NON-CONTRADICTION

Articles

• CONTINU HYPOTHÈSE DU

  • Écrit par Patrick DEHORNOY
  • 2 220 mots
  Théorème de Gödel (1938) : Si ZFC est non contradictoire, alors ¬HC n'est pas prouvable à partir de ZFC.

• ERREUR

  • Écrit par Bertrand SAINT-SERNIN
  • 4 874 mots
  • 2 médias
  Dans cette perspective, la vérité se confond avec la non-contradiction et l'erreur avec l'inconsistance. On s'est donc demandé si toutes les mathématiques ne pouvaient pas être reconstruites à partir de bases logiques, dont les signes et les règles seraient exhaustivement énoncés et dénombrés. L'entreprise...

• FONDATIONNALISME ET ANTIFONDATIONNALISME, mathématique

  • Écrit par Jean-Paul DELAHAYE
  • 870 mots

  Jamais dans aucune science la recherche de fondements – ou de fondations – n'a été aussi approfondie qu'en mathématiques. Les méthodes proposées sont nombreuses et le débat qui est né de ces diverses propositions (voir les articles liés) semble sans fin et ne pas progresser vers une solution unique...

• GÖDEL KURT (1906-1978)

  • Écrit par Daniel ANDLER
  • 2 292 mots
  ...grande découverte, en apportant à une célèbre question de Cantor, reprise par Hilbert, une surprenante réponse, qui constituait le premier résultat de non-contradiction relative. Si la théorie des ensembles est cohérente, cette théorie enrichie de l'axiome du choix et de l'hypothèse généralisée du continu...

• HILBERT DAVID (1862-1943)

  • Écrit par Rüdiger INHETVEEN, Jean-Michel KANTOR, Christian THIEL
  • 14 726 mots
  • 1 média
  ...d'axiomes, de la même façon que les concepts de « point », « droite », « plan » le sont par les axiomes hilbertiens de la géométrie euclidienne. Prouver la non-contradiction de ce système d'axiomes, et par suite de l'analyse classique, serait du plus grand intérêt, indépendamment même de la démonstration de...

• MATHÉMATIQUES FONDEMENTS DES

  • Écrit par Jean Toussaint DESANTI
  • 10 434 mots
  • 1 média
  ...démonstration, l'ensemble minimal des hypothèses compatibles et non déductibles les unes des autres utilisées dans la construction des chaînes démonstratives. La non-contradiction est ici la propriété fondamentale à laquelle doivent satisfaire tous les systèmes déductifs. L'instrument de cette recherche consiste...

• OBJET MATHÉMATIQUE

  • Écrit par Patrick DEHORNOY
  • 1 058 mots

  Le but des mathématiques est de démontrer des résultats non triviaux sur ce qu'on peut appeler globalement des objets mathématiques. Il en existe de nombreux types : nombres entiers, nombres réels, points, droites ou courbes de la géométrie, suites, séries et fonctions de l'analyse, ensembles...

• PLATON (env. 428-env. 347 av. J.-C.)

  • Écrit par Monique DIXSAUT
  • 13 762 mots
  • 3 médias
  ...cosmogonies qui prétendaient engendrer tout ce qui est à partir de principes comme l'eau, l'air ou le feu. Il n'a pu le faire qu'en appliquant un principe de non-contradiction fort : l'être, nécessairement, est ; il expulse hors de lui un non-être qui, tout aussi nécessairement, n'est pas. Or, au même titre...

• RÉALISME, mathématique

  • Écrit par Hourya BENIS-SINACEUR
  • 2 167 mots
  ...le saisir tout entier en pensée ». Pour Cantor, l'appréhension et la distinction de totalités infinies différentes correspond à une loi de la pensée. Une caractérisation axiomatique est donc recevable, pourvu qu'elle soit non contradictoire. Elle assure la « réalité immanente » de l'infini actuel. Le...

• SCIENCES - Sciences et discours rationnel

  • Écrit par Jean LADRIÈRE
  • 6 634 mots
  ...doute systématique des vertus de l'intuition et à une radicalisation des procédures de formalisation. Ainsi s'est fait jour une nouvelle conception de l'axiomatique, selon laquelle le critère ultime de validité est lanon-contradiction. Il s'agit là d'une propriété purement formelle.