QUADRATIQUES FORMES

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Formes quadratiques sur un corps

Nous distinguons deux cas, suivant que la caractéristique du corps de base K est distincte de 2 ou égale à 2.

Corps de caractéristique ≠ 2

Résultats généraux

On peut se borner ici à considérer le problème de transformation d'une forme quadratique en une autre sous la forme (3). Un premier invariant est le rang de la matrice T d'une forme quadratique Q ; il est aussi appelé rang de Q ou rang de la forme bilinéaire associée B, et noté rg(Q) ou rg(B). C'est un entier qui peut prendre l'une quelconque des valeurs entre 0 et la dimension n de l'espace vectoriel V où est définie Q. On dit que la forme Q (ou B) est non dégénérée si rg (Q) = n ; la forme bilinéaire B définit alors un isomorphisme ϕ de V sur son dual V* (cf. algèbre linéaire) par la relation :

pour x et y dans V ; cela permet de définir dans V les notions de vecteurs orthogonaux, de sous-espace isotrope et de sous-espace totalement isotrope (cf. groupes [mathématiques] - Groupes classiques et géométrie, chap. 3).

Un second invariant est l'indice de Witt ν ≤ n/2 (cf. groupes [mathématiques] - Groupes classiques et géométrie, chap. 3) ; l'espace V se décompose en somme directe d'un sous-espace W de dimension n − 2ν, ne contenant aucun vecteur isotrope ≠ 0, et d'un sous-espace orthogonal à W, dans lequel l'indice de Witt de la restriction de Q à ce sous-espace est ν ; pour n et ν donnés, la classe d'équivalence de la forme QW, restriction de Q à W, détermine entièrement celle de Q, ce qui permet de ramener le problème d'équivalence au cas des formes anisotropes (c'est-à-dire d'indice 0).

On appelle discriminant de Q (ou de B) par rapport à une base de V le déterminant de la matrice de B par rapport à cette base ; comme la relation (3) entraîne :

on voit que le discriminant dépend de la base choisie, mais sa classe d(Q) dans le groupe quotient K*/K*2 du groupe multiplicatif K* de K par le sous-groupe des carrés dans K* est un invariant de Q.

Enfin, pour deux éléments α et β de K, on désigne par (α, β) l'algèbre de quaternions (généralisés), espace vectoriel de dimension 4 sur K ayant un [...]


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Pour citer l’article

Jean DIEUDONNÉ, « QUADRATIQUES FORMES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 16 octobre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/formes-quadratiques/

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