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EXPONENTIELLE & LOGARITHME

Logarithmes

Définition

Il n'existe pas de fonction rationnelle admettant pour dérivée 1/x ; pourtant, cette fonction est définie et continue pour x > 0, et, par suite (cf. calcul infinitésimal – Calcul à une variable, chap. 5), elle admet des primitives dans cet intervalle. Ces primitives constituent donc de « nouvelles » fonctions dont nous allons étudier les propriétés. Elles diffèrent toutes entre elles d'une constante, et il suffit d'en examiner une.

Logarithme népérien - crédits : Encyclopædia Universalis France

Logarithme népérien

Encyclopædia Universalis France

On appelle logarithme népérien ou naturel la primitive de 1/x dans ]0, ∞[ qui s'annule pour x = 1, soit :

ainsi, c'est une fonction dérivable, de dérivée 1/x. Géométriquement, si x > 1, c'est la mesure de l'aire comprise entre l'hyperbole d'équation Y = 1/X et les deux droites X = 1 et X = x ; on a donc ln x < 0 pour 0 < x < 1 et ln x > 0 pour x > 1. On utilisera dans l'ouvrage la notation normalisée anglo-saxonne ln x.

Établissons dès maintenant la propriété fondamentale du logarithme népérien : c'est un homomorphisme (en fait, comme on le verra ci-dessous, un isomorphisme) du groupe multiplicatif R*+ dans le groupe additif R. Soit y un nombre réel positif ; la fonction f (x) = ln xy a la même dérivée que la fonction ln x :

et, par suite, ces deux fonctions diffèrent d'une constante, soit :
faisant x = 1, on a k = ln y, d'où la relation fonctionnelle :

On en déduit immédiatement, pour tout entier n ∈ Z,

plus généralement, avec la convention des exposants fractionnaires ; si α = p/q, q > 0, rappelons que, par définition, xα = √ xp ; on a donc :

D'autre part, si x et y sont des nombres positifs quelconques, on a y(x/y) = x, d'où :

Comportement et graphe

La fonction logarithme népérien est strictement croissante pour x > 0, car sa dérivée est strictement positive dans cet intervalle.

Étudions le comportement du logarithme lorsque x tend vers l'infini. Pour tout entier n, on a :

si A est un nombre positif, soit N un entier plus grand que A/(ln 2). Pour x > 2N = B, on a :
ce qui montre que :

On en déduit facilement le comportement de ln x pour x tendant vers 0 par valeurs positives ; si A est un réel positif, on a, pour le même choix de N que ci-dessus,

ainsi :

Fonction y = Log x - crédits : Encyclopædia Universalis France

Fonction y = Log x

Encyclopædia Universalis France

Précisons le comportement de ln x en montrant que cette quantité est asymptotiquement négligeable devant x pour x tendant vers l'infini. En effet, pour t ≥ 1, on a par exemple :

d'où, pour x ≥ 1,
ainsi : ln x/x < 2/√ x, ce qui entraîne bien :
Toutes ces propriétés permettent de tracer le graphe de L. On peut préciser le tracé en remarquant que la fonction est concave, car sa dérivée seconde −1/x2 est négative ; la tangente au point d'abscisse 1 est de pente égale à 1, ce qui équivaut à :
on exprime cela en disant que ln (1 + x) est équivalent à x pour x tendant vers 0 (cf. calculs asymptotiques). On peut préciser le comportement de ln (1 + x) au voisinage de x = 0 par le développement en série :
valable pour |x| < 1, qui s'obtient en intégrant terme à terme la série géométrique :
dont la somme est égale à la dérivée 1/(1 + x) de ln (1 + x).

C'est à partir de cette série que l'on peut calculer les valeurs numériques des logarithmes (cf. calcul numérique). En définitive, le logarithme népérien L : R*+ → R est continu, strictement croissant et tend vers − ∞ et + ∞ pour x tendant vers 0 (par valeurs supérieures) et vers + ∞ respectivement ; d'après le théorème d'inversion (cf. chap. 1) c'est donc une bijection, c'est-à-dire un isomorphisme (continu) du groupe multiplicatif des nombres réels positifs sur le groupe additif de tous les nombres réels. La bijection réciproque est un isomorphisme du groupe [...]

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Écrit par

  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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Pour citer cet article

Jean-Luc VERLEY. EXPONENTIELLE & LOGARITHME [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )

Article mis en ligne le et modifié le 14/03/2009

Médias

Logarithme népérien - crédits : Encyclopædia Universalis France

Logarithme népérien

Encyclopædia Universalis France

Fonction y = Log x - crédits : Encyclopædia Universalis France

Fonction y = Log x

Encyclopædia Universalis France

Fonction exponentielle - crédits : Encyclopædia Universalis France

Fonction exponentielle

Encyclopædia Universalis France

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Autres références

  • BRIGGS HENRY (1561-1630)

    • Écrit par
    • 745 mots

    Henry Briggs est un mathématicien anglais dont le nom est attaché à la découverte des logarithmes décimaux (appelés aussi logarithmes vulgaires ou briggsiens). La publication de son livre Arithmeticalogarithmica (1624) eut une influence considérable sur l’utilisation de ces logarithmes dans...

  • CALCUL INFINITÉSIMAL - Histoire

    • Écrit par
    • 11 465 mots
    • 3 médias
    Dérivées et intégrales - crédits : Planeta Actimedia S.A.© Encyclopædia Universalis France pour la version française.
    Un autre problème qui a joué un grand rôle dans l'évolution des techniques infinitésimales est celui de l'introduction des logarithmes, du passage progressif de la table créée par Neper, en 1614, à la notion de fonction logarithmique et à l'étude des propriétés de celle-ci.

  • CAVALIERI FRANCESCO BONAVENTURA (1598-1647)

    • Écrit par
    • 358 mots

    Mathématicien dont les recherches en géométrie préfigurent le calcul intégral. Dans sa jeunesse, Cavalieri rejoignit les jésuates (souvent appelés clercs religieux de saint Jérôme), un ordre religieux qui suivait la règle de saint Augustin et qui fut supprimé en 1668 par le pape Clément X. Les...

  • EULER LEONHARD (1707-1783)

    • Écrit par et
    • 2 759 mots
    • 1 média
    ...tributaire de la géométrie. Euler donne dans l'Introductio( chap. vi à viii) un exposé des fonctions transcendantes élémentaires : la fonction exponentielle, le logarithme et les fonctions trigonométriques, qui sont envisagées ainsi pour la première fois. L'exponentielle az (où a ...
  • Afficher les 11 références
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