EXPONENTIELLE & LOGARITHME
- Article mis en ligne le
- Modifié le
- Écrit par Jean-Luc VERLEY
Extension du domaine complexe et trigonométrie
Nous commencerons par le cas de la fonction exponentielle, le plus simple car le développement en série entière (14) converge encore pour tout x complexe, et cela suggère d'étendre cette fonction au domaine complexe en la définissant, dans ce cas, comme somme de la série correspondante.
L'exponentielle complexe
La série :
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Puisque 1 = e0 = ez e−z pour tout z ∈ C, on a toujours ez ≠ 0 et, ainsi, la formule d'addition exprime que l'exponentielle complexe définit un homomorphisme du groupe additif C de tous les nombres complexes dans le groupe multiplicatif C* des nombres complexes non nuls.
En outre, pour tout a ∈ C, on a :
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Enfin, par dérivation terme à terme de la série correspondante, on voit que, pour tout nombre complexe a, la fonction de variable réelle
![](/media_src/v09f0185c02.png)
Fonctions circulaires
Soit z = x + iy un nombre complexe, on a :
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Pour t réel, on appelle respectivement cosinus et sinus de t les parties réelle et imaginaire de eit, soit, par définition,
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D'après ce qui précède, l'application ϕ : t ↦ exp it est un homomorphisme du groupe additif R dans le groupe multiplicatif U des nombres complexes de module 1 et ϕ′(t) = iϕ(t). L'étude de ce morphisme constitue ce qu'on appelle traditionnellement la trigonométrie.
La relation |eit| = 1 signifie que :
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Par ailleurs, la propriété fonctionnelle :
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Remplaçant eit et e−it dans les formules d'Euler par leurs développements en série déduits de (22), on obtient les développements en séries entières, valables pour tout nombre réel t, des fonctions trigonométriques :
![](/media_src/v09f0185c09.png)
![](/media_src/v09f0185c10.png)
Le nombre π
Pour t = 2, on a :
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![](/media_src/v09f0186a02.png)
Ainsi, par définition de π, on a cos t > 0 dans l'intervalle ]0, π/2[, ce qui entraîne, d'après (30), que la fonction sinus est strictement croissante dans l'intervalle [0, π/2]. Puisque sin 0 = 0, cette fonction est donc strictement positive dans l'intervalle ]0, π/2], ce qui entraîne toujours d'après (30), que le cosinus est strictement décroissant dans cet intervalle. On peut alors constituer, entre 0 et π/2, le tableau de variation des fonctions circulaires.
Pour t = π/2, la relation (27) entraîne que le sinus est, en valeur absolue, égal à 1 ; par suite puisque ce nombre est positif sin π/2 = 1. Ainsi :
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![](/media_src/v09f0186a04.png)
Pour tout nombre complexe z, on a donc :[...]
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Écrit par
- Jean-Luc VERLEY : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII
Classification
Pour citer cet article
Jean-Luc VERLEY. EXPONENTIELLE & LOGARITHME [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )
Article mis en ligne le et modifié le 14/03/2009
Médias
Autres références
-
BRIGGS HENRY (1561-1630)
- Écrit par Bernard PIRE
- 745 mots
Henry Briggs est un mathématicien anglais dont le nom est attaché à la découverte des logarithmes décimaux (appelés aussi logarithmes vulgaires ou briggsiens). La publication de son livre Arithmeticalogarithmica (1624) eut une influence considérable sur l’utilisation de ces logarithmes dans...
-
CALCUL INFINITÉSIMAL - Histoire
- Écrit par René TATON
- 11 465 mots
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Un autre problème qui a joué un grand rôle dans l'évolution des techniques infinitésimales est celui de l'introduction des logarithmes, du passage progressif de la table créée par Neper, en 1614, à la notion de fonction logarithmique et à l'étude des propriétés de celle-ci. -
CAVALIERI FRANCESCO BONAVENTURA (1598-1647)
- Écrit par Encyclopædia Universalis
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Mathématicien dont les recherches en géométrie préfigurent le calcul intégral. Dans sa jeunesse, Cavalieri rejoignit les jésuates (souvent appelés clercs religieux de saint Jérôme), un ordre religieux qui suivait la règle de saint Augustin et qui fut supprimé en 1668 par le pape Clément X. Les...
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EULER LEONHARD (1707-1783)
- Écrit par Christian HOUZEL et Jean ITARD
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...tributaire de la géométrie. Euler donne dans l'Introductio( chap. vi à viii) un exposé des fonctions transcendantes élémentaires : la fonction exponentielle, le logarithme et les fonctions trigonométriques, qui sont envisagées ainsi pour la première fois. L'exponentielle az (où a ... - Afficher les 11 références