Abonnez-vous à Universalis pour 1 euro

TOPOLOGIE Topologie algébrique

  • Article mis en ligne le
  • Modifié le
  • Écrit par

Homologie singulière

Entiers d'incidence

Dans ce chapitre, on fixe, une fois pour toutes, pour tout n ≥ 2, une orientation de Dn et de Sn - 1 (cf. variétés différentiables, chap. 2). Soit [σ] un n-simplexe affine, et soit d[σ] la réunion de ses faces, de dimension au plus égale n − 1 ; le couple ([σ], d[σ]) est homéomorphe à (Dn, Sn - 1) ; orienter [σ] c'est choisir une classe d'homéomorphismes de Dn sur [σ] qui définissent des homéomorphismes de Sn - 1 sur d[σ] ; chaque face [σ′] de dimension n − 1 de [σ] est alors identifiée à un morceau de Sn - 1 et elle est donc orientée. C'est l'orientation induite sur [σ′] par l'orientation de [σ].

Considérons maintenant un complexe simplicial (X,[S]) et orientons chacun de ses simplexes de dimension strictement positive. Pour toute face [σ′] de dimension n − 1 du n-simplexe [σ], avec n ≥ 2, on a donc deux orientations, celle que l'on a choisie et celle qui est induite par l'orientation de [σ]. On définit un nombre entier εσ/σ′, appelé entier d'incidence de [σ′] par rapport à [σ], de la façon suivante : on a εσ/σ′ = 1 si ces deux orientations coïncident, et εσ/σ′ = − 1 si ces deux orientations diffèrent. Si [σ] est un 1-simplexe, son orientation est une classe d'homéomorphismes de D1 = [− 1, + 1] sur [σ] ; elle identifie l'une des deux faces de dimension zéro, c'est-à-dire l'un des sommets de [σ], à + 1 (pour cette face [σ′], on pose εσ/σ′ = 1) et l'autre à − 1 (pour cette face [σ′], on pose εσ/σ′ = − 1).

Cycles et homologie

Soit A un anneau unitaire ; on notera Cn(S, A) le A-module libre dont la base est l'ensemble des n-simplexes de la triangulation[S]. Un élément de Cn(S, A) est appelé une n-chaîne du complexe simplicial (X,[S]) ; c'est une expression formelle Σασσ, où [σ] parcourt l'ensemble des n-simplexes de[S]et où tous les ασ, à l'exception d'un nombre fini, sont nuls. À tout n-simplexe [σ] on associe une (n − 1)-chaîne dnσ, appelée son bord, définie par :

où [σ′] parcourt l'ensemble des faces de dimension n − 1 de σ. On étend dn en un homomorphisme de Cn(S, A) dans Cn - 1(S, A), que l'on appelle encore le bord, en posant :

On démontre que, pour tout simplexe [σ] et pour tout couple ([σ′], [σ″]) de faces de codimension 1 de [σ] qui se coupent suivant [σ], on a :

il en résulte que dndn + 1 = 0.

Les n-chaînes u telles que dnu = 0 sont appelées les cycles de dimension n du complexe simplicial (X,[S]). Deux cycles de dimension n sont dits homologues si leur différence est le bord d'une (n + 1)-chaîne. Il est clair que les cycles de dimension n forment un sous-A-module de Cn(S, A) et que l'ensemble de leurs classes modulo l'homologie en est un module quotient ; on le note Hn(S, A). En employant les définitions algébriques du chapitre 6, on peut dire qu'en posant Cn(S, A) = 0, pour n < 0, on obtient un A-module différentiel gradué C*(S, A) dont le n-ième groupe d'homologie est Hn(S, A).

À toute application simpliciale f de (X, [S]) dans (Y, [T]) on associe un homomorphisme fn de Cn(S, A) dans Cn(T, A) en posant, pour tout n-simplexe [σ] de[S], ou bien :

si f|[σ] est un homéomorphisme de σ sur un simplexe de dimension n de T (avec le signe + s'il conserve l'orientation et le signe − s'il la change), ou bien :
si f ([σ]) est un simplexe de dimension strictement inférieure à n. Les fn forment un homomorphisme de module différentiel de C*(S, A) dans C*(T, A) qui induit sur les homologies des homomorphismes :

On démontre que, si f et g sont contiguës, alors f* et g* coïncident. Il en résulte que :

a) si ϕ est une application continue de X[...]

La suite de cet article est accessible aux abonnés

  • Des contenus variés, complets et fiables
  • Accessible sur tous les écrans
  • Pas de publicité

Découvrez nos offres

Déjà abonné ? Se connecter

Écrit par

Classification

Pour citer cet article

Claude MORLET. TOPOLOGIE - Topologie algébrique [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )

Article mis en ligne le et modifié le 14/03/2009

Média

Complexes simpliciaux - crédits : Encyclopædia Universalis France

Complexes simpliciaux