TOPOLOGIETopologie algébrique

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Les espaces fibrés

Fibrés localement triviaux

Soit ϕ : Y → B une application et soit F un espace topologique. Supposons que, pour tout point b de B, l'ensemble ϕ−1(b) soit homéomorphe à F ; on dit alors que ϕ : Y → B est un fibré de fibre F et de base B. L'ensemble ϕ−1(b) est appelé la fibre du point b.

Un exemple de cette situation est le cas où Y = F × B et où ϕ est la seconde projection du produit Y × B ; ce fibré est appelé le fibré trivial de fibre F et de base B.

Pour tout sous-espace B′ de B et pour tout fibré ϕ : Y → B de fibre F,

est encore un fibré de fibre F. On dit que ϕ : Y → B est un fibré localement trivial si chaque point b de B possède un voisinage U tel que :
soit isomorphe au fibré trivial (c'est-à-dire tel qu'il puisse exister un homéomorphisme η : ϕ−1(U) → F × U tel que, pour tout point y de ϕ−1(U), le point ϕ(y) soit la seconde projection de η(y)).

Citons deux exemples de fibrés localement triviaux.

1. Soit B une variété différentiable de dimension n et soit Y la variété de ses vecteurs tangents. En associant à tout vecteur tangent son point de contact, on peut définir un fibré ϕ : Y → B qui a pour fibre Rn ; il est localement trivial, car, pour tout ouvert de coordonnées U de B,

est isomorphe au fibré trivial.

2. Soit G un groupe topologique et soit G′ un sous-groupe fermé. Notons ϕ l'application naturelle de G sur l'ensemble des classes à droite G/G′ ; c'est une fibration de fibre G′. Si G est un groupe de Lie et G′ un sous-groupe de Lie, ce fibré est localement trivial. Les groupes classiques (cf. groupes -Groupes classiques et géométrie) donnent de multiples exemples de cette construction ; par exemple, si on a G = SO(3) et G′ = SO(2), qui sont les groupes des rotations dans R3 et dans R2 respectivement, G/G′ est la sphère S2 et ϕ : G → G/G′ est l'application qui à ∈ SO(3) associe l'image par g du vecteur (1, 0, 0) de R3.

Considérons maintenant un fibré localement trivial ϕ : Y → B de fibre F, deux ouverts B0 et B1 et soit deux trivialisations :

L'application η0 ∘ η1−1 de F × (B∩ B1) dans lui-même commute avec la projection sur B∩ B1 ; elle déf [...]


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Claude MORLET, « TOPOLOGIE - Topologie algébrique », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 08 juillet 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/topologie-topologie-algebrique/