EXPONENTIELLE & LOGARITHME

Pour les constructeurs des premières tables, les logarithmes étaient avant tout un outil de calcul numérique ; mais leur importance n'a cessé de croître. Il suffira de feuilleter cette encyclopédie pour constater que, de nos jours, les logarithmes et les exponentielles interviennent dans tous les domaines de l'activité humaine, qu'il s'agisse de physique, de médecine, de sciences humaines... C'est le cas de tout phénomène naturel dans lequel deux mesures x et y sont telles que le taux de variation Δy/Δx de y est proportionnel à y ; la quantité y dépend alors exponentiellement de x, car on a y′ = ky. Mais les exponentielles s'introduisent aussi dans de nombreux autres cas ; c'est ainsi que les lois de Laplace-Gauss ou de Poisson sont des techniques de base de la statistique.

En tant que fonctions nouvelles, les transcendantes élémentaires (logarithmes, exponentielles et fonctions trigonométriques) se sont introduites d'une façon naturelle au cours du xvii^e siècle, à partir de considérations cinématiques tout d'abord (étude de la cycloïde par exemple). Avec les débuts du calcul infinitésimal, ces fonctions acquièrent une grande importance théorique : découverte de leurs développements en série et rôle essentiel qu'elles jouent dans l'intégration de nombreuses équations différentielles simples. Au xviii^e siècle, le mathématicien suisse L.  Euler, par extension au champ complexe, a mis en évidence les liens étroits qui existent entre ces fonctions et a introduit les notations que l'on utilise encore aujourd'hui.

Dans ce qui suit, on construit complètement ces fonctions à partir du logarithme népérien, primitive de 1/x, en se limitant à l'aspect théorique sans aborder l'aspect pratique des calculs. Cet article est en liaison étroite avec l'article calcul numérique.

Résultats préliminaires

Soit R le groupe additif des nombres réels ; les nombres réels strictement positifs forment un groupe pour la multiplication que nous noterons R*₊. On se propose ici de décrire tous les homomorphismes continus de ces groupes entre eux. Ainsi, les fonctions logarithmes, les fonctions exponentielles et les fonctions puissances sont des applications continues f, g, h :

Montrons pour commencer que les seuls homomorphismes continus du groupe additif R dans lui-même sont les homothéties. Soit donc :

Pour a = 0, on obtient l'application nulle et, pour a ≠ 0, ces homomorphismes sont des isomorphismes, c'est-à-dire qu'ils sont bijectifs.

Il est facile de voir que la continuité de u équivaut à la continuité à l'origine, ou encore au fait que u soit bornée au voisinage de zéro. On peut même démontrer que la mesurabilité de u suffit ; en revanche, si l'on n'impose aucune condition, on peut montrer, en faisant appel à l'axiome du choix, qu'il existe des homomorphismes u autres que les homothéties.

Revenons aux équations fonctionnelles vérifiées par f et g. En intégrant ces équations, on voit que f et g sont, en fait, de classe C¹. On peut donc dériver des équations par rapport à y ; ce qui donne :

En particulier, on voit que f ′(x) = k/x, ce qui conduit à étudier les primitives de x ↦ 1/x. C'est ainsi que l'on définira le logarithme au chapitre 2. La fonction exponentielle s'en déduit alors par passage à la fonction réciproque (chap. 3). Nous aurons besoin pour cela du théorème classique d'inversion.

Inversion des fonctions monotones

Dans ce qui suit, nous nous limiterons, pour des facilités d'énoncé, à des fonctions croissantes, étant entendu que les résultats correspondants pour les fonctions décroissantes s'en déduisent immédiatement.

Soit f une fonction à valeurs réelles définie et strictement croissante dans un intervalle I = (a, b) ; I est quelconque, borné ou pas (ce qui veut dire qu'on peut avoir a = − ∞ par exemple), ouvert, fermé ou semi-ouvert. Par des arguments très analogues à ceux qui sont exposés à la fin du chapitre 4 de l'article calcul infinitésimal - calcul à une variable, on peut montrer que f(x) tend vers une limite α (resp. β), éventuellement égale à − ∞ (resp. + ∞), pour x tendant vers a par valeurs supérieures (resp. vers b par valeurs inférieures) : cette limite en a est la borne inférieure (ou − ∞, si cet ensemble n'est pas borné inférieurement) de l'ensemble des nombres f(x), x ∈ I.

Si f est de plus continue, on déduit facilement du théorème 14 bis du même article (chap. 9), dit théorème des valeurs intermédiaires, que f réalise une bijection de I sur l'intervalle J = (α, β), les extrémités correspondantes de I et J étant de même nature, incluses ou exclues simultanément. De plus, la bijection réciproque de J sur I est, sous ces hypothèses, continue. Ainsi, on peut énoncer le résultat suivant : si f est une application continue strictement croissante d'un intervalle I dans R, alors c'est une bijection de I sur l'intervalle image et la bijection réciproque est continue. Si f est dérivable, l'application réciproque est dérivable en tout point x = f(y) ∈ J tel que f′(y) ≠ 0 et on a :

On verra dans ce qui suit de nombreux exemples de cette situation.