultats qui précèdent est la méthode infinitésimale, inaugurée par S. Lie (1842-1899), qui a pour effet de ramener l'étude des groupes de Lie à l'étude de ce qu'on appelle leurs algèbres de Lie. L'idée est d'étudier les conditions qu'impose l'associativité de la loi d'un groupe G aux séries qui l'expriment dans un voisinage V de e. On suppose choisi un système de coordonnées locales qui s'annulent en e, de sorte que V est identifié à un voisinage de l'origine dans Rn. Soit W un voisinage de 0 tel que W2 ⊂ V, et x = (x1, ..., xn), y = (y1, ..., yn) deux points de W ; leur produit z = xy ∈ V étant fonction analytique de x, y par hypothèse, les coordonnées z1, ..., zn de z s'expriment par des séries convergentes pour |xj| < ρ, |yj| < ρ, 1 ≤ j ≤ n :

1 ≤ j ≤ n, où l'on a employé la notion des multi-indices :
(cf. calcul infinitésimal – Calcul à plusieurs variables). Considérons alors une fonction analytique :
donc développable en série convergente au voisinage de 0 ; si l'on substitue à chaque xj la série zj = ϕj(x, y) donnée par (1), on obtient une série en les xj et yj, et, en groupant les monômes en xβyα pour un même α, on obtient ce qu'on peut appeler la formule de Taylor dans le groupe G au voisinage de e :
où on vérifie aisément que :
(combinaison d'un nombre fini de dérivées partielles de f, à coefficients aαβ analytiques au voisinage de 0). Les applications f ↦ Zαf sont donc des opérateurs différentiels sur les fonctions analytiques dans G ; en outre, ils ont la propriété fondamentale d'invariance à gauche par le groupe. De façon précise, pour tous s ∈ G assez petit, posons fs(x) = f (sx). Un opérateur différentiel Z est dit invariant à gauche si Z(fs) = (Z(f ))s, pour s assez petit ; pour les Zα, cela résulte de leur définition (2) et de l'associativité, qui donne fs(xy) = f ((sx)y). Il est clair que l'ensemble G des opérateurs différentiels invariants à gauche est une algèbre associative sur R, dont on voit aisément que les Zα forment une base sur R (Z0 est pris égal à l'identité). En fait, la table de multiplication de la base (Zα) se détermine explicitement à l'aide des séries (1). On pose en effet, pour tout multi-indice γ = (γ1, ..., γn) :
de sorte que b(j)αβ = cαβεj, où εj est le multi-indice (δij), avec 1 ≤ i ≤ n ; de plus, on vérifie aussitôt que cαβγ  = 0 pour |α| + |β| < |γ| et que les seuls cαβγ non nuls tels que |γ| = |α| + |β| sont ceux pour lesquels γ = α + β, qui ont pour valeur :
avec α ! = α1 ! ... αn !. Pour tout s assez petit, on peut écrire :
et, en vertu de la formule (2) appliquée en remplaçant f par Zβf :

Mais, d'autre part, on a aussi, par (2) :

d'où, en comparant à (4), les formules :
  qui donnent la table de multiplication. La comparaison des formules (3) et (5) montre que la structure d'algèbre de G et la structure de groupe de G (si G est simplement connexe) se déterminent mutuellement sans ambiguïté.

En particulier, en posant :

on tire de (5), en prenant α = εi, β = εj :
1 ≤ i ≤ n et 1 ≤ j ≤ n ; et, en échangeant i et j :
1 ≤ i ≤ n et 1 ≤ j ≤ n.

Le sous-espace vectoriel g de G, de dimension n, admettant les Xi pour base, est l'ensemble des opérateurs invariants à gauche d'ordre 1 ; les formules (7) montrent que g est stable pour l'opération :

qui vérifie les deux identités :
(identité de Jacobi). Un espace vectoriel sur un corps K dans lequel est défini une loi de composition :
vérifiant ces deux identités et bilinéaire[...]

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Pour citer cet article

Jean DIEUDONNÉ. GROUPES (mathématiques) - Groupes de Lie [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )

Article mis en ligne le et modifié le 14/03/2009

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Groupes classiques simples - crédits : Encyclopædia Universalis France

Groupes classiques simples

Encyclopædia Universalis France

Théorie des groupes et des algèbres de Lie - crédits : Encyclopædia Universalis France

Théorie des groupes et des algèbres de Lie

Encyclopædia Universalis France

Autres références

  • ALGÈBRE

    • Écrit par
    • 7 143 mots
    La structure de groupe est une des structures algébriques les plus simples et, sans conteste, la plus importante des mathématiques modernes. Son universalité ne s'arrête pas là : le psychologue Piaget a mis en évidence le rôle essentiel joué par cette notion dans les mécanismes mêmes de la pensée, et...

  • ALGÉBRIQUES STRUCTURES

    • Écrit par
    • 29 463 mots
    Un groupe peut être défini indifféremment comme un monoïde (E, l) tel que tout élément de E soit symétrisable, ou comme un magma associatif unifère (E, l) tel que tout élément de E soit symétrisable, ou comme un groupoïde ayant un et un seul élément neutre. Tout semi-groupe fini est un groupe....

  • BOREL ARMAND (1923-2003)

    • Écrit par
    • 795 mots

    En 1992, le mathématicien Armand Borel a reçu le prix international Balzan « pour ses contributions fondamentales à la théorie des groupes de Lie, des groupes algébriques et des groupes arithmétiques, et pour son action inlassable en faveur de la recherche mathématique et de la propagation...

  • BURNSIDE WILLIAM SNOW (1852-1927)

    • Écrit par
    • 394 mots

    Mathématicien britannique, spécialiste de la théorie des groupes. Né le 2 juillet 1852 à Londres (Grande-Bretagne) d'un père écossais, William Snow Burnside fait ses études supérieures au Pembroke College de l'université de Cambridge, dont il est diplômé en 1875 et où il effectue ses recherches...

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