Chaos et systèmes dynamiques non linéaires

La nature assemble parfois magnifiquement les atomes pour donner l'ordre cristallin. Mais la matière est souvent dans un état désordonné où l'organisation des divers éléments est aléatoire. Ainsi, par exemple, l'état amorphe de l'opale tranche avec l'aspect ordonné du cristal... 

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Les systèmes présentent généralement divers états ordonnés de complexité croissante avant que la turbulence n'apparaisse. Ils passent d'un état à un autre d'une façon soudaine, appelée bifurcation. Trois bifurcations peuvent suffire à conduire le système du repos à l'état chaotique. 

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Le graphe représente la combinaison de 6 sinusoïdes, d'amplitudes égales et de fréquences incommensurables entre elles: il présente effectivement une allure chaotique bien qu'il ne possède pas la propriété de sensibilité aux conditions initiales caractéristique du chaos. 

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Le système construit par Lorenz pour schématiser la convection naturelle est: dx /dt = s (y-x) ; dy/dt = -xz+rx-y ; dz/dt = xy-bz , où x, y, z sont les coordonnées dans l'espace des phases, s est le nombre de Prandtl, b un facteur de forme, et r, proportionnel au nombre... 

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Cet exemple utilise l'application très simple Un+1 = 1 -2Un² introduite par D. Ruelle sous le nom de "Navier-Stokes du pauvre". Les conditions initiales des signaux bruité et non bruité sont extrêmement voisines.... 

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C'est à propos du problème classique du mouvement de trois corps célestes en interaction newtonienne que H. Poincaré a donné en 1890 la première démonstration rigoureuse de la possibilité d'un comportement chaotique : la représentation ci-dessus (tirée de E. Lorenz, 1993)... 

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Un équilibre peut s'établir entre les populations de proies et de prédateurs : le graphe illustre une solution périodique où les deux populations croissent et décroissent avec une certaine différence de phase. 

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Trajectoires « chaotiques » d'un modèle de dynamique des populations dépendant de la densité en temps discontinu. La première caractéristique de telles trajectoires est que l'effectif ne repasse jamais exactement par la même valeur. La seconde caractéristique est une forte... 

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Le jeu simule le fonctionnement d'une chaîne de fabrication et distribution de bière (brasserie, distributeur, grossiste, détaillant, consommateur), où chaque intervenant passe des commandes en fonction des demandes qu'il escompte, tout en cherchant à minimiser son stock.... 

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Comparaison entre les déplacements d'une particule fluide dans un milieu stratifié stable et dans un milieu stratifié instable. 

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Distributions en probabilité et moments en un et plusieurs points des fluctuations, représentations spectrales. 

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a) Vue en perspective des gros tourbillons d'une couche de mélange (simulation numérique de l'équipe Most de M. Lesieur au Legi). b) Couche de mélange air/azote, d'après G.L. Brown et A. Roshko du Caltech, montrant les grosses structures cohérentes et les petites structures... 

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Physique et spectre de la turbulence tridimensionnelle et bidimensionnelle. 

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Analogie entre mouvements diffusifs et mouvements turbulents. 

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Les schémas successifs (où les processus sont supposés bi-dimensionnels ) illustrent l'amplification par la turbulence des effets de la diffusion moléculaire. Avec celle-ci seule, un carré coloré dans un milieu transparent diffuserait seulement dans son voisinage immédiat.... 

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Illustration de la « loi de paroi » pour les vitesses moyennes. 

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Illustration de la « loi de paroi » pour les variables scalaires. 

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Différents régimes d'un écoulement diphasique gaz/liquide en conduite, lorsque le rapport débit de gaz / débit de liquide augmente: à bulles dispersées, à bulles denses, à poches ou bouchons, instable, annulaire ou à phases séparées, dispersé. 

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Dans les réactions de combustion, les transferts de masse et de chaleur sont intimement associés. Le débit des sources ou puits de chaque constituant dépend des concentrations des autres ainsi que de la chaleur dégagée par la réaction. De tels couplages sont générateurs... 

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En général, le vent en altitude obéit à l'équilibre géostrophique entre le gradient horizontal de pression et la force de Coriolis : il suit donc les isobares. Dans la couche d'Ekman atmosphérique, le frottement intervient et le vent acquiert une composante agéostrophique... 

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Au cours de la journée, des structures convectives ascendantes (les thermiques du vol à voile) se développent dans la CLP et viennent éroder progressivement les couches chaudes supérieures qui sont mélangées et réchauffées (c'est l'exemple typique du flux turbulent à contre-gradient),... 

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Si la couche est bien mélangée sous la surface marine, la turbulence y est surtout d'origine cinétique (déferlement des vagues en surface, cisaillements des mouvements orbitaux et des courants de dérive en profondeur). La CMO érodant progressivement la stratification stable... 

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Lorsqu'une instabilité convective se forme dans le manteau inférieur, un bourgeon de matière chaude, donc plus légère, se forme et s'élève à travers le manteau (en bleu) jusqu'à la lithosphère, où il s'accumule en constituant une tête d'un diamètre de plusieurs centaines... 

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Schéma de panaches turbulents qui pourraient se produire dans le manteau et le noyau terrestres (d'après Poirier). 

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Figuration d'un objet mathématique, appelé attracteur étrange, relatif à l'évolution d'un système turbulent, donc doué de «sensibilité aux conditions initiales». 

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Attracteur de Lorenz et sensibilité aux conditions initiales (S.C.I.). Les points de coordonnées X, Y, Z évoluent en fonction du temps dans un espace à trois dimensions sur une trajectoire. Sur la figure, une partie très limitée de cette dernière est projetée, en pointillé,... 

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Section de Poincaré d'un attracteur étrange, obtenu par résolution numérique des équations d'un pendule forcé. En a, représentation globale de l'attracteur. Structure feuilletée et repliements y sont bien mis en évidence. En b, agrandissement de la partie encadrée. La topologie... 

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Attracteurs étranges expérimentaux. Coupes de Poincaré de trajectoires chaotiques correspondant à des situations expérimentales : en a et b cas de la convection turbulente de Rayleigh-Bénard ; en c cas de l'oscillateur forcé, ici une boussole. 

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Dans les régions globalement stables, qui s'organisent souvent en superpositions de "feuillets" de densité décroissante, on observe par exemple le déferlement d'ondes de gravité d'une cambrure excessive (notamment en aval des massifs montagneux), ou encore le développement... 

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