MATHÉMATIQUES FONDEMENTS DES

Carte mentale

Élargissez votre recherche dans Universalis

La logique mathématique contemporaine

On trouvera ailleurs (cf. cantor, frege, logique mathématique) l'exposé des travaux de Frege et de Cantor, que nous ne pourrions ici qu'évoquer de la manière la plus insignifiante.

Nous nous contenterons de quelques remarques de caractère épistémologique.

L'arithmétisation de l'analyse

Les œuvres de Frege et de Cantor sont produites dans le même contexte mathématique. L'analyse y est entièrement arithmétisée. Quelques-unes des structures algébriques fondamentales (groupes, anneaux) sont dégagées. Le corpus mathématique contient des régions « canoniques » qui s'offrent comme des systèmes axiomatisés d'énoncés (cf. les leçons de Weierstrass sur la théorie des fonctions telles que nous les connaissons d'après Kossak). Du même mouvement (et dans le champ, au point de départ rigoureusement construit, de l'analyse) se marquent des régions de problèmes, des exigences d'extension (par exemple, traitement des fonctions discontinues les plus générales ; problèmes de la représentation d'une fonction arbitraire par un développement en série de Fourier ; extension des classes de fonctions analytiques, etc.). Ce qui distingue les œuvres de Cantor et de Frege, c'est d'abord qu'elles ne s'articulent pas au même point de la configuration.

Les recherches de Frege s'articulent sur le point de départ (l'arithmétique) et concernent explicitement le fondement. Rien n'est encore accompli, aux yeux de Frege, si demeure incertain le concept de nombre entier qui, ainsi que l'avait établi Karl Weierstrass et proclamé Leopold Kronecker, constitue le point de départ de la construction de l'analyse. Le problème est donc de produire un système théorique dont la sûreté soit au moins équivalente à celle des régions canoniques du champ mathématique, système dans lequel on puisse définir, sans ambiguïté ni contradictions, le concept d'entier et enchaîner les énoncés de propriétés du domaine d'objets (les entiers) ainsi produit. Ce qu'on appelle le « logicisme » de Frege résulte de la mise en œuvre de cette exigence. Elle l'a en effet conduit à formuler les bases de la logique mathématique. Il ne s'agit plus ici seulement d'un calcul (une extension de l'algèbre) tel que celui qu'avait proposé George Boole vers le milieu du siècle, mais bien davantage d'une théorie axiomatisée qui recouvre pour l'essentiel notre logique des propositions et notre logique des prédicats du premier ordre (cf. frege et logique mathématique, chap. 2). Dans l'esprit de Frege, la constitution d'une telle logique devait permettre de reproduire et de dériver, conformément aux règles qu'elle définissait, le corps des propositions de l'arithmétique en une langue formelle d'où toute erreur serait décelable dans la simple forme des écritures. Par là se trouverait résolu le problème des fondements. On sait que Frege n'a réalisé que partiellement ce programme dans son ouvrage Grundgesetze der Arithmetik.

Les recherches de Cantor s'articulent en un point bien déterminé du champ mathématique. C'est afin de déterminer les conditions pour lesquelles les coefficients d'une série de Fourier s'annulent que Cantor a défini, dès 1872, quelques-unes des propriétés (topologiques pour la plupart) des ensembles de points. La généralisation des résultats obtenus sur les ensembles de points devait le conduire à dégager un objet fondamental, le concept d'ensemble abstrait, qui deviendra, jusqu'à sa mort, le thème essentiel de ses recherches. Or la théorie des ensembles (bien que la chose ne soit pas apparue clairement aux yeux des contemporains) s'articulait fortement sur les concepts élaborés par Frege. En particulier, la définition cantorienne des cardinaux est, pour l'essentiel, dans un autre langage, équivalente à la définition du concept de nombre proposée par Frege, bien qu'elle ne mette pas en œuvre un appareil logique élaboré. Ainsi, dans cette configuration que réalisent les mathématiques en ce dernier tiers du xixe siècle, la même espèce d'être (le concept d'ensemble abstrait pris comme matériau formel de la mathesis) se trouve désignée deux fois.

Les paradoxes

Il y a plus. Les mêmes problèmes, qui font difficulté dans la construction cantorienne, rendent manifeste l'inconsistance du système frégien. Le concept d'ensemble, pris dans toute sa généralité, engendre des « paradoxes ». À tel point qu'il importe de remettre en chantier le sens de l'expression : « l'ensemble [...]

1  2  3  4  5
pour nos abonnés,
l’article se compose de 16 pages

Écrit par :

Classification

Autres références

«  MATHÉMATIQUES FONDEMENTS DES  » est également traité dans :

ACKERMANN WILHELM (1896-1962)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 382 mots

Mathématicien allemand, spécialiste de la logique. Né le 29 mars 1896 à Schönebeck, près d'Altena en Westphalie (alors en Prusse, aujourd'hui en Allemagne), Wilhelm Ackermann fait ses études supérieures à l'université de Göttingen. Dans sa thèse, accomplie sous la direction de David Hilbert (1862-1943), il démontre en 1924 la cohérence de l'arithmétique sans avoir recours à l'induction. Ce travai […] Lire la suite

AXIOMATIQUE

  • Écrit par 
  • Georges GLAESER
  •  • 2 042 mots

La méthode axiomatique est un mode d'exposition des sciences exactes fondé sur des propositions admises sans démonstration et nettement formulées et des raisonnements rigoureux. On se limitera ici à quelques indications méthodologiques et historiques, en renvoyant à l'article logique mathématique pour les problèmes posés par l'étude des systèmes d'axiomes. L'axiomatique commence par un inventaire […] Lire la suite

BACHELARD GASTON (1884-1962)

  • Écrit par 
  • Jean-Jacques WUNENBURGER
  •  • 3 479 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « La rationalité scientifique »  : […] À partir de son doctorat de philosophie ( Essai sur la connaissance approchée , 1927), Bachelard va chercher à comprendre l’aventure scientifique, celles des mathématiciens, physiciens, chimistes. Parmi les premiers, il s’efforce d’interpréter les hypothèses novatrices de la physique mathématique, à l'échelle de l'infiniment grand (la vitesse de la lumière) ou de l'infiniment petit (le monde atomi […] Lire la suite

BOLYAI JÁNOS (1802-1860)

  • Écrit par 
  • Jacques MEYER
  •  • 218 mots

S'intéressant aux mathématiques, János Bolyai y consacra les loisirs que lui laissait son métier d'officier du génie sous l'impulsion de son père Farkas Bolyai (1775-1856), professeur de mathématiques et ancien condisciple de Gauss, avec qui il entretenait une correspondance sur les fondements de la géométrie. À l'âge de vingt deux ans, János Bolyai travailla à la construction d'une géométrie dans […] Lire la suite

BOLZANO BERNARD (1781-1848)

  • Écrit par 
  • Jan SEBESTIK
  •  • 3 612 mots

Dans le chapitre « Le système de la « Grössenlehre » et les « Paradoxes de l'infini » »  : […] La Grössenlehre , qui date quant à l'essentiel des années 1830-1834, représente la réalisation, inachevée, du grand projet de Bolzano de donner un exposé rigoureusement scientifique de la mathématique à partir de ses premiers concepts et selon les normes de la Wissenschaftslehre . Quoique Bolzano revienne à la définition traditionnelle de la mathématique, il est le premier mathématicien à édifier […] Lire la suite

BOURBAKI NICOLAS (XXe s.)

  • Écrit par 
  • André MARTINEAU
  •  • 1 734 mots
  •  • 1 média

Nicolas Bourbaki est un pseudonyme désignant un groupe de mathématiciens français qui, depuis 1940, a entrepris de publier un traité intitulé Éléments de mathématique . De ces éléments ont été déjà publiées plus de trente monographies représentant un volume d'environ cinq mille pages. En plus de ce traité, Nicolas Bourbaki a aussi publié quelques articles et un livre d'histoire des mathématiques. […] Lire la suite

CANTOR : THÉORIE DES ENSEMBLES

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 185 mots

Georg Cantor (1845-1918), professeur de mathématiques à l'université de Halle (Allemagne), publie en 1874 dans le Journal de Crelle l'article fondateur de la théorie des ensembles. Après quelques travaux en théorie des nombres et une rencontre décisive avec le mathématicien Richard Dedekind (1831-1916), Cantor s'était consacré à l'étude des séries trigonométriques et aux nombres irrationnels. Da […] Lire la suite

CAVAILLÈS JEAN (1903-1944)

  • Écrit par 
  • Françoise ARMENGAUD
  •  • 444 mots

Philosophe et logicien français, professeur à l'École normale supérieure, à l'université de Strasbourg et à la Sorbonne. Pendant la Seconde Guerre mondiale, plusieurs fois prisonnier et évadé, il est l'un des premiers et des plus actifs fondateurs de réseaux de résistance. Il a été fusillé par les Allemands en 1944. Son souvenir est évoqué par sa sœur, G. Ferrières : Cavaillès, philosophe et comb […] Lire la suite

COMTE AUGUSTE (1798-1857)

  • Écrit par 
  • Bernard GUILLEMAIN
  •  • 9 458 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « La classification des sciences »  : […] L'évolution n'est pas terminée, ce qui supprimerait la question, et, d'ailleurs, elle s'opère de manière discontinue, les sciences accédant à l'état positif les unes après les autres. Cela détermine un plan, un ordre qui va donner naissance à une classification : « Les différentes branches de nos connaissances n'ont pas dû parcourir d'une vitesse égale les trois grandes phases de leur développemen […] Lire la suite

CONCEPT

  • Écrit par 
  • Jean LADRIÈRE
  •  • 3 815 mots

Dans le chapitre « Le concept dans les mathématiques, la physique et le langage scientifique »  : […] Les mathématiques posent un problème spécial. Les entités dont elles traitent ont un caractère idéal et, à ce titre, paraissent appartenir au même domaine que les concepts. Il faut cependant distinguer complètement les objets mathématiques (tels que les nombres, les fonctions, les espaces, etc.) des concepts au moyen desquels nous les caractérisons et en décrivons les propriétés. Du point de vue l […] Lire la suite

Voir aussi

Pour citer l’article

Jean Toussaint DESANTI, « MATHÉMATIQUES FONDEMENTS DES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 12 août 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/fondements-des-mathematiques/