MATHÉMATIQUES FONDEMENTS DES
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Au sens premier et fort, le mot « fondement » désigne la base, jugée inébranlable, sur laquelle repose un corps d'énoncés, un système de connaissances, un complexe de croyances ou de conduites. « Reposer sur la base » signifie ici « trouver en elle à la fois son origine et sa raison ». Point fixe à partir de quoi l'on explique et déploie, région originaire où prend racine le riche contenu de l'expérience instruite, tel apparaît le sens fort de l'expression « fondement ». À prendre le mot en ce sens, la question du « fondement des mathématiques » déboucherait sur un problème métaphysique. Elle consisterait à se demander : Pourquoi existe-t-il une mathesis ? De quelle région de l'Être le mathématicien instaure-t-il son discours ? Dans quels champs d'objets se déploient et de quelle origine sont les enchaînements opératoires qui, dans leur ordonnance réglée, manifestent les êtres et les propriétés mathématiques ? Sur ces questions, de Pythagore à Husserl (pour fixer deux bornes), la tradition philosophique n'a pas été avare de paroles. Il s'en faut.
Pythagore
Photographie
Le Grec Pythagore (580 av. J.-C. env.-env. 500 av. J.-C.), philosophe et mathématicien, n'a laissé aucun écrit et n'est connu que par la tradition orale.
Crédits : Hulton Getty
Depuis un demi-siècle cependant, l'expression « fondements des mathématiques » a acquis un sens plus restreint et plus précis. C'est en vain, par exemple, que l'on chercherait dans le monumental ouvrage de David Hilbert et Paul Bernays, Grundlagen der Mathematik, un discours philosophique apportant aux questions que nous venons de poser une réponse organiquement développée. En revanche, on y trouve l'exposé d'un ensemble de méthodes mathématiques propres (tel était du moins le projet des auteurs) à assurer la validité des enchaînements démonstratifs que proposent les mathématiques effectivement produites. Les méthodes employées débouchent, certes, sur une conception des mathématiques, sur une interprétation de la nature de leurs objets et de leurs opérations. Mais ni [...]
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Écrit par :
- Jean Toussaint DESANTI : professeur émérite à l'université de Paris-I-Panthéon-Sorbonne
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ACKERMANN WILHELM (1896-1962)
Mathématicien allemand, spécialiste de la logique. Né le 29 mars 1896 à Schönebeck, près d'Altena en Westphalie (alors en Prusse, aujourd'hui en Allemagne), Wilhelm Ackermann fait ses études supérieures à l'université de Göttingen. Dans sa thèse, accomplie sous la direction de David Hilbert (1862-1943), il démontre en 1924 la cohérence de l'arithmétique sans avoir recours à l'induction. Ce travai […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/wilhelm-ackermann/#i_25200
AXIOMATIQUE
La méthode axiomatique est un mode d'exposition des sciences exactes fondé sur des propositions admises sans démonstration et nettement formulées et des raisonnements rigoureux. On se limitera ici à quelques indications méthodologiques et historiques, en renvoyant à l'article logique mathématique pour les problèmes posés par l'étude des systèmes d'axiomes. L'axiomatique c […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/axiomatique/#i_25200
BACHELARD GASTON (1884-1962)
Dans le chapitre « La rationalité scientifique » : […] À partir de son doctorat de philosophie ( Essai sur la connaissance approchée , 1927), Bachelard va chercher à comprendre l’aventure scientifique, celles des mathématiciens, physiciens, chimistes. Parmi les premiers, il s’efforce d’interpréter les hypothèses novatrices de la physique mathématique, à l'échelle de l'infiniment grand (la vitesse de la lumière) ou de l'infiniment […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/gaston-bachelard/#i_25200
BOLYAI JÁNOS (1802-1860)
S'intéressant aux mathématiques, János Bolyai y consacra les loisirs que lui laissait son métier d'officier du génie sous l'impulsion de son père Farkas Bolyai (1775-1856), professeur de mathématiques et ancien condisciple de Gauss, avec qui il entretenait une correspondance sur les fondements de la géométrie. À l'âge de vingt deux ans, János Bolyai travailla à la construction d'une géométrie dans […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/janos-bolyai/#i_25200
BOLZANO BERNARD (1781-1848)
Dans le chapitre « Le système de la « Grössenlehre » et les « Paradoxes de l'infini » » : […] La Grössenlehre , qui date quant à l'essentiel des années 1830-1834, représente la réalisation, inachevée, du grand projet de Bolzano de donner un exposé rigoureusement scientifique de la mathématique à partir de ses premiers concepts et selon les normes de la Wissenschaftslehre . Quoique Bolzano revienne à la définition traditionnelle de la mathématiqu […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/bernard-bolzano/#i_25200
BOURBAKI NICOLAS (XXe s.)
Nicolas Bourbaki est un pseudonyme désignant un groupe de mathématiciens français qui, depuis 1940, a entrepris de publier un traité intitulé Éléments de mathématique . De ces éléments ont été déjà publiées plus de trente monographies représentant un volume d'environ cinq mille pages. En plus de ce traité, Nicolas Bourbaki a aussi publié quelques articles et un livre d'histo […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/bourbaki-nicolas/#i_25200
CANTOR : THÉORIE DES ENSEMBLES
Georg Cantor (1845-1918), professeur de mathématiques à l'université de Halle (Allemagne), publie en 1874 dans le Journal de Crelle l'article fondateur de la théorie des ensembles. Après quelques travaux en théorie des nombres et une rencontre décisive avec le mathématicien Richard Dedekind (1831-1916), Cantor s'était consacré à l'étude des séries trigonométriques et aux nom […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/cantor-theorie-des-ensembles/#i_25200
CAVAILLÈS JEAN (1903-1944)
Philosophe et logicien français, professeur à l'École normale supérieure, à l'université de Strasbourg et à la Sorbonne. Pendant la Seconde Guerre mondiale, plusieurs fois prisonnier et évadé, il est l'un des premiers et des plus actifs fondateurs de réseaux de résistance. Il a été fusillé par les Allemands en 1944. Son souvenir est évoqué par sa sœur, G. Ferrières : […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/jean-cavailles/#i_25200
COMTE AUGUSTE (1798-1857)
Dans le chapitre « La classification des sciences » : […] L'évolution n'est pas terminée, ce qui supprimerait la question, et, d'ailleurs, elle s'opère de manière discontinue, les sciences accédant à l'état positif les unes après les autres. Cela détermine un plan, un ordre qui va donner naissance à une classification : « Les différentes branches de nos connaissances n'ont pas dû parcourir d'une vitesse égale les trois grandes phases de leur développemen […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/auguste-comte/#i_25200
CONCEPT
Dans le chapitre « Le concept dans les mathématiques, la physique et le langage scientifique » : […] Les mathématiques posent un problème spécial. Les entités dont elles traitent ont un caractère idéal et, à ce titre, paraissent appartenir au même domaine que les concepts. Il faut cependant distinguer complètement les objets mathématiques (tels que les nombres, les fonctions, les espaces, etc.) des concepts au moyen desquels nous les caractérisons et en décrivons les propriétés. Du point de vue l […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/concept/#i_25200
CONSTRUCTION, mathématique
Pendant des millénaires les objets mathématiques ont été considérés comme ayant une existence propre. Depuis la fin du xix e siècle et surtout le début du xx e , on a mis au point une méthode axiomatique consistant à tout reprendre afin de donner une base solide à la mathématique à partir du très […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/construction-mathematique/#i_25200
DEDEKIND RICHARD (1831-1916)
Dans le chapitre « Les courbes algébriques planes » : […] En 1882, en collaboration avec H. Weber, Dedekind montrait que les mêmes principes peuvent aussi servir à fonder, de façon purement algébrique, la théorie des courbes algébriques planes qui, jusqu'alors, paraissaient du ressort de la géométrie et de l'analyse. Ce qui doit ici remplacer l'anneau des entiers rationnels Z , c'est l'anneau C[ x ] des polynômes en une variable, à […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/richard-dedekind/#i_25200
DESCARTES RENÉ
Dans le chapitre « Les mathématiques » : […] En mathématiques, Descartes a réformé le système des notations. Les signes en usage étaient alors les signes cossiques, signes complexes, tirés des alphabets grec et hébreu, signes malaisément maniables. Descartes ne se sert plus – sauf en ses tout premiers écrits – que des lettres de l'alphabet latin, des signes des quatre opérations arithmétiques et de la racine carrée ou cubique. Il désigne d' […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/rene-descartes/#i_25200
ÉPISTÉMOLOGIE
Dans le chapitre « Sciences formelles, sciences empiriques » : […] Le développement simultané, et parfois conjoint, d'une mathématique et d'une physique semble poser plus que jamais la question de leurs statuts respectifs et de leurs rapports instrumentaux. Les néo-positivistes du Cercle de Vienne, qui se sont explicitement posé le problème dans les années trente, l'ont généralement résolu d'une façon radicale en ramenant les sciences formelles aux règles – larg […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/epistemologie/#i_25200
ERREUR
Dans le chapitre « L'erreur en mathématiques » : […] L' idée de présenter les théories d'une manière axiomatique date des Grecs, et les Éléments d'Euclide ont constitué à cet égard un modèle pendant plus de deux millénaires. En fait, on s'est aperçu, au cours des siècles, que les figures jouaient un rôle équivoque dans certaines démonstrations, et on s'est efforcé de dissocier les représentations empiriques attachées aux noti […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/erreur/#i_25200
FINITISME ET ULTRAFINITISME, mathématique
Le finitisme est un point de vue sur les fondements des mathématiques essentiellement défendu par le mathématicien David Hilbert (1862-1943) dans les années 1920, et particulièrement développé dans „Sur l'infini“, son célèbre article de 1925. Le principe fondamental du finitisme consiste à mettre en avant un domaine d'énoncés et de méthodes – justement appelés „finitistes“ ou „finitaires“ – dont […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/finitisme-et-ultrafinitisme-mathematique/#i_25200
FONDATIONNALISME ET ANTIFONDATIONNALISME, mathématique
Jamais dans aucune science la recherche de fondements – ou de fondations – n'a été aussi approfondie qu'en mathématiques. Les méthodes proposées sont nombreuses et le débat qui est né de ces diverses propositions (voir les articles liés) semble sans fin et ne pas progresser vers une solution unique pouvant recueillir un soutien unanime (alors que les mathématiques, elles, avancent à grands pas et […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/fondationnalisme-et-antifondationnalisme-mathematique/#i_25200
FORMALISME
Au sens moderne la formalisation est la présentation des théories scientifiques – et, en premier lieu sinon exclusivement, des mathématiques – dans le cadre d'un système formel , permettant de caractériser sans ambiguïté les expressions du langage et les règles de démonstration recevables. On aurait tort de considérer pour autant que l'importance scientifique de la formalisat […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/formalisme/#i_25200
FREGE GOTTLOB (1848-1925)
Professeur de mathématiques à l'université d'Iéna, Gottlob Frege est le fondateur de la logique moderne ou logique mathématique , selon l'appellation due à Giuseppe Peano et universellement admise. Longtemps méconnus, ses travaux furent révélés au public savant par Bertrand Russell, qui consacra à l'examen de quelques idées propres à Frege l'appendice B des […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/gottlob-frege/#i_25200
GÖDEL : THÉORÈMES D'INCOMPLÉTUDE
Deux ans après avoir soutenu sa thèse de doctorat à l'université de Vienne, le jeune mathématicien autrichien Kurt Gödel (1906-1978) prouve que, dans tout système mathématique axiomatique, il existe des propositions dont on ne peut démontrer ni la véracité ni la fausseté. En particulier, il est impossible de prouver que les axiomes fondant ce système sont cohérents. Ce travail achève une longue qu […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/godel-theoremes-d-incompletude/#i_25200
HUSSERL EDMUND
Dans le chapitre « La métaphysique moderne et les mathématiques » : […] Il faut faire deux remarques sur ce lien initial entre le point de départ mathématique et la réouverture d'une dimension « platonicienne » du logique chez le premier Husserl. La première concerne la métaphysique des modernes, déjà plusieurs fois « accusée » de relever d'un exercice naturel ou naïf du pouvoir théorétique. Il y a là en effet quelque chose qui pourrait n'être pas du tout compris, d' […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/edmund-husserl/#i_25200
IDÉALISME
Dans le chapitre « Les mathématiques et l'idéalisme » : […] La réalité mathématique se présente sous trois aspects : entités, conceptions abstraites, symboles. Privilégier l'un de ces aspects à l'exclusion des autres donne à chaque fois une philosophie des mathématiques : platonisme ou réalisme, constructivisme, formalisme. L'attitude constructiviste, représentée par les intuitionnistes qui se rangent du côté de Luitzen Egbertus Jan Brouwer, correspond à l […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/idealisme/#i_25200
INTUITION
Dans le chapitre « Bases intuitives et conditions formelles des mathématiques » : […] Ce sont les mathématiques qui ont donné lieu à certaines thèses « intuitionnistes », comme il est naturel pour une science qui développe les liaisons d'êtres idéaux soustraits à l'empirie. Les mathématiques cantoriennes se réclament d'une évidence rationnelle pour poser leurs principes fondamentaux. Surtout, les points de vue kantiens concernant l'intuition constructive ont été admis par des mat […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/intuition/#i_25200
INTUITIONNISME
Dans l'acception technique et contemporaine du mot, c'est-à-dire quand le terme ne se contente pas de caractériser une philosophie faisant à l'intuition une large part, l'intuitionnisme est à la fois une doctrine relative aux mathématiques, à la vérité et au langage, et une logique « non classique » qui trouve son fondement dans cette doctrine. La conception intuitionniste des mathématiques en fai […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/intuitionnisme/#i_25200
KANT EMMANUEL
Dans le chapitre « L'espace et le temps, formes de la sensibilité » : […] Une théorie de la sensibilité, ou « esthétique transcendantale », en expose les formes, l'espace et le temps, qui rendent possible la représentation des choses non comme elles sont en elles-mêmes, mais comme phénomènes : les choses telles qu'elles sont en soi ne sauraient, comme telles, être pour nous, et si nous devons bien les penser comme fondement de […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/emmanuel-kant/#i_25200
MARTIN ROGER (1920-1979)
Professeur de logique formelle à l'université de Paris-V, Roger Martin fut un des représentants français les plus éminents de cette discipline. Né au Puy le 17 mars 1920, il prépare au lycée Henry-IV, après ses études secondaires au lycée Buffon, le concours d'entrée à l'École normale supérieure. Mais aussitôt après avoir été admis à celle-ci, il doit interrompre ses études pour des raisons de san […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/roger-martin/#i_25200
MATHÉMATIQUE
Dans le chapitre « Une science hypothético-déductive » : […] S'appuyant sur une logique généralement bivalente (à deux valeurs : vrai et faux), la mathématique se développe à partir d'un petit nombre de notions premières indéfinissables, d'hypothèses appelées axiomes, non démontrables mais mettant en relation ces notions premières, et de règles permettant de définir de nouvelles notions, de former des expressions et d'en déduire de nouvelles. Parmi les not […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/mathematique/#i_25200
MÉTHODE
Dans le chapitre « Différentes méthodes pour différentes sciences ? » : […] Peut-on classer les sciences d'après leurs méthodes ? Ou bien d'après leur manière d'utiliser leurs méthodes ? La méthode représente-t-elle la même chose pour toutes les sciences ? Généralement, « méthode » a un sens vague, et la méthodologie n'est pas préceptive : comment prescrirait-on aux scientifiques ce qu'ils devraient faire, quand on n'est pas d'accord sur ce qu'ils font ? On s'accorde à d […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/methode/#i_25200
NOTATION MATHÉMATIQUE
Dans le chapitre « Les ensembles » : […] Depuis Leibniz, on a avancé divers systèmes de notations pour la logique symbolique. Il faut mentionner les tentatives de Boole (1847), E. Schröder (1877), G. Frege (1879, 1893), Peano (1891, et son Formulaire de mathématique à partir de 1895), Russell et Whitehead (1910) ; tous ces systèmes incluent les notations ensemblistes. Il y a un manque d'uniformité dans les notations […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/notation-mathematique/#i_25200
OBJET
Dans le chapitre « Les objets mathématiques » : […] Les objets mathématiques ont bien évidemment des propriétés, un contenu, qui les différencie non en tant qu'individus réalisés hic et nunc, mais en tant que concepts déterminés, car ils ne sont pas saisissables comme tels dans une expérience sensible. Les philosophes ont pris à leur égard des positions très variées, qu'on peut cependant répartir entre quelques grandes orientations ; nous présent […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/objet/#i_25200
PEANO GIUSEPPE (1858-1932)
Le mathématicien italien Peano s'est principalement intéressé aux fondements des mathématiques, ainsi qu'à la théorie des langages. Grâce à lui, on comprendra mieux aujourd'hui la fécondité des méthodes formelles et axiomatiques. L'actualité de son œuvre ne fait que croître. […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/giuseppe-peano/#i_25200
POINCARÉ HENRI (1854-1912)
Dans le chapitre « Poincaré philosophe » : […] Poincaré manifesta très tôt un vif intérêt pour la philosophie, notamment pour les problèmes de la connaissance, collaborant régulièrement à la Revue de métaphysique et de morale dès sa fondation, rédigeant de nombreux articles de « philosophie scientifique », rassemblés dans quatre recueils : La Science et l'hypothèse (1902), […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/henri-poincare/#i_25200
PRÉDICATIVISME, mathématique
Doctrine selon laquelle certaines définitions naïvement reçues de la logique ou des mathématiques classiques recèlent une certaine sorte de circularité qu'on retrouve à l'origine de tous les grands paradoxes et qui, même quand elle n'y conduit pas, devrait être interdite. Le principe de cette interdiction est le « principe du cercle vicieux » (PCV), qui dit, grosso modo, qu'un objet ne peut être […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/predicativisme-mathematique/#i_25200
RATIONALISME
Dans le chapitre « Le rationalisme cartésien » : […] Les traits rationalistes de la philosophie cartésienne, qui sont souvent considérés comme exemplaires, ne correspondent pourtant qu'à une variante de cette attitude. On y relèvera tout d'abord le refus d'une pensée seulement imitative, se complaisant dans le commentaire, le développement ou la répétition de ce que d'autres ont dit avec autorité magistrale. Le doute cartésien, contrairement au dou […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/rationalisme/#i_25200
RECHERCHES LOGIQUES, Edmund Husserl - Fiche de lecture
Dans le chapitre « La critique du psychologisme et le « retour aux choses mêmes » » : […] Comme le souligne Husserl dans son « Esquisse d'une préface » (rédigée en 1913 pour la seconde édition des Recherches logiques ), « les thèmes traités sont très arides et se trouvent éloignés de l'intérêt du grand public ». Et, à la réception, les malentendus furent nombreux : les accusations de « retombées dans le psychologisme » – contre lequel il dirigeait précisément ses […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/recherches-logiques/#i_25200
RELATION
Dans le chapitre « Relations arithmétiques, multirelations, structure, système » : […] La théorie des relations arithmétiques a été développée sur des bases établies par les travaux de Stephen Cole Kleene, dans le cadre de la théorie des fonctions et prédicats d'entiers. Un prédicat d'entiers à n arguments peut être considéré (extensionnellement) comme une partie de l'ensemble des n -uples d'entiers. Une fonction à n […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/relation/#i_25200
RUSSELL BERTRAND lord (1872-1970)
La longue vie qui fut accordée à Russell , l'alacrité avec laquelle il a supporté celle-ci ont fait de lui un personnage hors série. Toujours en quête de renouvellement, il était, par l'ampleur de sa réflexion et la franchise de son action morale et politique, destiné à faire allégrement l'objet d'âpres et incessantes controverses. Il est l'auteur de plus d'une quarantaine d'ouvrages et de nombreu […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/bertrand-russell/#i_25200
SCIENCES - Sciences et discours rationnel
Dans le chapitre « Les divers types de science et leurs modes de validation : le type formel pur » : […] Il n'est guère possible de parler de « la » science en toute généralité, sauf à en rester à un discours extrêmement formel, car le domaine de la connaissance scientifique se fragmente en sous-domaines dont chacun a sa spécificité et ses présuppositions propres. En première approximation, on pourra distinguer trois grands types de science : le type formel pur, le type empirico-formel et le type her […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/sciences-sciences-et-discours-rationnel/#i_25200
VÉRITÉ
Dans le chapitre « Le critère vérificationniste de la signification et ses critiques » : […] On doit à la logique moderne d'avoir su traiter les paradoxes qui menaçaient les fondements des mathématiques, comme on doit à leur découverte l'existence des grands synthèmes axiomatiques que domine l'exigence de la cohérence interne ou vérité de structure par opposition à celle, matérielle, des énoncés pris un à un. De ce point de vue dirigé à l'encontre de l'idée kantienne que les mathématiques […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/verite/#i_25200
WHITEHEAD ALFRED NORTH (1861-1947)
Dans le chapitre « Le mathématicien » : […] Certes, de l'œuvre de A. N. Whitehead reste principalement la troisième partie de sa carrière consacrée à la philosophie des sciences et à sa théorie de l'organisme, mais il s'est d'abord consacré aux mathématiques pures, algèbre et géométries non euclidiennes. Son étude des fondements logiques des mathématiques, qui culmine avec les trois volumes des Principia mathematica , […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/alfred-north-whitehead/#i_25200
ZERMELO ERNST (1871-1953)
Mathématicien et logicien allemand, né à Berlin et mort à Fribourg-en-Brisgau, fondateur de la théorie axiomatique des ensembles. En 1904, Ernst Zermelo explicite l'axiome du choix et en déduit que tout ensemble peut être bien ordonné, résultat déjà conjecturé par Moritz Cantor et permettant de légitimer le raisonnement par induction transfinie. En 1908, cinq ans après avoir découvert le paradoxe […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/ernst-zermelo/#i_25200
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Pour citer l’article
Jean Toussaint DESANTI, « MATHÉMATIQUES FONDEMENTS DES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 22 mai 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/fondements-des-mathematiques/
