TOPOLOGIETopologie algébrique

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Fibrés vectoriels stables

Soit E et F deux fibrés vectoriels réels de base X, c'est-à-dire deux fibrés localement triviaux dont la fibre est un espace vectoriel sur R (sa dimension est appelée la dimension du fibré) et dont le groupe structural est le groupe des isomorphismes linéaires de cette fibre. On définit un fibré vectoriel réel E ⊕ F, appelé somme de E et de F, dont la fibre en un point x est la somme directe des fibres en x de E et de F ; ce fibré a donc pour dimension la somme des dimensions de E et de F. Si E est le fibré trivial X × Rp → X, la somme de E et de F → X est le fibré Rp × F → X.

On dit que deux fibrés F0 et F1 de base X sont stablement équivalents s'il existe des fibrés triviaux E0 et E1 de base X tels que E⊕ F0 et E1 ⊕ F1 soient isomorphes. Cette notion de classe stable d'un fibré a été introduite en topologie différentielle pour l'étude des fibrés normaux aux variétés ; elle a ensuite pris une grande importance dans le développement de la topologie algébrique moderne.

On note KO(X) l'ensemble des classes stables de fibrés vectoriels réels de base X. La somme des fibrés induit une loi de composition sur KO(X) ; si X est compact (ou si X est un polyèdre), c'est une loi de groupe abélien. On définit de même le groupe K(X) des classes stables de fibrés vectoriels complexes de base X.

Foncteurs homologiques généralisés

Un théorème de R. Bott affirme que K(X) est isomorphe à K(S2X), en désignant par S2X la seconde suspension de X ; de même KO(X) est isomorphe à KO(S8X). Cela permet de définir une famille de foncteurs Ki(X) et KOi(X) très analogues aux groupes de cohomologie (cf. infra, Cohomologie) ; ce sont les premiers exemples connus des « théories cohomologiques (ou homologiques) généralisées », qui constituent l'un des principaux domaines de la topologie algébrique. Une étude systématique de ces théories homologiques a été entreprise avec la S-théorie et les suites spectrales d'Adams.

Parmi les recherches, on doit signaler aussi l'étude des foncteurs représentables et des [...]


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Pour citer l’article

Claude MORLET, « TOPOLOGIE - Topologie algébrique », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 10 juillet 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/topologie-topologie-algebrique/