CALCUL INFINITÉSIMAL Calcul à une variable

Créée au xvii^e siècle par Newton, Leibniz et leurs prédécesseurs immédiats, transformée au xviii^e, par Euler, en un prodigieux instrument de calcul, débarrassée, sous la Restauration, de sa métaphysique par le baron Cauchy, l'analyse infinitésimale a, depuis longtemps, atteint un degré de perfection tel qu'il est devenu possible d'en exposer l'essentiel en moins d'une dizaine de pages. C'est ce que nous allons essayer de faire, en renvoyant le lecteur à l'article qui précède pour des considérations historiques moins schématiques, et en nous plaçant ici au point de vue le plus « unidimensionnel » possible. Le lecteur qui désirerait un exposé plus philosophique et plus historique ne saurait mieux faire que de consulter l'ouvrage classique d'Otto Toeplitz. On n'a voulu, ici, exposer que les résultats les plus importants et les plus simples de la théorie classique à une variable, en s'efforçant de tout démontrer, et en ne demandant du lecteur que les connaissances les plus élémentaires sur les inégalités entre nombres décimaux, plus tout de même, cela va sans dire, une certaine habitude des raisonnements mathématiques.

Notion de borne supérieure

Nous désignerons par R l'ensemble des nombres réels  ; il nous suffira de savoir qu'un nombre réel est un développement décimal illimité précédé d'un signe (qu'on omet s'il s'agit du signe +), par exemple le nombre − 3,141 59. ... ou bien le nombre 1 = 1,000 0.. ... = 0,999 99. ..., et que l'on peut effectuer sur ces nombres des opérations algébriques que tout le monde connaît. On peut aussi comparer deux nombres réelsx et y, autrement dit donner un sens à la relation x < y (qui exclut, notons-le, l'égalité x = y). On peut, à partir de là, définir des intervalles de plusieurs natures ; par exemple, si a et b sont deux nombres réels donnés, on définit quatre intervalles dont a et b sont les extrémités, et qui ne diffèrent entre eux que dans la mesure où ils contiennent, ou non, leurs extrémités : l'intervalle[a, b]est l'ensemble des nombres x tels que a ≤ x ≤ b, l'intervalle[a, b[ est formé des x tels que a ≤ x < b, etc. Les intervalles de la forme[a, b]sont dits compacts, et les intervalles de la forme ]a, b[ sont dits ouverts.

Considérons maintenant un ensemble E de nombres réels. On dit qu'il est borné supérieurement s'il existe un nombre réel M tel que l'on ait x ≤ M pour tout x ∈ E (rappelons que cette notation signifie que le nombre x appartient à E, ou est un élément de E), et borné inférieurement s'il existe un nombre m tel que l'on ait m ≤ x pour tout x ∈ E. Si E est borné supérieurement et inférieurement (c'est-à-dire s'il existe un intervalle compact qui contient E), on dit que E est borné tout court. Par exemple, l'ensemble N des entiers naturels (ses éléments sont 0, 1, 2, ...) est borné inférieurement, mais non supérieurement, tandis que l'ensemble des nombres rationnels x tels que x³< 2 est borné supérieurement (en effet x³< 2 implique x³≤ 8 = 2³, d'où x ≤ 2, comme on le voit facilement).

Soit E un ensemble borné supérieurement, et soit M un nombre tel que x ≤ M pour tout x ∈ E. S'il existe un nombre M′ < M tel que l'on ait aussi x ≤ M′ pour tout x ∈ E, on obtient des informations plus précises sur les éléments de E en écrivant qu'ils sont tous inférieurs à M′, qu'en écrivant qu'ils sont tous inférieurs à M (exemple concret : savoir que tout homme vit au plus 500 ans est mieux que rien, mais il vaut mieux savoir que tout le monde meurt avant 200 ans). Pour obtenir, de ce point de vue, les informations les plus précises possibles sur E, on est donc amené à choisir le nombre M aussi petit que possible, d'où la définition suivante : on dit que M est la borne supérieure de E si x ≤ M pour tout x ∈ E, et si, de plus, il n'existe aucun nombre M′ < M possédant la première propriété, ou encore si, pour tout M′ < M, il y a au moins un x ∈ E tel que M′ < x ≤ M. Par exemple, la borne supérieure de l'intervalle [0, 1[ est le nombre 1 : on a x ≤ 1 dès que 0 ≤ x < 1, et, pour tout M′ < 1, il y a des nombres x tels que l'on ait à la fois 0 ≤ x < 1 et M′ < x. On désigne par sup(E) la borne supérieure d'un ensemble E de nombres réels, et par inf(E) sa borne inférieure, définie de façon analogue en renversant les inégalités.

Théorème 1. Tout ensemble non vide borné supérieurement de nombres réels possède une borne supérieure.

La démonstration très simple de ce théorème d'existence (il ne suffit pas de parler d'un objet possédant des propriétés données pour que l'objet en question existe) procède comme suit. Supposons, pour fixer les idées, que l'ensemble E considéré soit contenu dans l'intervalle [0, 1[ ; on notera 0, x₁x₂x₃... le développement décimal illimité de tout x ∈ E, de sorte que les chiffres x_k sont des entiers compris entre 0 et 9. Nous allons construire les décimales successives a₁, a₂, ... de la borne supérieure cherchée a. On prend pour a₁ la plus grande valeur prise par la décimale x₁ de x lorsque x décrit E (autrement dit : on a x₁≤ a₁ pour tout x ∈ E, et il existe un x ∈ E tel que x₁ = a₁) ; soit alors E₁ l'ensemble des x ∈ E tels que x₁= a₁ ; on prend pour a₂ la plus grande valeur prise par la décimale x₂ lorsque x décrit E₁ ; soit alors E₂ l'ensemble des x ∈ E₁ tels que x₂ = a₂ (c'est-à-dire des x ∈ E dont les deux premières décimales sont a₁ et a₂) ; on prend pour a₃ la plus grande valeur prise par x₃ lorsque x décrit E₂, et ainsi de suite indéfiniment. Considérons alors le nombre a = 0, a₁a₂a₃... ainsi construit. On a la relation x ≤ a pour tout x ∈ E, car si l'on a x₁= a₁, ..., x_p = a_p (c'est-à-dire si x appartient à l'ensemble E_p construit plus haut), on a x_p+1≤ a_p+1 par définition même de a_p+1 ; on aboutit bien ainsi à la règle classique pour comparer deux développements décimaux. De plus, pour tout entier p, il y a effectivement des x ∈ E tels que l'on ait x₁ = a₁, ..., x_p = a_p, et donc a − 10^-p ≤ x ≤ a  ; comme il existe, pour tout M′ < a, un entier p tel que M′ < a − 10^-p, il existe donc a fortiori un x ∈ E tel que M′ < x.

Le théorème 1 et des énoncés analogues expriment toute la « métaphysique » du calcul infinitésimal, à savoir l'existence d'un nombre réel possédant un développement décimal arbitrairement donné. Toutes ces constructions s'écrouleraient si l'on ne connaissait que les nombres rationnels, car la borne supérieure d'un ensemble de nombres rationnels (par exemple de l'ensemble des x rationnels tels que x²< 2) peut fort bien être irrationnelle (dans l'exemple considéré, c'est le nombre √2).

Pour les applications à la théorie de l'intégration, nous aurons besoin d'un autre résultat, plus élémentaire.

Théorème 2. Soit A et B deux ensembles non vides de nombres réels, et supposons x ≤ y pour tout x ∈ A et tout y ∈ B. Alors A est borné supérieurement, B borné inférieurement, et l'on a sup(A) ≤ inf(B). Pour que sup(A) = inf(B), il faut et il suffit que, pour tout entier p, il existe un x ∈ A et un y ∈ B tels que l'on ait y − x ≤ 10^-p.

Comme B est non vide, il existe des nombres qui appartiennent à B, et qui par suite majorent tout x ∈ A : par suite A est borné supérieurement. A n'étant pas vide, le même raisonnement montre que B est borné inférieurement. Si y ∈ B, on a x ≤ y pour tout x ∈ A, et donc sup(A)≤ y, puisque, par définition, sup A est le plus petit nombre qui dépasse tous les x ∈ A. Mais, comme sup(A) est inférieur à tous les y ∈ B, on en conclut, par un argument analogue, que sup(A) ≤ inf(B). Pour tout entier p il y a un x ∈ A et un y ∈ B tels que l'on ait :

La notion de borne supérieure d'un ensemble de nombres réels permet de définir celle de borne supérieure (ou de «  maximum ») d'une fonction à valeurs réelles. Soit X un ensemble (par exemple un intervalle dans l'ensemble des nombres réels) et f une fonction définie sur X et à valeurs réelles : f associe donc à chaque x ∈ X un nombre réel f (x) qui, en général, dépend de x. Notons f (X) l'ensemble des nombres réels y tels qu'il existe un x ∈ X tel que y = f (x) (« image » de X par f ), autrement dit l'ensemble des « valeurs » prises par la fonction f (x) lorsque x « décrit » X. On dit que f est bornée supérieurement (resp. inférieurement) sur X si l'ensemble f (X) est borné supérieurement (resp. inférieurement), c'est-à-dire s'il existe un nombre réel a tel que l'on ait f (x) ≤ a (resp. f (x) ≥ a) pour tout x ∈ X. Le nombre sup( f (X)) [resp. inf( f (X))] s'appelle alors la borne supérieure (resp. inférieure) ou le maximum (resp. minimum) de la fonction f sur X, et on le désigne par l'assemblage de lettres et de signes que voici :

On peut donc caractériser le nombre M = sup f (x) par les deux propriétés x ∈ X suivantes : (a) on a f (x) ≤ M pour tout x ∈ X ; (b) pour tout entier p, il existe un x ∈ X tel que M − 10^-p< f (x) ≤ M.

On fera attention au fait qu'il n'existe pas toujours un x ∈ X où l'on a exactement f (x) = M, comme le montre le contre-exemple suivant : on prend pour X l'intervalle [0, 1[, ensemble des x réels tels que 0 ≤ x < 1, et pour f la fonction f (x) = x, dont le graphe est un segment de droite, comme chacun le sait ; on a ici M = 1, mais f (x) < 1 pour tout x ∈ X.

L'existence d'un nombre réel dont on se donne d'avance des approximations à 10^-p près pour tout p peut encore se traduire par le résultat suivant (qui nous sera utile plus loin), habituellement connu sous le nom de « critère de Cauchy », bien que les énoncés qu'on en donne classiquement diffèrent légèrement de celui que l'on trouvera ci-dessous :

Théorème 3. Soit x₁, x₂, ..., une suite illimitée de nombres réels. Supposons que, pour tout entier p, il existe un entier q tel que l'on ait |x_m − x_n| < 10^-p dès que m et n dépassent q. Alors il existe un nombre réel a tel que, pour tout p, on ait :

Nous supposerons (on s'y ramènerait facilement) que tous les nombres x_i sont compris entre 0 et 1. Écrivons le développement décimal de x_i sous la forme :

On énonce habituellement le théorème 3 en termes de suites convergentes et de limites, mais nous ferons en sorte, ici, d'éviter l'usage de ces notions – ce qui est parfaitement possible – afin de faciliter la tâche du lecteur.