TOPOLOGIETopologie algébrique

Carte mentale

Élargissez votre recherche dans Universalis

Homologie singulière

Entiers d'incidence

Dans ce chapitre, on fixe, une fois pour toutes, pour tout n ≥ 2, une orientation de Dn et de Sn - 1 (cf. variétés différentiables, chap. 2). Soit [σ] un n-simplexe affine, et soit d[σ] la réunion de ses faces, de dimension au plus égale n − 1 ; le couple ([σ], d[σ]) est homéomorphe à (Dn, Sn - 1) ; orienter [σ] c'est choisir une classe d'homéomorphismes de Dn sur [σ] qui définissent des homéomorphismes de Sn - 1 sur d[σ] ; chaque face [σ′] de dimension n − 1 de [σ] est alors identifiée à un morceau de Sn - 1 et elle est donc orientée. C'est l'orientation induite sur [σ′] par l'orientation de [σ].

Considérons maintenant un complexe simplicial (X, [S]) et orientons chacun de ses simplexes de dimension strictement positive. Pour toute face [σ′] de dimension n − 1 du n-simplexe [σ], avec n ≥ 2, on a donc deux orientations, celle que l'on a choisie et celle qui est induite par l'orientation de [σ]. On définit un nombre entier εσ/σ′, appelé entier d'incidence de [σ′] par rapport à [σ], de la façon suivante : on a εσ/σ′ = 1 si ces deux orientations coïncident, et εσ/σ′ = − 1 si ces deux orientations diffèrent. Si [σ] est un 1-simplexe, son orientation est une classe d'homéomorphismes de D1 = [− 1, + 1] sur [σ] ; elle identifie l'une des deux faces de dimension zéro, c'est-à-dire l'un des sommets de [σ], à + 1 (pour cette face [σ′], on pose εσ/σ′ = 1) et l'autre à − 1 (pour cette face [σ′], on pose εσ/σ′ = − 1).

Cycles et homologie

Soit A un anneau unitaire ; on notera Cn(S, A) le A-module libre dont la base est l'ensemble des n-simplexes de la triangulation [S]. Un élément de Cn(S, A) est appelé une n-chaîne du complexe simplicial (X, [S]) ; c'est une expression formelle Σασσ, où [σ] parcourt l'ensemble des n-simplexes de [S] et où tous les ασ, à l'exception d'un nombre fini, sont nuls. À tout n-simplexe [σ] on associe une (n − 1)-chaîne dnσ, appelée son bord, définie par :

où [σ′] parcourt l'ensemble des faces de dimension n − 1 de σ. On étend dn en un homomorphisme de Cn(S, A) dans Cn - 1(S, A), que l'on appelle encore le bord, en posant :

On démontre que, pour tout simplexe [σ] et pour tout couple ([σ′], [σ″]) de faces de codimension 1 de [σ] qui se coupent suivant [σ], on a :

il en résulte que dndn + 1 = 0.

Les n-chaînes u telles que dnu = 0 sont appelées les cycles de dimension n du complexe simplicial (X, [S]). Deux cycles de dimension n sont dits homologues si leur différence est le bord d'une (n + 1)-chaîne. Il est clair que les cycles de dimension n forment un sous-A-module de Cn(S, A) et que l'ensemble de leurs classes modulo l'homologie en est un module quotient ; on le note Hn(S, A). En employant les définitions algébriques du chapitre 6, on peut dire qu'en posant Cn(S, A) = 0, pour n < 0, on obtient un A-module différentiel gradué C*(S, A) dont le n-ième groupe d'homologie est Hn(S, A).

À toute application simpliciale f de (X, [S]) dans (Y, [T]) on associe un homomorphisme fn de Cn(S, A) dans Cn(T, A) en posant, pour tout n-simplexe [σ] de [S], ou bien :

si f|[σ] est un homéomorphisme de σ sur un simplexe de dimension n de T (avec le signe + s'il conserve l'orientation et le signe − s'il la change), ou bien :
si ([σ]) est un simplexe de dimension strictement inférieure à n. Les fn forment un homomorphisme de module différentiel de C*(S, A) dans C*(T, A) qui induit sur les homologies des homomorphismes :

On démontre que, si f et g sont contiguës, alors f* et g* coïncident. Il en résulte que :

a) si ϕ est une application continue de X dans Y, toutes les approximations simpliciales de ϕ induisent le même homomorphisme de Hn(S, A) dans Hn(T, A) ; cet homomorphisme sera noté ϕ* ;

b) si S′ est une autre triangulation de l'espace topologique X, l'application identique de X induit un isomorphisme de Hn(S, A) sur Hn(S′, A) ; donc Hn(S, A) ne dépend que de l'espace topologique X et non de la triangulation S choisie ; c'est pourquoi, à partir de maintenant, on le notera Hn(X, A) ;

c) si ϕ et ψ sont deux applications homotopes de X dans Y, elles induisent le même homomorphisme de Hn(X, A) dans Hn(Y, A) ; en particulier, Hn(X, A) ne dépend que du type d'homotopie de X.

Les nombres de Betti de X (définis par Poincaré) sont les dimensions bn des espaces vectoriels Hn(X, Q) ; les nombres de Betti modulo p, avec p entier premier, sont les dimensions des espaces vectoriels Hn(X, Z/pZ). La somme alternée :

est appelée la caractéristique d'Euler-Poincaré. Si X est tr [...]

1  2  3  4  5
pour nos abonnés,
l’article se compose de 13 pages

Écrit par :

Classification

Autres références

«  TOPOLOGIE  » est également traité dans :

TOPOLOGIE - Topologie générale

  • Écrit par 
  • Claude MORLET
  •  • 4 365 mots
  •  • 3 médias

Les notions de continuité et de limite ont une origine intuitive et l'on se propose d'analyser ici cette intuition. Considérons, par exemple, la description de la tangente T à une courbe telle qu'on la trouve dans les manuels classiques de géométrie élémentaire : Si M varie sur Γ, la corde M0M varie continûment et, si M tend vers M0, la corde M0M a une pos […] Lire la suite

PRIX NOBEL DE PHYSIQUE 2016

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 1 085 mots
  •  • 3 médias

Le prix Nobel de physique 2016 distingue les travaux de trois théoriciens , pour la description de nouveaux états quantiques de la matière et des transitions de phase qui mènent à ces états. Les trois physiciens, David J. Thouless (né à Bearsden, en Écosse, en 1934 et mort à Cambridge, en Angleterre, en 2019) , John Michael Kosterlitz (né à Aberdeen, en Écosse, en 1942) et F. Duncan M. Haldane (n […] Lire la suite

Voir aussi

Pour citer l’article

Claude MORLET, « TOPOLOGIE - Topologie algébrique », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 09 août 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/topologie-topologie-algebrique/