QUADRATIQUES FORMES
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- Écrit par Jean DIEUDONNÉ
Réduction des formes quadratiques
Nous ne considérerons plus à partir de maintenant que des formes quadratiques non dégénérées sur le corps R des nombres réels, définies dans un espace Rr, et nous nous intéresserons aux sous-groupes Γ du groupe linéaire GL(r, R) opérant à droite, par (g, Q) ↦ Q ∘ g, dans l'espace Q(Rr) de ces formes. Deux cas sont particulièrement étudiés, correspondant au groupe orthogonal Γ = O(r, R) et au groupe Γ = SL(r, Z) des matrices inversibles de déterminant 1 à coefficients entiers. Nous renvoyons pour le premier cas à l'article théorie spectrale, le problème étant celui de la réduction d'une forme quadratique (ou d'une « hyperquadrique ») à ses « axes ». La théorie de la « réduction » correspond au second cas. Comme les orbites de GL(r, R) dans Q(Rr) sont les ensembles de formes de signature donnée (p, q), avec p + q = r (cf. supra, Résultats spéciaux, in Corps de caractéristique ≠ 2), il y a lieu de distinguer le cas des formes positives non dégénérées (c'est-à-dire p = r et q = 0) et le cas des formes où p et q sont tous deux > 0 (dites aussi « indéfinies »).
Formes positives
L'ensemble H (ou Hr) de ces formes s'identifie à celui des matrices symétriques positives inversibles : c'est un « espace symétrique » H = K G d'Élie Cartan, avec G = GL(r, R) et K = O(r, R) qui est le stabilisateur de la matrice unité. Le problème essentiel de la théorie de la réduction est de trouver dans H un « ensemble fondamental » G′ aussi « petit » que possible tel que toute orbite de Γ dans H le rencontre : il suffit de prendre l'image canonique dans H d'un ensemble G ⊂ G tel que G = G ( Γ. Si l'on désigne par A le sous-groupe commutatif de G formé des matrices diagonales à termes aii > 0 et par N le sous-groupe des matrices triangulaires supérieures (nij) telles que nij = 0 si j < i et nii = 1 pour 1 ≤ i ≤ r, toute matrice g ∈ G s'écrit d'une seule manière : g = k ( a ( n, avec k ∈ K, a ∈ A et n ∈ N ; cette décomposition s'appelle « décomposition d'Iwasawa » (cf. groupes [mathématiques] - Groupes de Lie, chap. 2).
On appelle domaine de Siegel Gt,u dans G l'ensemble des matrices k ( a ( n, avec aii ≤ t ( ai+1,i+1 pour 1 ≤ i ≤ r − 1 et |nij| ≤ u pour i < j ; une méthode remontant à Gauss (pour r = 2) et à Hermite prouve qu'il répond à la question posée, pour t ≥ 2/√3 et u ≥ 1/2. L'intérêt du choix d'un tel domaine fondamental G est que son intersection avec SL(r, R) a une mesure de Haar finie ; d'autre part, si M est un ensemble de matrices m à coefficients entiers de déterminants bornés, alors l'ensemble MG des m ∈ M telles que G ∩ G ( m soit non vide est fini (Siegel). En outre, le fait que Gt,u, pour les valeurs de t et de u indiquées plus haut, soit un domaine fondamental entraîne l'inégalité d'Hermite :
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Encyclopædia Universalis France
Un procédé de « réduction » plus fin, dû à Minkowski, fournit dans H un domaine fondamental plus petit que les domaines de Siegel G′t,u, qui a la propriété de ne pouvoir avoir que des points frontières en commun avec ses transformés par Γ. Pour r = 2, en écrivant une forme quadratique positive a(x + τy)(x + ̄τy), avec a > 0 et τ nombre complexe tel que Im τ > 0, on identifie l'espace H(1) des formes quadratiques positives, définies à un facteur constant près, au demi-plan Im τ > 0 ; la réduction de Minkowski donne alors le domaine[...]
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Écrit par
- Jean DIEUDONNÉ : membre de l'Académie des sciences
Classification
Pour citer cet article
Jean DIEUDONNÉ. QUADRATIQUES FORMES [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )
Article mis en ligne le et modifié le 14/03/2009
Média
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Encyclopædia Universalis France
Autres références
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ALGÉBRIQUES STRUCTURES
- Écrit par Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
- 29 463 mots
...∗} (respectivement si H ⊂ Hϕ⊥). Un sous-K-espace vectoriel de VE totalement ϕ-isotrope est soit ϕ-isotrope soit le sous-K-espace vectoriel nul de VE.À toute forme KVE-bilinéaire ϕ peut être associée une forme KVE-quadratique Φ, application de E dans K définie par :
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CONIQUES
- Écrit par Encyclopædia Universalis et André WARUSFEL
- 5 070 mots
- 14 médias
L'étude des coniques a été pendant deux millénaires le terrain de prédilection des géomètres qui ont accumulé sur ce sujet d'innombrables théorèmes. Dès la fin du iiie siècle avant J.-C., les mathématiciens avaient obtenu par des méthodes purement géométriques des résultats très...
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EISENSTEIN FERDINAND GOTTHOLD MAX (1823-1852)
- Écrit par Jeanne PEIFFER
- 885 mots
Mathématicien allemand, né et mort à Berlin. Théoricien des nombres, fortement influencé par Gauss, Eisenstein trouva la source de son inspiration dans le calcul algorithmique et les formules. De constitution fragile, sombrant jeune dans une mélancolie pathologique, il avait comme mathématicien...
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GAUSS CARL FRIEDRICH (1777-1855)
- Écrit par Pierre COSTABEL et Jean DIEUDONNÉ
- 4 886 mots
...bien plutôt que d'un calcul sur les entiers eux-mêmes (Disquisitiones arithmeticae, art. 26 et 31). Dans la théorie de la composition des classes de formes quadratiques, qui lui est entièrement due, il est beaucoup plus net encore ; Lagrange avait défini une relation d'équivalence entre formes quadratiques... - Afficher les 14 références
