EXPONENTIELLE & LOGARITHME
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Pour les constructeurs des premières tables, les logarithmes étaient avant tout un outil de calcul numérique ; mais leur importance n'a cessé de croître. Il suffira de feuilleter cette encyclopédie pour constater que, de nos jours, les logarithmes et les exponentielles interviennent dans tous les domaines de l'activité humaine, qu'il s'agisse de physique, de médecine, de sciences humaines... C'est le cas de tout phénomène naturel dans lequel deux mesures x et y sont telles que le taux de variation Δy/Δx de y est proportionnel à y ; la quantité y dépend alors exponentiellement de x, car on a y′ = ky. Mais les exponentielles s'introduisent aussi dans de nombreux autres cas ; c'est ainsi que les lois de Laplace-Gauss ou de Poisson sont des techniques de base de la statistique.
En tant que fonctions nouvelles, les transcendantes élémentaires (logarithmes, exponentielles et fonctions trigonométriques) se sont introduites d'une façon naturelle au cours du xviie siècle, à partir de considérations cinématiques tout d'abord (étude de la cycloïde par exemple). Avec les débuts du calcul infinitésimal, ces fonctions acquièrent une grande importance théorique : découverte de leurs développements en série et rôle essentiel qu'elles jouent dans l'intégration de nombreuses équations différentielles simples. Au xviiie siècle, le mathématicien suisse L. Euler, par extension au champ complexe, a mis en évidence les liens étroits qui existent entre ces fonctions et a introduit les notations que l'on utilise encore aujourd'hui.
Dans ce qui suit, on construit complètement ces fonctions à partir du logarithme népérien, primitive de 1/x, en se limitant à l'aspect théorique sans aborder l'aspect pratique des calculs. Cet article est en liaison étroite avec l'article calcul numérique.
Résultats préliminaires
Soit R le groupe additif des nombres réels ; les nombres réels strictement positifs forment un gr [...]
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Écrit par :
- Jean-Luc VERLEY : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII
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BRIGGS HENRY (1561-1630)
Mathématicien anglais dont le nom est attaché à la découverte des logarithmes décimaux (appelés aussi logarithmes vulgaires ou briggsiens). Le caractère instrumental de ce nouvel outil mathématique lui valut une large et rapide diffusion auprès des utilisateurs confrontés à des calculs longs et compliqués. À partir de 1596, Briggs enseigna la géométrie, d'abord à Graham House (Londres), puis, aprè […] Lire la suite
CALCUL INFINITÉSIMAL - Histoire
Dans le chapitre « Logarithmes et fonction logarithmique » : […] Un autre problème qui a joué un grand rôle dans l'évolution des techniques infinitésimales est celui de l'introduction des logarithmes, du passage progressif de la table créée par Neper, en 1614, à la notion de fonction logarithmique et à l'étude des propriétés de celle-ci. Kepler, en 1604, à l'occasion de ses recherches optiques, et Neper, quelques années plus tard, lorsqu'il mit au point ce conc […] Lire la suite
CAVALIERI FRANCESCO BONAVENTURA (1598-1647)
Mathématicien dont les recherches en géométrie préfigurent le calcul intégral. Dans sa jeunesse, Cavalieri rejoignit les jésuates (souvent appelés clercs religieux de saint Jérôme), un ordre religieux qui suivait la règle de saint Augustin et qui fut supprimé en 1668 par le pape Clément X. Les œuvres d'Euclide éveillèrent son intérêt pour les mathématiques et, après sa rencontre avec Galilée, Cava […] Lire la suite
EULER LEONHARD (1707-1783)
Dans le chapitre « Mathématiques » : […] Euler est l'auteur de trois grands traités didactiques sur l'analyse infinitésimale, dans lesquels il a exposé sa conception nouvelle du calcul différentiel et intégral et ses rapports avec la géométrie : l' Introductio in analysin infinitorum (1748), les Institutiones calculi differentialis (1755) et les Institutiones calculi integralis (3 vol., 1768-1770). Le premier de ces traités opè […] Lire la suite
FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions d'une variable complexe
Dans le chapitre « Le logarithme complexe » : […] Il résulte de ce qui précède que toute fonction analytique dans un domaine simplement connexe admet des primitives dans cet ouvert ; de plus, deux telles primitives diffèrent d'une constante au voisinage de chaque point (unicité du développement en série entière) et, par suite, dans l'ouvert connexe tout entier d'après le principe du prolongement analytique (cf. chap. 1, Principe des zéros isolé […] Lire la suite
MIRIFICI LOGARITHMORUM CANONIS DESCRIPTIO (J. Napier)
Le baron écossais John Napier (ou Neper), théologien et activiste protestant issu d'une grande famille écossaise, partageait son temps entre la gestion de son domaine de Gartness, où il expérimentait d'ingénieuses améliorations des techniques d'amendement des sols, et l'organisation de la résistance de l'Écosse contre l'influence catholique. C'est en amateur qu'il s'adonnait aux arts mathématiqu […] Lire la suite
NEPER ou NAPIER JOHN (1550-1617)
Mathématicien écossais, John Napier (ou Neper), baron de Merchiston, passa la majeure partie de sa vie dans le manoir familial de Merchiston (près d'Édimbourg) où il naquit en 1550 et mourut le 4 avril 1617. Violemment anticatholique, il se consacra aux luttes politiques et religieuses de son temps. On lui doit notamment un pamphlet dans lequel il affirme que le pape est un antéchrist, pamphlet qu […] Lire la suite
NOMBRES COMPLEXES
Dans le chapitre « Limites » : […] Puisque le module des nombres complexes possède les mêmes propriétés que la valeur absolue des nombres réels, on peut définir de manière analogue toutes les notions relatives aux limites ; remarquons d'ailleurs que les définitions qui suivent, appliquées au cas particulier des nombres réels, redonnent toutes les notions correspondantes pour ces nombres. On appelle suite de nombres complexes la don […] Lire la suite
NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres p-adiques
Dans le chapitre « Analyse p-adique » : […] On peut développer une théorie des fonctions analytiques de variables p -adiques en définissant de telles fonctions par des développements en séries entières convergentes (cf. fonctions analytiques - Fonctions analytiques d'une variable complexe). Par exemple, la série exponentielle : converge dans le « disque ouvert » de Q p défini par l'inégalité : en effet : et le nombre d'entiers k ≤ n t […] Lire la suite
NUMÉRIQUE CALCUL
Dans le chapitre « Les logarithmes » : […] Au départ, Napier (1550-1617) se propose de simplifier les calculs trigonométriques intervenant en astronomie ; en 1614, il publie une table de logarithmes à sept décimales, sous le titre : Description des merveilleuses règles des logarithmes et de leur usage dans l'une et l'autre trigonométrie, aussi bien que dans tout calcul mathématique . Un second traité, publié en 1619, explique la construct […] Lire la suite
Voir aussi
- ARGUMENT mathématiques
- JEAN BERNOULLI
- PROBLÈME DE CAUCHY
- FONCTIONS CIRCULAIRES
- COSINUS
- COSINUS HYPERBOLIQUE
- DÉTERMINATION PRINCIPALE DU LOGARITHME
- DÉVELOPPEMENTS EULÉRIENS
- FONCTION EXPONENTIELLE
- FONCTION DE VARIABLE COMPLEXE
- FONCTION TANGENTE
- HOMOMORPHISME
- HOMOTHÉTIE
- ISOMORPHISME mathématiques
- FONCTION LOGARITHME
- FONCTION MONOTONE
- LOGARITHME NÉPÉRIEN
- PI mathématiques
- FONCTION PUISSANCE
Pour citer l’article
Jean-Luc VERLEY, « EXPONENTIELLE & LOGARITHME », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 26 octobre 2020. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/exponentielle-et-logarithme/