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EXPONENTIELLE & LOGARITHME

Développements eulériens des fonctions transcendantes élémentaires

Dans son Introductio in analysin infinitorum (1748), L. Euler définit l'exponentielle complexe par la formule :

par suite, il considère la fonction exponentielle et les fonctions trigonométriques qui s'en déduisent comme des « polynômes de degré infini ».

En particulier :

écrivant le polynôme du second membre comme un produit de facteurs du second degré et faisant tendre n vers l'infini, il obtient la relation :
qui est le développement de sin z en produit infini (produit eulérien).

Cette formule, valable pour tout z ∈ C, met en évidence les zéros de la fonction sinus, tout comme la décomposition d'un polynôme comme produit de facteurs du premier degré (théorème de d'Alembert-Gauss).

Par des procédés analogues, il obtient les développements :

valables pour z ≠ kπ, k ∈ Z.

Cette fois, les fonctions de gauche dans les formules apparaissent comme des « fractions rationnelles de degré infini » ; au second membre figure alors la somme des parties principales, en chacun de leurs pôles, de ces fonctions (généralisation de la décomposition d'une fraction rationnelle en éléments simples).

La théorie des fonctions analytiques fournit un cadre théorique permettant de généraliser de telles formules (décompositions de Weierstrass et de Mittag-Leffler ; cf. fonctions analytiques - Fonctions d'une variable, chap. 8).

— Jean-Luc VERLEY

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Écrit par

  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

. In Encyclopædia Universalis []. Disponible sur : (consulté le )

Médias

Logarithme népérien

Logarithme népérien

Fonction y = Log x

Fonction y = Log x

Fonction exponentielle

Fonction exponentielle

Autres références

  • BRIGGS HENRY (1561-1630)

    • Écrit par Bernard PIRE
    • 745 mots

    Henry Briggs est un mathématicien anglais dont le nom est attaché à la découverte des logarithmes décimaux (appelés aussi logarithmes vulgaires ou briggsiens). La publication de son livre Arithmeticalogarithmica (1624) eut une influence considérable sur l’utilisation de ces logarithmes dans...

  • CALCUL INFINITÉSIMAL - Histoire

    • Écrit par René TATON
    • 11 465 mots
    • 3 médias
    Un autre problème qui a joué un grand rôle dans l'évolution des techniques infinitésimales est celui de l'introduction des logarithmes, du passage progressif de la table créée par Neper, en 1614, à la notion de fonction logarithmique et à l'étude des propriétés de celle-ci.
  • CAVALIERI FRANCESCO BONAVENTURA (1598-1647)

    • Écrit par Universalis
    • 358 mots

    Mathématicien dont les recherches en géométrie préfigurent le calcul intégral. Dans sa jeunesse, Cavalieri rejoignit les jésuates (souvent appelés clercs religieux de saint Jérôme), un ordre religieux qui suivait la règle de saint Augustin et qui fut supprimé en 1668 par le pape Clément X. Les...

  • EULER LEONHARD (1707-1783)

    • Écrit par Christian HOUZEL, Jean ITARD
    • 2 759 mots
    • 1 média
    ...tributaire de la géométrie. Euler donne dans l'Introductio( chap. vi à viii) un exposé des fonctions transcendantes élémentaires : la fonction exponentielle, le logarithme et les fonctions trigonométriques, qui sont envisagées ainsi pour la première fois. L'exponentielle az (où a ...
  • Afficher les 11 références

Voir aussi