TOPOLOGIETopologie algébrique

Carte mentale

Élargissez votre recherche dans Universalis

Inventée au début du xxe siècle pour résoudre des problèmes géométriques, la topologie algébrique connut un grand développement grâce à l'introduction de constructions algébriques de plus en plus abstraites. Pour clarifier l'exposé, on a décomposé cet article en deux parties. Dans la première partie (chapitres 1 à 5), les problèmes géométriques sont traités d'une façon très concrète ; dans la seconde partie (chapitres 6 et 7) sont rassemblées toutes les notions algébriques.

On emploiera les notations et abus de langage suivants.

« Espace » signifie « espace topologique » et « application » signifie « application continue ».

Le segment [0, 1] de la droite réelle est noté I ; un « arc joignant x à y dans l'espace X » est, par définition, une application de I dans X qui envoie 0 sur x et 1 sur y.

La boule unité de Rn, pour la distance euclidienne, est notée Dn ; son bord est la sphère Sn−1.

Si l'on a deux homomorphismes de groupes (ou de A-modules) :

on dit que la suite :
est exacte si l'image de α est égale au noyau de β, soit Im α = Ker β, c'est-à-dire, si, pour un élément h de H, les deux conditions suivantes sont équivalentes :

a) on a β(h) = 0,

b) il existe g dans G tel que α(g) = h.

On désigne par O le groupe (ou le A-module) réduit à son élément neutre ; donc, la suite :

est exacte si et seulement si α est injectif ; de même, la suite :
est exacte si et seulement si α est surjectif.

Homotopie

À la notion banale de déformation continue des figures, on fait correspondre deux notions mathématiques. L'une, plus précise, est l'isotopie ; l'autre, plus générale, est l'homotopie.

Applications homotopes

Deux applications f et g de l'espace X dans l'espace Y sont dites homotopes s'il existe une application h de X × I dans Y telle que, pour tout point x de X, on ait h(x, 0) = (x) et h(x, 1) = g(x). Cela définit, sur l'ensemble Hom(X, Y) des applications de X dans Y, une relation d'équivalence ; les classes d'équivalence sont appelées les classes d'homotopie d'applications de X dans Y. Si X est un espace compact et Y un espace métrique et si l'on munit Hom(X, Y) de la topologie de la [...]

1 2 3 4 5

pour nos abonnés,
l’article se compose de 13 pages




Écrit par :

Classification


Autres références

«  TOPOLOGIE  » est également traité dans :

TOPOLOGIE - Topologie générale

  • Écrit par 
  • Claude MORLET
  •  • 4 363 mots
  •  • 3 médias

Les notions de continuité et de limite ont une origine intuitive et l'on se propose d'analyser ici cette intuition. Considérons, par exemple, la description de la tangente T à une courbe telle qu'on la trouve dans les manuels classiques de géométrie élémentaire : Si M varie sur Γ, la corde M0M varie continûment et, si M tend vers M0, la corde M0M a une pos […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/topologie-topologie-generale/

PRIX NOBEL DE PHYSIQUE 2016

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 1 084 mots
  •  • 3 médias

Le prix Nobel de physique 2016 distingue les travaux de trois théoriciens , pour la description de nouveaux états quantiques de la matière et des transitions de phase qui mènent à ces états. Les trois physiciens, David J. Thouless (né à Bearsden, en Écosse, en 1934 et mort à Cambridge, en Angleterre, en 2019) , John Michael Kosterlitz (né à Aberdeen, en Écosse, en 1942) et F. Duncan M. Haldane (n […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/prix-nobel-de-physique-2016/#i_28962

Voir aussi

Pour citer l’article

Claude MORLET, « TOPOLOGIE - Topologie algébrique », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 23 mai 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/topologie-topologie-algebrique/