EXPONENTIELLE & LOGARITHME

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Logarithme népérien

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Fonction y = Log x

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Fonction exponentielle

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Fonctions hyperboliques

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Extension du domaine complexe et trigonométrie

Nous commencerons par le cas de la fonction exponentielle, le plus simple car le développement en série entière (14) converge encore pour tout x complexe, et cela suggère d'étendre cette fonction au domaine complexe en la définissant, dans ce cas, comme somme de la série correspondante.

L'exponentielle complexe

La série :

est absolument convergente pour tout nombre complexe z. Pour z réel, la somme est ez. Pour ∈ C, nous noterons encore exp z ou ez la somme de cette série. D'après la règle de multiplication des séries absolument convergentes, on a, pour a, ∈ C,
ainsi, on a l'importante formule d'addition :

Puisque 1 = e0 = ez ez pour tout  C, on a toujours ez ≠ 0 et, ainsi, la formule d'addition exprime que l'exponentielle complexe définit un homomorphisme du groupe additif C de tous les nombres complexes dans le groupe multiplicatif C* des nombres complexes non nuls.

En outre, pour tout ∈ C, on a :

Enfin, par dérivation terme à terme de la série correspondante, on voit que, pour tout nombre complexe a, la fonction de variable réelle

satisfait à la relation ϕa(t) = aϕa(t). Plus précisément ϕa est l'unique solution sur R du problème de Cauchy : y′ = ay, y(0) = 1.

Fonctions circulaires

Soit z = x + iy un nombre complexe, on a :

la fonction exponentielle  ex ayant été étudiée, nous allons examiner maintenant la fonction  eiy.

Pour t réel, on appelle respectivement cosinus et sinus de t les parties réelle et imaginaire de eit, soit, par définition,

il en résulte immédiatement les « formules d'Euler » :

D'après ce qui précède, l'application ϕ : ↦ exp it est un homomorphisme du groupe additif R dans le groupe multiplicatif U des nombres complexes de module 1 et ϕ′(t) = iϕ(t). L'étude de ce morphisme constitue ce qu'on appelle traditionnellement la trigonométrie.

Fonctions trigonométrique

Fonctions trigonométrique

Dessin

Définition des fonctions trigonométriques 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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La relation |eit| = 1 signifie que :

qui est la relation fondamentale de la trigonométrie.

Par ailleurs, la propriété fonctionnelle :

donne, en séparant parties réelle et imaginaire, les formules d'addition de la trig [...]


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Écrit par :

  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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Pour citer l’article

Jean-Luc VERLEY, « EXPONENTIELLE & LOGARITHME », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 15 novembre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/exponentielle-et-logarithme/