TURBULENCE

Le nombre d'échelles qui interagissent entre elles au sein d'un écoulement turbulent est directement lié au nombre de Reynolds de la turbulence (Re_t = u'l'/ν) par la relation l'/η ≈ Re_t^3/4 : il est donc pratiquement impossible de résoudre les équations du mouvement à chaque instant et en chaque point dans la plupart des situations pratiques, même si des progrès substantiels ont été faits depuis quelques années grâce aux performances sans cesse accrues des ordinateurs. On en est donc encore réduit le plus souvent à traiter la turbulence d'un point de vue statistique. Comme nous l'avons vu précédemment, la non-linéarité des équations de Navier-Stokes (et plus généralement des équations de bilan, par exemple pour l'énergie cinétique, l'énergie interne ou la concentration d'un contaminant) fait apparaître dans le bilan en un point d'une grandeur moyenne F̄ des inconnues supplémentaires du type f'v'_j. Si l'on pense résoudre le problème en construisant des équations de bilan pour ces corrélations doubles, on rencontre de nouvelles inconnues du type f'v'_jv'_k, et ainsi de suite. En termes de statistique, cela revient à dire que des moments d'ordre n+1 apparaissent dans les équations de bilan pour les moments d'ordre n, et ce quel que soit n : il y a toujours plus d'inconnues que d'équations et le problème est ouvert, c'est-à-dire indéterminé. Pour le fermer, il est donc indispensable de modéliser à un certain ordre les inconnues supplémentaires. Il existe pour cela différentes approches.

La méthode la plus simple pour fermer le problème est de ne considérer que les équations pour les valeurs moyennes, et d'utiliser la notion de viscosité turbulente de Boussinesq, ν_t, telle que f'ν'_j = -ν_t ∂F̄/∂x_j, en supposant que la répartition de ν_t dans l'écoulement est connue a priori (à partir d'expériences) : c'est ce que l'on appelle une « fermeture d'ordre 1 » avec un modèle à zéro équation supplémentaire. Une alternative est d'utiliser la longueur de mélange de Prandtl l', [...]