TOPOLOGIETopologie algébrique

Faisceaux

La notion de faisceau fut introduite vers 1950 par J. Leray et H. Cartan pour formaliser un certain nombre de théorèmes de topologie algébrique. Vingt ans plus tard, elle jouait un rôle à peu près nul en topologie ; mais elle fait partie du langage naturel de la géométrie algébrique et de la géométrie analytique (cf. fonctions analytiques Fonctions analytiques de plusieurs variables complexes,géométrie algébrique).

La notion de faisceau

Considérons une application continue p : Y → X et, pour tout ouvert U de X, notons F _U l'ensemble des sections de p au-dessus de U, c'est-à-dire l'ensemble des applications continues s : U → Y telles que p ∘ s soit l'application identique de U. Pour U′ ⊂ U, à tout élément s de F _U on associe sa restriction s_|U′ à U′ ; ce qui définit une application de F _U dans F U′. Il est clair que les deux propriétés suivantes sont vérifiées.

a) Si U″ ⊂ U′ ⊂ U et si s est un élément de F _U, on a :

b) Si U est la réunion des ouverts U_i, si, pour tout i, s_i est un élément de F _Ui et si, pour tout couple (i, f ), on a :

alors il existe un élément s et un seul de F _U tel que, pour tout i, on ait s_|Ui = s_i (condition de recollement).

On dit alors que les F _U et les applications de restriction forment le faisceau des sections de p. Plus généralement, chaque fois que l'on se sera donné, pour tout ouvert U de X, un ensemble G _U et, pour tout U′ contenu dans U, une application de G _U dans G U′, que l'on appellera restriction, de façon que les propriétés a et b soit vérifiées, on dira que l'on a un faisceau G de base X.

Exemples

1. Soit p la seconde projection du produit A × X ; le faisceau des sections de p est encore appelé le faisceau des fonctions continues à valeurs dans A.

2. Soit X une variété différentiable et soit p la projection de l'espace tangent à X ; une section, au-dessus de U, du faisceau F associé à p est un champ de vecteurs défini sur U.

3. Les deux exemples précédents sont donnés comme des faisceaux de sections d'une application p à valeurs dans X ; il n'en est pas toujours ainsi. Asso [...]

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