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Algèbre homologique

Homologie d'un module différentiel

Considérons une famille (Mn), avec n ∈ Z, de A modules et, pour tout n, une application dn de Mn dans Mn, où ε est un entier en général égal à + 1 ou à − 1. Si, pour tout n, on a :

on dit que M = ((Mn), (dn)), pour n ∈ Z, est un A-module différentiel gradué ; les dn sont appelés les opérateurs bord de M. Toute suite exacte infinie :
de A-modules est un A-module différentiel gradué ; mais, en général, un A-module différentiel gradué n'est pas une suite exacte ; on introduit son homologie pour mesurer en quoi ce n'en est pas une. On appelle cycle de dimension n les éléments du noyau Zn de dn ; on appelle bords de dimension n les éléments de l'image Bn de dn−ε. Pour tout n, le module Bn est un sous-module de Zn ; le module quotient de Zn par Bn est appelé le module d'homologie en dimension n de M. On le notera Hn (M ).

Soit M =((Mn), (dn)) et L =((Ln), (δn)) deux A-modules différentiels gradués ; si, pour tout n, on s'est donné un homomorphisme αn : Mn → Ln, de telle façon que l'on ait :

on dit que α = (αn), pour ∈ Z, est un morphisme de M dans L. L'image par αn d'un cycle (resp. d'un bord) de dimension n de M est un cycle (resp. un bord) de dimension n de L ; donc α induit, pour tout n, un homomorphisme Hn(α) de Hn(M ) dans Hn(L ). Cela permet de dire que l'homologie est un foncteur de la catégorie des modules différentiels gradués dans celle des modules gradués.

Supposons maintenant que αn soit injectif quel que soit n ; on définit un A-module différentiel gradué L /M de la façon suivante : pour tout n, on considère le A-module Ln/Mn et on applique l'homomorphisme :

en associant à la classe de λn ∈ Ln celle de δnn) ∈ Ln. L'homologie de L /M s'appelle l'homologie relative de L modulo M ; on la note (Hn(L , M )), avec n ∈ Z. L'application naturelle Ln → Ln/Mn définit un morphisme de modules différentiels qui, pour tout n, induit un homomorphisme :

Pour tout cycle de dimension n de L /M, il existe un élément y de Ln dont la classe est x. L'élément δn(y) est l'image d'un élément z de Mn et cet élément z est un cyc [...]


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Claude MORLET, « TOPOLOGIE - Topologie algébrique », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 05 juillet 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/topologie-topologie-algebrique/