ANALYSE NON STANDARD

Au milieu du xx^e siècle, le mathématicien et logicien Abraham Robinson (1918-1974) est parvenu à refonder la notion d'infinitésimale –  de grandeur infiniment petite – dont Georg Cantor (1845-1918) et Richard Dedekind (1831-1916) étaient supposés avoir délivré la communauté mathématique. On était d'ailleurs reconnaissant à ces derniers d'un tel bannissement, parce que les deux siècles qui avaient précédé, au cours desquels la mathématique avait admis en son sein un calcul infinitésimal, avaient été en même temps deux siècles de gêne quant aux fondements : l'admission de grandeurs ou nombres infiniment petits mais non nuls donnait lieu à des contradictions.

De plus, Robinson a réussi à définir de façon rigoureuse de tels nombres en utilisant les techniques de la théorie des modèles, elle-même fortement liée à la théorie des ensembles mise en place par Cantor. Il faisait fond sur les « ensembles infinis » auxquels Cantor nous avait introduits et habitués pour réhabiliter les anciennes infinitésimales disqualifiées. Robinson a donné le nom d'analyse non standard à la nouvelle analyse infinitésimale.

Comme on pouvait le prévoir, cette découverte a relancé tout un ensemble de discussions : celles qui avaient porté, dans le passé, sur la consistance logique de la notion d'infinitésimale bien sûr, mais aussi la « grande » discussion sur la légitimité des totalités infinies qui avait accompagné l'instauration de la mathématique formelle ensembliste, où s'affrontèrent notamment Luitzen Brouwer (1881-1966) et David Hilbert (1862-1943).

Dans un premier temps, le sentiment qui prévalut fut que les méthodes de Robinson étaient « encore plus » infinitistes que celles habituellement utilisées à la suite de Georg Cantor, Ernst Zermelo (1871-1953), et Adolf Fraenkel (1891-1965) : que, pour obtenir les infinitésimaux, il fallait en substance faire tourner la machine infinitaire encore plus fort. Il semblait bien, en effet, que Robinson utilisait, pour construire ses élargissements (au sein desquels apparaissaient les infinitésimales) des ultraproduits, sorte d'objets immenses fabriqués à partir de produits infinis de structures et en faisant appel à l'axiome du choix, usuellement regardé comme le plus « idéaliste » de tous les axiomes de la théorie des ensembles. Certains continuateurs de Robinson ont même soutenu que, pour disposer d'une théorie plus adéquate, il pouvait être nécessaire de faire intervenir un ultraproduit satisfaisant de plus une condition de saturation définie en termes de cardinaux infinis.

Une nouvelle vision mathématique

Mais il est intéressant de savoir qu'un courant original, à la fois logique, mathématique et philosophique, a vu au contraire dans l'idée du non-standard une novation susceptible de suggérer aux mathématiciens une vision de leur art et de leurs mondes plus « intuitionniste », une pratique des mathématiques pour une part empreinte de constructivisme, et qui réconcilie en un sens Brouwer et Hilbert. Ce courant, animé par Georges Reeb (1920-1992) en France et Edward Nelson (né en 1932) aux États-Unis, a connu essentiellement deux étapes.

Premièrement, Edward Nelson formule, en 1977, l'analyse non standard comme une mathématique non standard, liée à une nouvelle « théorie des ensembles », appelée « théorie des ensembles internes » (internal set theory, I.S.T.), qui apparaît comme une extension conservative de la théorie des ensembles de Zermelo et Fraenkel avec axiome du choix (ZFC), en sorte qu'elle n'est aucunement en conflit avec la mathématique dominante au niveau des vérités qu'on y démontre. Cette mathématique non standard ajoute au langage de la théorie usuelle une nouvelle qualité pour les objets, celle d'être (ou n'être pas) standard. On est ainsi amené à concevoir qu'il y a, parmi la faune des ensembles,[...]