TOPOLOGIE Topologie algébrique
Inventée au début du xxe siècle pour résoudre des problèmes géométriques, la topologie algébrique connut un grand développement grâce à l'introduction de constructions algébriques de plus en plus abstraites. Pour clarifier l'exposé, on a décomposé cet article en deux parties. Dans la première partie (chapitres 1 à 5), les problèmes géométriques sont traités d'une façon très concrète ; dans la seconde partie (chapitres 6 et 7) sont rassemblées toutes les notions algébriques.
On emploiera les notations et abus de langage suivants.
« Espace » signifie « espace topologique » et « application » signifie « application continue ».
Le segment [0, 1] de la droite réelle est noté I ; un « arc joignant x à y dans l'espace X » est, par définition, une application de I dans X qui envoie 0 sur x et 1 sur y.
La boule unité de Rn, pour la distance euclidienne, est notée Dn ; son bord est la sphère Sn−1.
Si l'on a deux homomorphismes de groupes (ou de A-modules) :
a) on a β(h) = 0,
b) il existe g dans G tel que α(g) = h.
On désigne par O le groupe (ou le A-module) réduit à son élément neutre ; donc, la suite :
Homotopie
À la notion banale de déformation continue des figures, on fait correspondre deux notions mathématiques. L'une, plus précise, est l'isotopie ; l'autre, plus générale, est l' homotopie.
Applications homotopes
Deux applications f et g de l'espace X dans l'espace Y sont dites homotopes s'il existe une application h de X × I dans Y telle que, pour tout point x de X, on ait h(x, 0) = f (x) et h(x, 1) = g(x). Cela définit, sur l'ensemble Hom(X, Y) des applications de X dans Y, une relation d'équivalence ; les classes d'équivalence sont appelées les classes d'homotopie d'applications de X dans Y. Si X est un espace compact et Y un espace métrique et si l'on munit Hom(X, Y) de la topologie de la convergence uniforme, dire que f et g sont homotopes, c'est dire qu'il existe un arc γ dans Hom(X, Y) qui joint f à g : si h est l'homotopie, γ(t) est l'application de X dans Y qui à x associe h(x, t).
Si A et B sont des sous-espaces de X et Y respectivement, une application f de X dans Y est appelée une application de (X, A) dans (Y, B) si elle applique A dans B. Deux applications f et g de (X, A) dans (Y, B) sont dites homotopes s'il existe une homotopie h de f à g, au sens de Hom(X, Y), telle que, pour tout t ∈ I, l'application x ↦ h(x, t) envoie A dans B, c'est-à-dire si f et g peuvent être joints par un chemin dans le sous-espace de Hom (X, Y) formé par les applications de (X, A) dans (Y, B). Si A′ et B′ sont des sous-espaces de A et B respectivement, une application de X dans Y qui applique A dans B et A′ dans B′ est appelée une application de (X, A, A′) dans (Y, B, B′) ; deux telles applications f et g sont dites homotopes s'il existe entre elles une homotopie, au sens de Hom(X, Y), telle que, pour tout t, l'application x ↦ h(x, t) envoie A dans B et A′ dans B′.
Exemples
Deux applications f et g de X dans Rn sont toujours homotopes, car on définit une homotopie h de f à g en posant :
Au contraire, deux applications f et g de X dans Rn − {O} peuvent ne pas être homotopes. Par exemple, l'application constante f qui envoie S1 sur le point (2, 0) et l'application naturelle g de S1 dans R2 − {O} ne sont pas homotopes : il existe des déformations de f à g dans R2, mais elles rencontrent[...]
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Écrit par
- Claude MORLET : professeur à l'université de Nancy
Classification
Pour citer cet article
Claude MORLET. TOPOLOGIE - Topologie algébrique [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )
Média
Complexes simpliciaux
Encyclopædia Universalis France
Voir aussi
- TORE
- SUITE EXACTE
- CATÉGORIES & FONCTEURS
- FONCTEUR
- SPHÈRE
- FIBRÉ, mathématiques
- COHOMOLOGIE
- EULER-POINCARÉ CARACTÉRISTIQUE D'
- TOPOLOGIE ALGÉBRIQUE
- POLYÈDRE
- CERCLE, mathématiques
- HOMOTOPIE
- CONNEXE SIMPLEMENT
- CONNEXE ESPACE
- CONNEXES COMPOSANTES
- SIMPLEXE
- CONVEXE ENVELOPPE
- HOMOLOGIQUE ALGÈBRE
- POINCARÉ GROUPE DE
- REVÊTEMENTS, mathématiques
- SIMPLICIAUX ENSEMBLES
- SUITE SPECTRALE
- HOMOTOPIE TYPE D'
- GROUPE D'HOMOTOPIE
- INCIDENCE ENTIERS D'
- FREUDENTHAL THÉORÈME DE
- MODULE DIFFÉRENTIEL
- FAISCEAUX, mathématiques
- CONTRACTILE ESPACE
- CONNEXE PAR ARCS
- BETTI NOMBRES DE
- CYCLE, topologie
- BORD, topologie
- HOMOLOGIE
