MATHÉMATIQUES FONDEMENTS DES

L'arithmétisation de l'analyse

Les œuvres de Frege et de Cantor sont produites dans le même contexte mathématique. L'analyse y est entièrement arithmétisée. Quelques-unes des structures algébriques fondamentales (groupes, anneaux) sont dégagées. Le corpus mathématique contient des régions « canoniques » qui s'offrent comme des systèmes axiomatisés d'énoncés (cf. les leçons de Weierstrass sur la théorie des fonctions telles que nous les connaissons d'après Kossak). Du même mouvement (et dans le champ, au point de départ rigoureusement construit, de l'analyse) se marquent des régions de problèmes, des exigences d'extension (par exemple, traitement des fonctions discontinues les plus générales ; problèmes de la représentation d'une fonction arbitraire par un développement en série de Fourier ; extension des classes de fonctions analytiques, etc.). Ce qui distingue les œuvres de Cantor et de Frege, c'est d'abord qu'elles ne s'articulent pas au même point de la configuration.

Les recherches de Frege s'articulent sur le point de départ (l' arithmétique) et concernent explicitement le fondement. Rien n'est encore accompli, aux yeux de Frege, si demeure incertain le concept de nombre entier qui, ainsi que l'avait établi Karl Weierstrass et proclamé Leopold Kronecker, constitue le point de départ de la construction de l'analyse. Le problème est donc de produire un système théorique dont la sûreté soit au moins équivalente à celle des régions canoniques du champ mathématique, système dans lequel on puisse définir, sans ambiguïté ni contradictions, le concept d'entier et enchaîner les énoncés de propriétés du domaine d'objets (les entiers) ainsi produit. Ce qu'on appelle le « logicisme » de Frege résulte de la mise en œuvre de cette exigence. Elle l'a en effet conduit à formuler les bases de la logique mathématique. Il ne s'agit plus ici seulement d'un calcul (une extension de l'algèbre) tel que celui qu'avait proposé George Boole vers le milieu du siècle, mais bien davantage d'une théorie axiomatisée qui recouvre pour l'essentiel notre logique des propositions et notre logique des prédicats du premier ordre (cf. frege et logique mathématique, chap. 2). Dans l'esprit de Frege, la constitution d'une telle logique devait permettre de reproduire et de dériver, conformément aux règles qu'elle définissait, le corps des propositions de l'arithmétique en une langue formelle d'où toute erreur serait décelable dans la simple forme des écritures. Par là se trouverait résolu le problème des fondements. On sait que Frege n'a réalisé que partiellement ce programme dans son ouvrage Grundgesetze der Arithmetik.

Les recherches de Cantor s'articulent en un point bien déterminé du champ mathématique. C'est afin de déterminer les conditions pour lesquelles les coefficients d'une série de Fourier s'annulent que Cantor a défini, dès 1872, quelques-unes des propriétés (topologiques pour la plupart) des ensembles de points. La généralisation des résultats obtenus sur les ensembles de points devait le conduire à dégager un objet fondamental, le concept d'ensemble abstrait, qui deviendra, jusqu'à sa mort, le thème essentiel de ses recherches. Or la théorie des ensembles (bien que la chose ne soit pas apparue clairement aux yeux des contemporains) s'articulait fortement sur les concepts élaborés par Frege. En particulier, la définition cantorienne des cardinaux est, pour l'essentiel, dans un autre langage,[...]