RÉELS NOMBRES

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Nombres et géométrie

La construction eudoxienne des raisons avait pris soin d'éviter trois écueils : l'utilisation d'arguments où interviendraient des procédures infinies, l'utilisation de procédures arithmétiques de calcul comme la multiplication des grandeurs, et, enfin, le recours à la géométrie. Pourtant, le modèle universel des raisons a été pensé comme réduit au modèle des seules raisons des longueurs géométriques et c'est la géométrie qui parut avoir primé sur la construction.

C'est bien dans ce cadre que Bombelli, dans la seconde moitié du xvie siècle (Algebra, 1572), après avoir choisi une unité de longueur, établit une correspondance biunivoque entre des longueurs et des raisons rapports de longueurs. Il peut alors définir géométriquement, à partir des longueurs, les opérations arithmétiques fondamentales, à savoir l'addition et la multiplication. La structuration opératoire du domaine des raisons, par cette référence explicite à l'espace, a donc pour fondement la géométrie. Ce point de vue de l'avantage de justifier le point de vue algébrique déjà évoqué et réconcilie des courants divergents. Cette fois c'est le continu, et non le discret, qui est opératoire. C'est ce même point de vue qui est exposé en quelques lignes au début de la Géométrie de Descartes, le modèle étant désormais étendu aux longueurs elles-mêmes (étant entendu que la longueur est une mesure, un rapport relativement à une unité). Par exemple, grâce à la quatrième proportionnelle, justifiée par le théorème de Thalès, le produit ab est la quatrième proportionnelle de la proportion a/1 = ab/b.

Ce même point de vue avait permis à S. Stevin (1548-1620) de considérer comme d'un seul tenant les raisons tant rationnelles qu'irrationnelles, leur donnant désormais le nom générique de nombre. Une racine quelconque de nombre est nombre, de même que l'unité. Stevin dépasse, en fait, l'exposé cartésien, car il utilise, selon ses besoins, algèbre numérique ou géométrie, tandis que l'on sent Descartes tributaire de la géométrie. Il y a des racines « fausses » chez Descartes, mais aucun nombre « irréguli [...]

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Écrit par :

  • : directeur de recherche au C.N.R.S., directeur d'études à l'École des hautes études en sciences sociales

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Pour citer l’article

Jean DHOMBRES, « RÉELS NOMBRES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 05 février 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-reels/