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QUADRATIQUES FORMES

Formes quadratiques sur un corps

Nous distinguons deux cas, suivant que la caractéristique du corps de base K est distincte de 2 ou égale à 2.

Corps de caractéristique ≠ 2

Résultats généraux

On peut se borner ici à considérer le problème de transformation d'une forme quadratique en une autre sous la forme (3). Un premier invariant est le rang de la matrice T d'une forme quadratique Q ; il est aussi appelé rang de Q ou rang de la forme bilinéaire associée B, et noté rg(Q) ou rg(B). C'est un entier qui peut prendre l'une quelconque des valeurs entre 0 et la dimension n de l'espace vectoriel V où est définie Q. On dit que la forme Q (ou B) est non dégénérée si rg (Q) = n ; la forme bilinéaire B définit alors un isomorphisme ϕ de V sur son dual V* (cf. algèbre linéaire) par la relation :

pour x et y dans V ; cela permet de définir dans V les notions de vecteurs orthogonaux, de sous-espace isotrope et de sous-espace totalement isotrope (cf. groupes [mathématiques] - Groupes classiques et géométrie, chap. 3).

Un second invariant est l'indice de Witt ν ≤ n/2 (cf. groupes [mathématiques] - Groupes classiques et géométrie, chap. 3) ; l'espace V se décompose en somme directe d'un sous-espace W de dimension n − 2ν, ne contenant aucun vecteur isotrope ≠ 0, et d'un sous-espace orthogonal à W, dans lequel l'indice de Witt de la restriction de Q à ce sous-espace est ν ; pour n et ν donnés, la classe d'équivalence de la forme QW, restriction de Q à W, détermine entièrement celle de Q, ce qui permet de ramener le problème d'équivalence au cas des formes anisotropes (c'est-à-dire d'indice 0).

On appelle discriminant de Q (ou de B) par rapport à une base de V le déterminant de la matrice de B par rapport à cette base ; comme la relation (3) entraîne :

on voit que le discriminant dépend de la base choisie, mais sa classe d(Q) dans le groupe quotient K*/K*2 du groupe multiplicatif K* de K par le sous-groupe des carrés dans K* est un invariant de Q.

Enfin, pour deux éléments α et β de K, on désigne par (α, β) l'algèbre de quaternions (généralisés), espace vectoriel de dimension 4 sur K ayant une base formée de 1 (élément unité) et de trois éléments x1, x2 et x3 avec la table de multiplication :

C'est une algèbre simple de centre K, si αβ ≠ 0. Cela étant, il y a toujours des bases (ej), 1 ≤ j ≤ n, de V orthogonales pour Q, autrement dit telles que :

ainsi Q(x) est somme de « termes carrés ». On appelle algèbre de Hasse de Q pour cette base le produit tensoriel des algèbres de quaternions (αj, α1 α2 ... αj), pour 1 ≤ j ≤ n, et on démontre que cette algèbre S(Q) ne dépend pas, à isomorphie près, de la base orthogonale choisie.

On peut prouver que, pour n ≤ 3, les invariants rg(Q), d(Q) et S(Q) caractérisent, à équivalence près, les formes quadratiques sur un corps quelconque K (de caractéristique ≠ 2) ; mais cela n'est plus exact pour n ≥ 4. On n'a, dans ce cas, que des résultats pour des corps particuliers.

Résultats spéciaux

a) Le corps K est algébriquement clos ; un seul invariant suffit, le rang rg(Q) ; pour rg(Q) = n, on a ν = [n/2], partie entière de n/2.

b) Le corps K est le corps R des nombres réels ; pour toute base orthogonale (ej) de V, si :

le nombre p (resp. q) des αj qui sont > 0 (resp. < 0) est indépendant de la base choisie (« loi d'inertie » de Sylvester) ; on dit que (p, q) est la signature sig (Q) de Q ; les nombres p et q caractérisent les formes quadratiques à équivalence près ; on a rg(Q) = p + q ; si p + q = n, on a ν = inf (p, q) et d(Q) est la classe de (− 1)q. Le groupe R*/R*2 a ici deux éléments.

c) Le corps K est fini ; dans ce cas, le groupe K*/K*2 a encore deux éléments[...]

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Pour citer cet article

Jean DIEUDONNÉ. QUADRATIQUES FORMES [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )

Média

Fonction modulaire - crédits : Encyclopædia Universalis France

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Encyclopædia Universalis France

Autres références

  • ALGÉBRIQUES STRUCTURES

    • Écrit par Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
    • 29 463 mots
    ...∗} (respectivement si H ⊂ Hϕ⊥). Un sous-K-espace vectoriel de VE totalement ϕ-isotrope est soit ϕ-isotrope soit le sous-K-espace vectoriel nul de VE.À toute forme KVE-bilinéaire ϕ peut être associée une forme KVE-quadratique Φ, application de E dans K définie par :

  • CONIQUES

    • Écrit par Universalis, André WARUSFEL
    • 5 070 mots
    • 14 médias
    Parabole - crédits : Encyclopædia Universalis France

    L'étude des coniques a été pendant deux millénaires le terrain de prédilection des géomètres qui ont accumulé sur ce sujet d'innombrables théorèmes. Dès la fin du iiie siècle avant J.-C., les mathématiciens avaient obtenu par des méthodes purement géométriques des résultats très...

  • EISENSTEIN FERDINAND GOTTHOLD MAX (1823-1852)

    • Écrit par Jeanne PEIFFER
    • 885 mots

    Mathématicien allemand, né et mort à Berlin. Théoricien des nombres, fortement influencé par Gauss, Eisenstein trouva la source de son inspiration dans le calcul algorithmique et les formules. De constitution fragile, sombrant jeune dans une mélancolie pathologique, il avait comme mathématicien...

  • GAUSS CARL FRIEDRICH (1777-1855)

    • Écrit par Pierre COSTABEL, Jean DIEUDONNÉ
    • 4 886 mots
    ...bien plutôt que d'un calcul sur les entiers eux-mêmes (Disquisitiones arithmeticae, art. 26 et 31). Dans la théorie de la composition des classes de formes quadratiques, qui lui est entièrement due, il est beaucoup plus net encore ; Lagrange avait défini une relation d'équivalence entre formes quadratiques...
  • Afficher les 14 références

Voir aussi

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