EXPONENTIELLE & LOGARITHME

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Développements eulériens des fonctions transcendantes élémentaires

Dans son Introductio in analysin infinitorum (1748), L. Euler définit l'exponentielle complexe par la formule :

par suite, il considère la fonction exponentielle et les fonctions trigonométriques qui s'en déduisent comme des « polynômes de degré infini ».

En particulier :

écrivant le polynôme du second membre comme un produit de facteurs du second degré et faisant tendre n vers l'infini, il obtient la relation :
qui est le développement de sin z en produit infini (produit eulérien).

Cette formule, valable pour tout z ∈ C, met en évidence les zéros de la fonction sinus, tout comme la décomposition d'un polynôme comme produit de facteurs du premier degré (théorème de d'Alembert-Gauss).

Par des procédés analogues, il obtient les développements :

valables pour z ≠ kπ, ∈ Z.

Cette fois, les fonctions de gauche dans les formules apparaissent comme des « fractions rationnelles de degré infini » ; au second membre figure alors la somme des parties principales, en chacun de leurs pôles, de ces fonctions (généralisation de la décomposition d'une fraction rationnelle en éléments simples).

La théorie des fonctions analytiques fournit un cadre théorique permettant de généraliser de telles formules (décompositions de Weierstrass et de Mittag-Leffler ; cf. fonctions analytiques - Fonctions d'une variable, chap. 8).

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Logarithme népérien

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Fonctions hyperboliques

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Écrit par :

  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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Pour citer l’article

Jean-Luc VERLEY, « EXPONENTIELLE & LOGARITHME », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 21 janvier 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/exponentielle-et-logarithme/