MATHÉMATIQUES FONDEMENTS DES
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La recherche de la rigueur
Déjà au siècle de Descartes apparaissent de graves discordances. Pascal d'abord. Dans son opuscule De l'esprit géométrique, il a défini, d'une manière informelle, les règles constitutives d'un système déductif. Bien qu'il parle encore le langage cartésien (« ne demander en axiomes que des choses parfaitement évidentes d'elles-mêmes »), Pascal n'en conçoit pas moins une science démonstrative comme un système d'écritures explicites, dans lequel tous les termes doivent être définis, les règles de démonstration clairement conçues et rigoureusement respectées. L'évidence cartésienne est ici réduite à la portion congrue. On n'entreprendra pas de démontrer « aucune des choses qui sont tellement évidentes d'elles-mêmes qu'on n'a rien de plus clair pour les prouver ». Mais toute proposition « un peu obscure » devra être démontrée. Et la démonstration ne devra utiliser que « des axiomes ou des propositions déjà accordées ou démontrées ». De plus, il importe de veiller, dans le déroulement de la démonstration, à éviter tout glissement de sens, et donc toujours « substituer mentalement les définitions à la place des définis ». La sûreté de la déduction ne tient pas, ici, au fait qu'elle renvoie à l'évidence. Elle n'est plus éclairée de l'intérieur par l'intuition cartésienne. Elle tient à ceci que les enchaînements mathématiques déploient en leur sein un mécanisme interne de contrôle, une autorégulation, dont le mathématicien doit s'efforcer de découvrir et de manier les principes. La structure axiomatique des systèmes déductifs est alors dessinée.
Le « calcul » de Leibniz
On sait que Leibniz a accompli l'expulsion de l'évidence du champ de la logique et des mathématiques. Cela tient sans doute, ainsi que l'a montré Yvon Belaval dans son livre Leibniz, critique de Descartes, à ce qu'il pratique une autre mathématique que celle de Descartes. C'est un point que nous n'aborderons pas ici (cf. infini mathématique, leibniz, logi [...]
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Écrit par :
- Jean Toussaint DESANTI : professeur émérite à l'université de Paris-I-Panthéon-Sorbonne
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AXIOMATIQUE
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Dans le chapitre « La rationalité scientifique » : […] À partir de son doctorat de philosophie ( Essai sur la connaissance approchée , 1927), Bachelard va chercher à comprendre l’aventure scientifique, celles des mathématiciens, physiciens, chimistes. Parmi les premiers, il s’efforce d’interpréter les hypothèses novatrices de la physique mathématique, à l'échelle de l'infiniment grand (la vitesse de la lumière) ou de l'infiniment petit (le monde atomi […] Lire la suite
BOLYAI JÁNOS (1802-1860)
S'intéressant aux mathématiques, János Bolyai y consacra les loisirs que lui laissait son métier d'officier du génie sous l'impulsion de son père Farkas Bolyai (1775-1856), professeur de mathématiques et ancien condisciple de Gauss, avec qui il entretenait une correspondance sur les fondements de la géométrie. À l'âge de vingt deux ans, János Bolyai travailla à la construction d'une géométrie dans […] Lire la suite
BOLZANO BERNARD (1781-1848)
Dans le chapitre « Le système de la « Grössenlehre » et les « Paradoxes de l'infini » » : […] La Grössenlehre , qui date quant à l'essentiel des années 1830-1834, représente la réalisation, inachevée, du grand projet de Bolzano de donner un exposé rigoureusement scientifique de la mathématique à partir de ses premiers concepts et selon les normes de la Wissenschaftslehre . Quoique Bolzano revienne à la définition traditionnelle de la mathématique, il est le premier mathématicien à édifier […] Lire la suite
BOURBAKI NICOLAS (XXe s.)
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CAVAILLÈS JEAN (1903-1944)
Philosophe et logicien français, professeur à l'École normale supérieure, à l'université de Strasbourg et à la Sorbonne. Pendant la Seconde Guerre mondiale, plusieurs fois prisonnier et évadé, il est l'un des premiers et des plus actifs fondateurs de réseaux de résistance. Il a été fusillé par les Allemands en 1944. Son souvenir est évoqué par sa sœur, G. Ferrières : Cavaillès, philosophe et comb […] Lire la suite
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Pour citer l’article
Jean Toussaint DESANTI, « MATHÉMATIQUES FONDEMENTS DES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 03 février 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/fondements-des-mathematiques/