TURBULENCE

Méthodes de description et de modélisation

Le nombre d'échelles qui interagissent entre elles au sein d'un écoulement turbulent est directement lié au nombre de Reynolds de la turbulence (Re_t = u'l'/ν) par la relation l'/η ≈ Re_t^3/4 : il est donc pratiquement impossible de résoudre les équations du mouvement à chaque instant et en chaque point dans la plupart des situations pratiques, même si des progrès substantiels ont été faits depuis quelques années grâce aux performances sans cesse accrues des ordinateurs. On en est donc encore réduit le plus souvent à traiter la turbulence d'un point de vue statistique. Comme nous l'avons vu précédemment, la non-linéarité des équations de Navier-Stokes (et plus généralement des équations de bilan, par exemple pour l'énergie cinétique, l'énergie interne ou la concentration d'un contaminant) fait apparaître dans le bilan en un point d'une grandeur moyenne F̄ des inconnues supplémentaires du type f'v'_j. Si l'on pense résoudre le problème en construisant des équations de bilan pour ces corrélations doubles, on rencontre de nouvelles inconnues du type f'v'_jv'_k, et ainsi de suite. En termes de statistique, cela revient à dire que des moments d'ordre n+1 apparaissent dans les équations de bilan pour les moments d'ordre n, et ce quel que soit n : il y a toujours plus d'inconnues que d'équations et le problème est ouvert, c'est-à-dire indéterminé. Pour le fermer, il est donc indispensable de modéliser à un certain ordre les inconnues supplémentaires. Il existe pour cela différentes approches.

Fermetures en un point

La méthode la plus simple pour fermer le problème est de ne considérer que les équations pour les valeurs moyennes, et d'utiliser la notion de viscosité turbulente de Boussinesq, ν_t, telle que f'ν'_j = -ν_t ∂F̄/∂x_j, en supposant que la répartition de ν_t dans l'écoulement est connue a priori (à partir d'expériences) : c'est ce que l'on appelle une « fermeture d'ordre 1 » avec un modèle à zéro équation supplémentaire. Une alternative est d'utiliser la longueur de mélange de Prandtl l', à partir de laquelle on calcule ν_t (par ν_t = l'² |∂Ū/∂y| en turbulence de paroi où cette dérivée est dominante). Mais se donner a priori ν_t ou l' ne constitue bien évidemment pas une solution de fermeture : il faut pour cela les relier à d'autres grandeurs, ce qui oblige à résoudre une ou deux équations supplémentaires. La méthode la plus répandue, communément appelée modèle k-ε, consiste à résoudre une équation pour l'énergie cinétique de la turbulence (k = 1/2v'_jv'_j) et une pour son taux de dissipation ε, de façon à pouvoir ensuite calculer ν_t ≈ l'u' avec u'² = 2/3k et l' ≈ u'³ /ε. Cette approche ne nécessite que la connaissance de cinq constantes, dont les valeurs sont ajustées sur l'expérience. Ce type de fermeture (et les approches similaires, comme les modèle k-l' ou k-ω'²) reste encore le modèle le plus utilisé dans le milieu industriel de par sa relative simplicité d'implémentation et sa robustesse. Néanmoins, comme les hypothèses sous-jacentes sont relativement fortes et souvent loin d'être satisfaites (notamment parce que le concept même de viscosité turbulente souffre des graves défauts déjà évoqués, et, avec un ν_t isotrope, les propriétés diffusives de la turbulence sont supposées indépendantes de la direction, ce qui est loin d'être vrai au niveau des grandes échelles), des modèles plus élaborés ont été développés à partir des années 1970. Ce sont les « modèles à l'ordre 2 », pour lesquels des équations de bilan (modélisées) sont résolues pour les différentes quantités f'v'_j. Le nombre d'équations supplémentaires à résoudre est alors nettement plus élevé, tout comme le nombre d'inconnues à modéliser. Bien que de nombreux travaux de recherche leur aient été consacrés et que ces fermetures permettent a priori de mieux prendre en compte la dynamique des écoulements turbulents, ces modèles, nécessitant l'ajustement de beaucoup plus de constantes, ont eu moins d'impact dans l'industrie.

Les équations de la turbulence et leurs fermetures au premier ordre

Les équations de la turbulence et leurs fermetures au premier ordre. 

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Turbulence : physique et spectre de la turbulence tridimensionnelle et bidimensionnelle

Physique et spectre de la turbulence tridimensionnelle et bidimensionnelle. 

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Les équations de la turbulence et leurs fermetures au premier ordre

Les équations de la turbulence et leurs fermetures au premier ordre. 

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Les équations de la turbulence et leurs fermetures au second ordre

Les équations de la turbulence et leurs fermetures au second ordre. 

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Fermetures en plusieurs points, modélisation spectrale

Le caractère diffusif de la turbulence étant l'un de ses aspects essentiels, il est logique de ne pas se contenter de bilans en un point, mais de s'intéresser à la façon dont évoluent les corrélations en plusieurs points séparés dans l'espace et/ou dans le temps. Compte tenu de la complexité mathématique du problème, seuls des modèles où l'on suppose au départ que la turbulence est homogène (un éventuel gradient de [...]

Turbulence : outils statistiques

Distributions en probabilité et moments en un et plusieurs points des fluctuations, représentations spectrales. 

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Turbulences : exemples de bifurcations
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Turbulence : le système de Lorenz et la SCI
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Turbulence: un exemple de S.C.I.
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