QUADRATIQUES FORMES

Formes quadratiques sur Zⁿ

On se borne aux formes quadratiques sur Zⁿ non dégénérées, qui s'écrivent sous la forme Q : x ↦ B(x, x), où B est une forme bilinéaire sur Zⁿ× Zⁿ à valeurs dans Z ; la forme bilinéaire associée à Q est donc 2 B, et ce qu'on appelle la matrice de Q est ici la matrice de B (et non celle de 2 B) par rapport à la base canonique de Zⁿ ; c'est par suite une matrice symétrique non dégénérée arbitraire à coefficients entiers. Le problème fondamental est l'étude de l'équation (3), où T₁ et T₂ sont deux telles matrices, d'ordres respectifs n et m ≤ n, et où la matrice inconnue X est une matrice de type (m, n) à coefficients entiers. Pour m = n, les matrices T₂ pour lesquelles (3) a une solution constituent la classe de T₁.

Une autre manière de présenter l'étude des formes quadratiques sur Zⁿ est de considérer une forme quadratique non dégénérée fixe sur Rⁿ. Si B est la forme bilinéaire symétrique associée, on considère les réseaux E dans Rⁿ, à savoir les Z-modules de type fini engendrant l'espace Rⁿ, tels que B(x, y) soit entier pour x et y dans E ; deux tels réseaux sont isomorphes s'ils se déduisent l'un de l'autre par une transformation orthogonale (pour B). Comme tout réseau est un Z-module libre (donc isomorphe à Zⁿ), les diverses bases de E correspondent aux formes quadratiques sur Zⁿ formant une classe d'équivalence. L'avantage de cette présentation est qu'elle s'étend au cas où l'on remplace Z par l'anneau des entiers d'un corps de nombres algébriques ; les réseaux sur un tel anneau ne sont plus nécessairement des modules libres.

Dans l'étude des formes quadratiques sur Zⁿ, on est amené à chercher à étendre le « principe de Hasse » de la théorie des formes quadratiques sur Qⁿ. Les matrices X à coefficients entiers figurant dans l'équation (3) peuvent être considérées comme ayant leurs éléments dans l'un quelconque des anneaux d'entiers p-adiques Z_p, ou dans R, et l'existence de solutions X à coefficients entiers implique donc celle de solutions X dans chacun de ces anneaux. Mais, ici, la réciproque n'est plus exacte ; les formes quadratiques x² + 55y² et 5x² + 11y² sont équivalentes dans R et dans tous les Z_p, mais non dans Z (la première représente 1, mais non la seconde). On est donc amené à envisager une notion d'équivalence moins stricte que celle qui est définie ci-dessus : deux matrices symétriques non dégénérées T₁ et T₂ correspondant à des formes quadratiques sur Zⁿ sont dites appartenir au même genre si l'équation (3) a, dans chaque Z_p, une solution X_p (dépendant de p) ainsi qu'une solution dans R (ce qui signifie que les formes quadratiques correspondantes ont même indice). On déduit de la théorie de la réduction qu'un genre ne contient qu'un nombre fini de classes.

L'étude approfondie de l'équation (3) dans Z repose sur des méthodes analytiques, où la formule sommatoire de Poisson (cf. distributions, chap. 4) joue un rôle prépondérant. Il y a lieu de distinguer le cas des formes positives du cas des formes « indéfinies ».

Formes positives

Si S et T sont des matrices symétriques correspondant à des formes positives non dégénérées sur Zⁿ, d'ordres respectifs n et m, avec m ≤ n, on note N(S, T) le nombre de solutions en matrices X sur Z de l'équation ^tX(S(X = T, nombre qui est fini et ne dépend que des classes de S et de T. On ne connaît pas de formule donnant ce nombre pour n et m quelconques, mais Siegel en a obtenu une expression « moyenne » qui fait intervenir non seulement la classe de S, mais toutes les classes du genre de S. Désignant par S_j des représentants de ces classes, on pose :

et la formule de Siegel s'écrit :

où γ(S) est la « masse[...]