RÉELS NOMBRES

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Construction de l'ensemble des nombres réels

Le critère de convergence d'une suite énoncé par Cauchy, comme le théorème des valeurs intermédiaires « prouvé » par Bolzano firent vite partie de la panoplie de travail de tout analyste. Mais ces théorèmes semblaient entachés de géométrisme, dérivant de la théorie des proportions que Descartes avait rattachée à la géométrie. Or, après la découverte des géométries non euclidiennes par Lobatchevski (1829), Bolyai (1832) et Riemann (1854), le géométrisme avait mauvaise presse.

Dedekind et l'ordre

L'approche de R. Dedekind est un retour à l'esprit de la construction eudoxienne. Eudoxe avait construit le modèle des raisons à partir seulement des grandeurs (le continu) et des entiers (le discret). Il utilisait à cet effet l'ordre comme règle d'extension (les raisons sont totalement ordonnées, comme les entiers ou les grandeurs). Dans Stetigkeit und irrationale Zahlen (1872), Dedekind construit les nombres réels à partir des rapports d'entiers – les nombres rationnels – en utilisant l'ordre comme règle à compléter. Voici en quoi consiste cette démarche.

Considérons avec Dedekind l'ensemble C de tous les nombres rationnels positifs x tels que x≥ 2. Il est clair que C est un ensemble minoré, c'est-à-dire : il existe un rationnel r, par exemple = 1, tel que, pour ∈ C on ait ≥ r. Si r′ est un autre rationnel positif tel que r′ < r, c'est encore un minorant de C. Existe-t-il, parmi les rationnels, un plus grand minorant, à savoir une borne inférieure de C ? La réponse est négative.

En effet, il suffit d'établir qu'une telle borne inférieure, disons m, si elle existait, vérifierait m= 2, équation impossible dans les nombres rationnels. Comme pour la méthode d'exhaustion, il convient, pour établir cette égalité, de raisonner par l'absurde. Supposons d'abord m> 2. Puisque > 0, cherchons un rationnel y tel que > 0, y et (− y)≥ 2. C'est possible : il suffit pour cela que y vérifie 0 < dd est le plus petit des deux nombres positifs (m− 2)/2m et m. Ainsi, − y est un élément de C strictement inférieur à m ; [...]

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Écrit par :

  • : directeur de recherche au C.N.R.S., directeur d'études à l'École des hautes études en sciences sociales

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Pour citer l’article

Jean DHOMBRES, « RÉELS NOMBRES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 03 février 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-reels/