EXPONENTIELLE & LOGARITHME

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Logarithmes

Définition

Il n'existe pas de fonction rationnelle admettant pour dérivée 1/x ; pourtant, cette fonction est définie et continue pour x > 0, et, par suite (cf. calcul infinitésimal – Calcul à une variable, chap. 5), elle admet des primitives dans cet intervalle. Ces primitives constituent donc de « nouvelles » fonctions dont nous allons étudier les propriétés. Elles diffèrent toutes entre elles d'une constante, et il suffit d'en examiner une.

On appelle logarithme népérien ou naturel la primitive de 1/x dans ]0, ∞[ qui s'annule pour x = 1, soit :

ainsi, c'est une fonction dérivable, de dérivée 1/x. Géométriquement, si > 1, c'est la mesure de l'aire comprise entre l'hyperbole d'équation Y = 1/X et les deux droites X = 1 et X = x ; on a donc ln < 0 pour 0 < < 1 et ln x > 0 pour x > 1. On utilisera dans l'ouvrage la notation normalisée anglo-saxonne ln x.

Logarithme népérien

Logarithme népérien

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Interprétation géométrique du logarithme népérien 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Établissons dès maintenant la propriété fondamentale du logarithme népérien : c'est un homomorphisme (en fait, comme on le verra ci-dessous, un isomorphisme) du groupe multiplicatif R*+ dans le groupe additif R. Soit y un nombre réel positif ; la fonction (x) = ln xy a la même dérivée que la fonction ln x :

et, par suite, ces deux fonctions diffèrent d'une constante, soit :
faisant x = 1, on a k = ln y, d'où la relation fonctionnelle :

On en déduit immédiatement, pour tout entier  Z,

plus généralement, avec la convention des exposants fractionnaires ; si α = p/q, > 0, rappelons que, par définition, xα = xp ; on a donc :

D'autre part, si x et y sont des nombres positifs quelconques, on a y(x/y) = x, d'où :

Comportement et graphe

La fonction logarithme népérien est strictement croissante pour x > 0, car sa dérivée est strictement positive dans cet intervalle.

Étudions le comportement du logarithme lorsque x tend vers l'infini. Pour tout entier n, on a :

si A est un nombre positif, soit N un entier plus grand que A/(ln 2). Pour > 2N = B, on a :
ce qui montre que :

On en déduit facilement le comportement de ln x pour x tendant vers 0 par valeurs positives ; si A est [...]


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Logarithme népérien

Logarithme népérien
Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Fonction y = Log x

Fonction y = Log x
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Fonction exponentielle

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Fonctions hyperboliques

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  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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Pour citer l’article

Jean-Luc VERLEY, « EXPONENTIELLE & LOGARITHME », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 07 décembre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/exponentielle-et-logarithme/