MATHÉMATIQUES FONDEMENTS DES
Au sens premier et fort, le mot « fondement » désigne la base, jugée inébranlable, sur laquelle repose un corps d'énoncés, un système de connaissances, un complexe de croyances ou de conduites. « Reposer sur la base » signifie ici « trouver en elle à la fois son origine et sa raison ». Point fixe à partir de quoi l'on explique et déploie, région originaire où prend racine le riche contenu de l'expérience instruite, tel apparaît le sens fort de l'expression « fondement ». À prendre le mot en ce sens, la question du « fondement des mathématiques » déboucherait sur un problème métaphysique. Elle consisterait à se demander : Pourquoi existe-t-il une mathesis ? De quelle région de l'Être le mathématicien instaure-t-il son discours ? Dans quels champs d'objets se déploient et de quelle origine sont les enchaînements opératoires qui, dans leur ordonnance réglée, manifestent les êtres et les propriétés mathématiques ? Sur ces questions, de Pythagore à Husserl (pour fixer deux bornes), la tradition philosophique n'a pas été avare de paroles. Il s'en faut.
Pythagore
photographie
Le Grec Pythagore (580 av. J.-C. env.-env. 500 av. J.-C.), philosophe et mathématicien, n'a laissé aucun écrit et n'est connu que par la tradition orale.
Crédits : Hulton Getty
Depuis un demi-siècle cependant, l'expression « fondements des mathématiques » a acquis un sens plus restreint et plus précis. C'est en vain, par exemple, que l'on chercherait dans le monumental ouvrage de David Hilbert et Paul Bernays, Grundlagen der Mathematik, un discours philosophique apportant aux questions que nous venons de poser une réponse organiquement développée. En revanche, on y trouve l'exposé d'un ensemble de méthodes mathématiques propres (tel était du moins le projet des auteurs) à assurer la validité des enchaînements démonstratifs que proposent les mathématiques effectivement produites. Les méthodes employées débouchent, certes, sur une conception des mathématiques, sur une interprétation de la nature de leurs objets et de leurs opérations. Mais ni cette conception ni cette interprétation ne sont strictement requises pour la mise en œuvre des méthodes elles-mêmes.
C'est en ce sens restreint que nous prendrons ici l'expression « fondements des mathématiqu [...]
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Écrit par :
- Jean Toussaint DESANTI : professeur émérite à l'université de Paris-I-Panthéon-Sorbonne
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ACKERMANN WILHELM (1896-1962)
dans un lycée à Burgsteinfurt, puis à Lüdenscheid (Allemagne), fonction qu'il exercera jusqu'en 1961. En 1953, il est nommé professeur honoraire de l'université de Münster et il y donne quelques cours sur la logique et les
AXIOMATIQUE
plan, en géométrie, on doit pouvoir dire sans inconvénient : tables, chaises, verre de bière ! » De même, la réalité métaphysique des objets mathématiques n'est pas prise en considération ; seules comptent les relations explicitement précisées par les axiomes entre les signes représentant ces objets, eux-mêmes explicitement précisés par les axiomes […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/axiomatique/#i_25200
BACHELARD GASTON (1884-1962)
Dans le chapitre « La rationalité scientifique » : […] À partir de son doctorat de philosophie (Essai sur la connaissance approchée, 1927), Bachelard va chercher à comprendre l’aventure scientifique, celles des mathématiciens, physiciens, chimistes. Parmi les premiers, il s’efforce d’interpréter les hypothèses novatrices de la physique mathématique, à l'échelle de l'infiniment grand […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/gaston-bachelard/#i_25200
BOLYAI JÁNOS (1802-1860)
S'intéressant aux mathématiques, János Bolyai y consacra les loisirs que lui laissait son métier d'officier du génie sous l'impulsion de son père Farkas Bolyai (1775-1856), professeur de mathématiques et ancien condisciple de Gauss, avec qui il entretenait une correspondance sur les fondements de la
BOLZANO BERNARD (1781-1848)
Dans le chapitre « Le système de la « Grössenlehre » et les « Paradoxes de l'infini » » : […] La Grössenlehre, qui date quant à l'essentiel des années 1830-1834, représente la réalisation, inachevée, du grand projet de Bolzano de donner un exposé rigoureusement scientifique de la mathématique à partir de ses premiers concepts et selon les normes de la Wissenschaftslehre. Quoique Bolzano revienne à la […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/bernard-bolzano/#i_25200
BOURBAKI NICOLAS (XXe s.)
CANTOR : THÉORIE DES ENSEMBLES
CAVAILLÈS JEAN (1903-1944)
Philosophe et logicien français, professeur à l'École normale supérieure, à l'université de Strasbourg et à la Sorbonne. Pendant la Seconde Guerre mondiale, plusieurs fois prisonnier et évadé, il est l'un des premiers et des plus actifs fondateurs de réseaux de résistance. Il a été fusillé par les Allemands en 1944. Son souvenir est évoqué par sa […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/jean-cavailles/#i_25200
COMTE AUGUSTE (1798-1857)
Dans le chapitre « La classification des sciences » : […] Les mathématiques, nées de l'art de mesurer les grandeurs, ont atteint les premières l'état positif. Les mathématiques concrètes sont la géométrie qui mesure l'étendue, et la mécanique. Abstraites, au contraire, celles qui font la théorie des opérations, depuis l'arithmétique jusqu'à l'analyse. Comte admire celles-là, où il voit une logique, le […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/auguste-comte/#i_25200
CONCEPT
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CONSTRUCTION, mathématique
Pendant des millénaires les objets mathématiques ont été considérés comme ayant une existence propre. Depuis la fin du xixe siècle et surtout le début du xxe, on a mis au point une
DEDEKIND RICHARD (1831-1916)
Dans le chapitre « Les courbes algébriques planes »
: […]
On retrouve donc, ici encore, une des idées clés de la
DESCARTES RENÉ
Dans le chapitre « Les mathématiques » : […] En mathématiques, Descartes a réformé le système des notations. Les signes en usage étaient alors les signes cossiques, signes complexes, tirés des alphabets grec et hébreu, signes malaisément maniables. Descartes ne se sert plus – sauf en ses tout premiers écrits – que des lettres de l'alphabet latin, des signes des quatre opérations arithmétiques […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/rene-descartes/#i_25200
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FONDATIONNALISME ET ANTIFONDATIONNALISME, mathématique
Jamais dans aucune science la recherche de fondements – ou de fondations – n'a été aussi approfondie qu'en mathématiques. Les méthodes proposées sont nombreuses et le débat qui est né de ces diverses propositions (voir les articles liés) semble sans fin et ne pas progresser vers une solution unique pouvant recueillir un soutien unanime (alors que […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/fondationnalisme-et-antifondationnalisme-mathematique/#i_25200
FORMALISME
scientifique de la formalisation se réduise à une question de formulation. La formalisation des théories mathématiques fondamentales, suscitée à l'origine par les problèmes de « fondement » des mathématiques, a conduit tout au long du xxe siècle au développement autonome d'une
FREGE GOTTLOB (1848-1925)
de Frege fut de poursuivre selon une analyse entièrement neuve une seule question, le fondement de l'arithmétique, en toutes ses ramifications. Trois domaines, cependant, se partagent son héritage : à la mathématique, il donna la première définition satisfaisante du
GÖDEL : THÉORÈMES D'INCOMPLÉTUDE
Deux ans après avoir soutenu sa thèse de doctorat à l'université de Vienne, le jeune mathématicien autrichien
HUSSERL EDMUND
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IDÉALISME
Dans le chapitre « Les mathématiques et l'idéalisme »
: […]
La réalité mathématique se présente sous trois aspects : entités, conceptions abstraites, symboles. Privilégier l'un de ces aspects à l'exclusion des autres donne à chaque fois une philosophie des mathématiques : platonisme ou réalisme, constructivisme,
INTUITION
Dans le chapitre « Bases intuitives et conditions formelles des mathématiques » : […] Ce sont les mathématiques qui ont donné lieu à certaines thèses « intuitionnistes », comme il est naturel pour une science qui développe les liaisons d'êtres idéaux soustraits à l'empirie. Les mathématiques cantoriennes se réclament d'une évidence rationnelle pour poser leurs principes fondamentaux. Surtout, les points de vue kantiens concernant l' […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/intuition/#i_25200
INTUITIONNISME
mot, c'est-à-dire quand le terme ne se contente pas de caractériser une
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Dans le chapitre « L'espace et le temps, formes de la sensibilité » : […] de nos intuitions empiriques, c'est-à-dire de nos sensations. Ainsi s'explique que les mathématiques puissent y exhiber, y construire des concepts sans recourir à l'expérience et procéder ainsi par jugements synthétiques a priori dont il est certain par avance qu'ils vaudront pour l'expérience, c'est-à-dire qu'ils pourront prendre place dans la […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/emmanuel-kant/#i_25200
MARTIN ROGER (1920-1979)
des types (Russell, Ramsey, Chwistek), Cantor et la théorie zermelienne des ensembles (Zermelo, Skolem, Fraenkel). L'ouvrage principal de Roger Martin, Logique contemporaine et formalisation (1964), couronné par le prix Jean-Cavaillès, est la première présentation d'ensemble de la logique mathématique en langue française. […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/roger-martin/#i_25200
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: […]
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: […]
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NOTATION MATHÉMATIQUE
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Dans le chapitre « Les objets mathématiques »
: […]
Les objets mathématiques ont bien évidemment des propriétés, un contenu, qui les différencie non en tant qu'individus réalisés hic et nunc, mais en tant que concepts déterminés, car ils ne sont pas saisissables comme tels dans une
PEANO GIUSEPPE (1858-1932)
Le mathématicien italien Peano s'est principalement intéressé aux fondements des mathématiques, ainsi qu'à la théorie des langages. Grâce à lui, on comprendra mieux aujourd'hui la fécondité des méthodes formelles et axiomatiques. L'actualité de son œuvre ne fait que croître […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/giuseppe-peano/#i_25200
POINCARÉ HENRI (1854-1912)
Dans le chapitre « Poincaré philosophe »
: […]
En ce qui concerne la nature des mathématiques, il s'oppose aussi bien aux empiristes qu'aux formalistes et aux logicistes. Le continu mathématique n'est ni donné uniquement par l'expérience, ni pure construction
PRÉDICATIVISME, mathématique
de la logique formelle, tout était dit, il n'y avait plus qu'à faire preuve de vigilance. Pour Russell, au contraire, la logique, et avec elle les mathématiques, qui n'en étaient que le prolongement, devaient être reconstruites en faisant systématiquement droit au nouveau principe plus précisément formulé. Les règles gouvernant l'usage des […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/predicativisme-mathematique/#i_25200
RATIONALISME
Dans le chapitre « Le rationalisme cartésien »
: […]
Le
RECHERCHES LOGIQUES, Edmund Husserl - Fiche de lecture
Dans le chapitre « La critique du psychologisme et le « retour aux choses mêmes » » : […] Parti des mathématiques, Husserl en recherche les fondements d'abord dans la logique, puis dans l'activité de l'esprit où celle-ci s'enracine. Mais ces activités n'ont rien de réductibles aux lois qui régissent le fonctionnement de notre psychisme. De fait, Les Prolégomènes à la logique pure, qui constituent le volume […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/recherches-logiques/#i_25200
RELATION
Dans le chapitre « Relations arithmétiques, multirelations, structure, système » : […] La théorie des relations, en tant qu'elle étudie précisément les relations sous leur aspect formel, constitue le cadre le plus général de l'étude des structures et apparaît ainsi comme une discipline fondationnelle dont la signification stratégique est d'ordre tout à fait primordial […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/relation/#i_25200
RUSSELL BERTRAND lord (1872-1970)
entre le langage naturel et la structure logique, à la grammaticalité et surtout aux fondements de l'arithmétique. Si, en principe, la
SCIENCES - Sciences et discours rationnel
Dans le chapitre « Les divers types de science et leurs modes de validation : le type formel pur » : […] Appartiennent au type formel pur les mathématiques et la logique formalisée. La distinction entre mathématiques et logique pose un problème spécifique qui ne sera pas examiné ici. Le fait décisif est que la logique s'est révélée susceptible d'être étudiée par des méthodes qui ont depuis longtemps fait leurs preuves en mathématiques. La notion de […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/sciences-sciences-et-discours-rationnel/#i_25200
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Dans le chapitre « Le critère vérificationniste de la signification et ses critiques »
: […]
On doit à la logique moderne d'avoir su traiter les paradoxes qui menaçaient les
WHITEHEAD ALFRED NORTH (1861-1947)
Dans le chapitre « Le mathématicien » : […] consacrée à la philosophie des sciences et à sa théorie de l'organisme, mais il s'est d'abord consacré aux mathématiques pures, algèbre et géométries non euclidiennes. Son étude des fondements logiques des mathématiques, qui culmine avec les trois volumes des Principia mathematica, écrits en collaboration avec Bertrand Russell, est suivie de […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/alfred-north-whitehead/#i_25200
ZERMELO ERNST (1871-1953)
Mathématicien et logicien allemand, né à Berlin et mort à Fribourg-en-Brisgau, fondateur de la théorie
Voir aussi
Pour citer l’article
Jean Toussaint DESANTI, « MATHÉMATIQUES FONDEMENTS DES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 23 septembre 2017. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/fondements-des-mathematiques/
