TOPOLOGIETopologie algébrique

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Homologie singulière

Entiers d'incidence

Dans ce chapitre, on fixe, une fois pour toutes, pour tout n ≥ 2, une orientation de Dn et de Sn - 1 (cf. variétés différentiables, chap. 2). Soit [σ] un n-simplexe affine, et soit d[σ] la réunion de ses faces, de dimension au plus égale n − 1 ; le couple ([σ], d[σ]) est homéomorphe à (Dn, Sn - 1) ; orienter [σ] c'est choisir une classe d'homéomorphismes de Dn sur [σ] qui définissent des homéomorphismes de Sn - 1 sur d[σ] ; chaque face [σ′] de dimension n − 1 de [σ] est alors identifiée à un morceau de Sn - 1 et elle est donc orientée. C'est l'orientation induite sur [σ′] par l'orientation de [σ].

Considérons maintenant un complexe simplicial (X, [S]) et orientons chacun de ses simplexes de dimension strictement positive. Pour toute face [σ′] de dimension n − 1 du n-simplexe [σ], avec n ≥ 2, on a donc deux orientations, celle que l'on a choisie et celle qui est induite par l'orientation de [σ]. On définit un nombre entier εσ/σ′, appelé entier d'incidence de [σ′] par rapport à [σ], de la façon suivante : on a εσ/σ′ = 1 si ces deux orientations coïncident, et εσ/σ′ = − 1 si ces deux orientations diffèrent. Si [σ] est un 1-simplexe, son orientation est une classe d'homéomorphismes de D1 = [− 1, + 1] sur [σ] ; elle identifie l'une des deux faces de dimension zéro, c'est-à-dire l'un des sommets de [σ], à + 1 (pour cette face [σ′], on pose εσ/σ′ = 1) et l'autre à − 1 (pour cette face [σ′], on pose εσ/σ′ = − 1).

Cycles et homologie

Soit A un anneau unitaire ; on notera Cn(S, A) le A-module libre dont la base est l'ensemble des n-simplexes de la triangulation [S]. Un élément de Cn(S, A) est appelé une n-chaîne du complexe simplicial (X, [S]) ; c'est une expression formelle Σασσ, où [σ] parcourt l'ensemble des n-simplexes de [S] et où tous les ασ, à l'exception d'un nombre fini, sont nuls. À tout n-simplexe [σ] on associe une (n − 1)-chaîne dnσ, appelée son bord, définie par :

où [σ′] parcourt l'ensemble des faces de dimension n − 1 de σ. On étend dn en un homomorphisme de Cn(S, A) dans Cn - 1(S, A), [...]


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Claude MORLET, « TOPOLOGIE - Topologie algébrique », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 11 janvier 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/topologie-topologie-algebrique/