TOPOLOGIETopologie algébrique

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Ensemble simpliciaux et polyèdres

Nous avons dit que l'objet de la topologie algébrique était l'étude des propriétés homotopiques des espaces topologiques ; en fait, ce projet est trop ambitieux : on ne sait que peu de chose des espaces les plus généraux. Mais il existe cependant des classes assez larges d'espaces topologiques pour lesquelles cette étude peut être menée assez loin ; l'une des plus intéressantes est celle des polyèdres.

La notion de simplexe

On appelle simplexe type de dimension n et on note Δn le sous-espace de Rn+1 formé des points dont les coordonnées (x0, ..., xn) vérifient les deux relations :

pour tout i. En particulier, Δ0 est le point 1 de R, Δ1 est le segment qui joint les points (0, 1) et (1, 0) de R2, Δ2 est un triangle et Δ3 est un tétraèdre.

Soit Ep un sous-espace vectoriel de Rn+1 qui est engendré par p + 1 des vecteurs de la base naturelle de Rn+1 ; alors Δn ∩ Ep est homéomorphe au simplexe type de dimension p : on dit que c'est une face de dimension p de Δn ; les faces de dimension zéro sont appelées des sommets.

Les simplexes affines de RN

Pour tout ensemble ordonné σ = (s0, ..., sn) de points de RN, qui a n + 1 éléments, on notera [σ] l'enveloppe convexe de σ, c'est-à-dire l'ensemble des points de RN qui peuvent s'écrire :

avec des coefficients ai tous positifs ou nuls et tels que a0 + ... + an > 0. On note ϕσ l'application linéaire de Rn+1 dans RN qui, pour tout i, applique le i-ème vecteur de la base naturelle de Rn+1 sur si. Il est clair que ϕσ applique Δn sur [σ] et que la restriction de ϕσ à Δn est un homéomorphisme de Δn sur [σ] si et seulement si les n vecteurs s1 − s0, ..., sn − s0 sont indépendants, c'est-à-dire si les points de σ ne sont pas contenus dans un sous-espace affine de dimension strictement inférieure à n. Dans la suite, on supposera que cette condition est vérifiée et on dira que [σ] est un n-simplexe affine de RN. Pour tout sous-ensemble σ′ de σ, l'enveloppe convexe [σ′] est appelée une face de [σ] ; les points de σ sont appelés les sommets de [σ]. L'application ϕσ définit des homéomorphismes des faces de Δn sur cel [...]


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Claude MORLET, « TOPOLOGIE - Topologie algébrique », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 04 juillet 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/topologie-topologie-algebrique/