EXPONENTIELLE & LOGARITHME

Pour les constructeurs des premières tables, les logarithmes étaient avant tout un outil de calcul numérique ; mais leur importance n'a cessé de croître. Il suffira de feuilleter cette encyclopédie pour constater que, de nos jours, les logarithmes et les exponentielles interviennent dans tous les domaines de l'activité humaine, qu'il s'agisse de physique, de médecine, de sciences humaines... C'est le cas de tout phénomène naturel dans lequel deux mesures x et y sont telles que le taux de variation Δy/Δx de y est proportionnel à y ; la quantité y dépend alors exponentiellement de x, car on a y′ = ky. Mais les exponentielles s'introduisent aussi dans de nombreux autres cas ; c'est ainsi que les lois de Laplace-Gauss ou de Poisson sont des techniques de base de la statistique.

En tant que fonctions nouvelles, les transcendantes élémentaires (logarithmes, exponentielles et fonctions trigonométriques) se sont introduites d'une façon naturelle au cours du xvii^e siècle, à partir de considérations cinématiques tout d'abord (étude de la cycloïde par exemple). Avec les débuts du calcul infinitésimal, ces fonctions acquièrent une grande importance théorique : découverte de leurs développements en série et rôle essentiel qu'elles jouent dans l'intégration de nombreuses équations différentielles simples. Au xviii^e siècle, le mathématicien suisse L. Euler, par extension au champ complexe, a mis en évidence les liens étroits qui existent entre ces fonctions et a introduit les notations que l'on utilise encore aujourd'hui.

Dans ce qui suit, on construit complètement ces fonctions à partir du logarithme népérien, primitive de 1/x, en se limitant à l'aspect théorique sans aborder l'aspect pratique des calculs. Cet article est en liaison étroite avec l'article calcul numérique.

Résultats préliminaires

Soit R le groupe additif des nombres réels ; les nombres réels strictement positifs forment un groupe pour la multiplication que nous noterons R*₊. On se propose ici de décrire tous les homomorphismes continus de ces groupes entre eux. Ainsi, les fonctions logarithmes, les fonctions exponentielles et les fonctions puissances sont des applications continues f, g, h :

qui vérifient respectivement les relations fonctionnelles :

Montrons pour commencer que les seuls homomorphismes continus du groupe additif R dans lui-même sont les homothéties. Soit donc :

une application continue telle que u(x + y) = u(x) + u(y) ; posons u(1) = a. Pour montrer que u(x) = ax pour tout nombre réel x, il suffit, à cause de la continuité, d'établir ce résultat pour x rationnel. Remarquons d'abord que la relation fonctionnelle entraîne :pour tout entier positif n ; d'autre part, u(1) = u(1 + 0) = u(1) + u(0), d'où u(0) = 0. Pour les entiers négatifs, on a : 0 = u(0) = u(n + (−n)) = u(n) + u(−n), d'où :ainsi, u(x) = ax pour tout entier relatif. Soit enfin x = p/q un nombre rationnel ; on a :d'où :et finalement :

Pour a = 0, on obtient l'application nulle et, pour a ≠ 0, ces homomorphismes sont des isomorphismes, c'est-à-dire qu'ils sont bijectifs.

Il est facile de voir que la continuité de u équivaut à la continuité à l'origine, ou encore au fait que u soit bornée au voisinage de zéro. On peut même démontrer que la mesurabilité de u suffit ; en revanche, si l'on n'impose aucune condition, on peut montrer, en faisant appel à l'axiome du choix, qu'il existe des homomorphismes u autres que les homothéties.

Revenons aux équations fonctionnelles vérifiées par f et g. En intégrant ces équations, on voit que f et g sont, en fait, de classe C¹. On peut donc dériver des équations par rapport à y ; ce qui donne :

et donc, pour y = 1,de même, on a :et donc, pour y = 0,

En particulier, on voit que f ′(x) = k/x, ce qui conduit à étudier les primitives de x ↦ 1/x. C'est ainsi que l'on définira le logarithme au chapitre 2. La fonction exponentielle s'en déduit alors par passage à la fonction réciproque (chap. 3). Nous aurons besoin pour cela du théorème classique d'inversion.

Inversion des fonctions monotones

Dans ce qui suit, nous nous limiterons, pour des facilités d'énoncé, à des fonctions croissantes, étant entendu que les résultats correspondants pour les fonctions décroissantes s'en déduisent immédiatement.

Soit f une fonction à valeurs réelles définie et stri [...]

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