THÊTA FONCTION

Articles

• QUADRATIQUES FORMES

  • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
  • 6 412 mots
  • 1 média
  La théorie des fonctions thêta et des formes modulaires donne des expressions remarquables pour le second membre de (8) pour m = 1. Soit Q(x) une forme quadratique positive non dégénérée sur Zⁿ et soit S sa matrice ; la série :

  

  où x parcourt Zⁿ, est absolument convergente pour Im z > 0...

• RIEMANN BERNHARD (1826-1866)

  • Écrit par Michel HERVÉ
  • 3 000 mots
  Cesfonctions θ particulières suffisent à résoudre le problème d'inversion que Riemann a en vue : prenant (chap. xviii) pour u un système de p fonctions abéliennes indépendantes de première espèce (continues partout) et pour τ₁, ..., τ₂ les variations de u sur 2 p coupures rendant...

• WEIERSTRASS KARL THEODOR WILHELM (1815-1897)

  • Écrit par Michel HERVÉ
  • 2 229 mots
  ...linéaires des n variables ; c'est Weierstrass qui, en 1876, établit ce fait important, puis montra que la fonction est toujours quotient de deux fonctions thêta obtenues par translations convenables d'une même série thêta de Jacobi ; enfin, il aborda la recherche des conditions de convergence des...

• ZÊTA FONCTION

  • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
  • 2 949 mots
  Une des démonstrations de Riemann lie la fonction zêta à une fonction thêta de Jacobi, grâce à l'expression de Γ(s) par l'intégrale eulérienne qui donne :

  

  où l'on a :

  

  pour Im x > 0. L'identité fondamentale qui exprime la propriété « modulaire » de la fonction thêta :...