TOPOLOGIE Topologie algébrique
Ensemble simpliciaux et polyèdres
Nous avons dit que l'objet de la topologie algébrique était l'étude des propriétés homotopiques des espaces topologiques ; en fait, ce projet est trop ambitieux : on ne sait que peu de chose des espaces les plus généraux. Mais il existe cependant des classes assez larges d'espaces topologiques pour lesquelles cette étude peut être menée assez loin ; l'une des plus intéressantes est celle des polyèdres.
La notion de simplexe
On appelle simplexe type de dimension n et on note Δn le sous-espace de Rn+1 formé des points dont les coordonnées (x0, ..., xn) vérifient les deux relations :
Soit Ep un sous-espace vectoriel de Rn+1 qui est engendré par p + 1 des vecteurs de la base naturelle de Rn+1 ; alors Δn ∩ Ep est homéomorphe au simplexe type de dimension p : on dit que c'est une face de dimension p de Δn ; les faces de dimension zéro sont appelées des sommets.
Les simplexes affines de RN
Pour tout ensemble ordonné σ = (s0, ..., sn) de points de RN, qui a n + 1 éléments, on notera [σ] l' enveloppe convexe de σ, c'est-à-dire l'ensemble des points de RN qui peuvent s'écrire :
Complexes simpliciaux
Considérons un sous-ensemble S0 discret de RN et une famille S de parties finies de S0 ; on suppose que :
α) tout élément σ de S définit un simplexe affine ;
β) toute partie de S0 ayant un seul élément est dans S ;
γ) toute partie d'un élément de S est dans S ;
δ) pour tout couple (σ, σ′) d'éléments de S, on a :
Notons X la réunion de tous les simplexes [σ] pour σ ∈ S ; c'est un sous-espace fermé de RN. Les simplexes [σ], avec σ ∈ S, sont tracés sur X et on dit qu'ils forment une triangulation[S]de X.
Un tel espace triangulé X est encore appelé un complexe simplicial. La propriété β, imposée à S, entraîne que S0 ⊂ X ; on voit que S0 est l'ensemble des sommets de[S], que toute face d'un simplexe de[S]est un simplexe de[S]et que, si deux simplexes de[S]ne sont pas disjoints, leur intersection est l'une de leurs faces, éventuellement égale à l'un d'eux.
Complexes simpliciaux
Encyclopædia Universalis France
Par exemple, Δn est un complexe simplicial dont les simplexes sont Δn lui-même et toutes ses faces ; une ligne brisée est un complexe simplicial n'ayant des simplexes qu'en dimension zéro et un ; en découpant chacune de ses faces en deux triangles, on fait du bord d'un cube un complexe simplicial.
Applications simpliciales
Soit [σ] un simplexe affine de RN et [τ] un simplexe affine de RP. Toute application de l'ensemble fini σ dans l'ensemble fini τ se prolonge, de façon unique, en une application de [σ] dans [τ] qui est la restriction à [σ] d'une application affine de RN dans RP ; une telle application de [σ] dans [τ] est dite affine. Soit (X,[[...]
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Écrit par
- Claude MORLET : professeur à l'université de Nancy
Classification
Pour citer cet article
Claude MORLET. TOPOLOGIE - Topologie algébrique [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )
Média
Complexes simpliciaux
Encyclopædia Universalis France
Voir aussi
- TORE
- SUITE EXACTE
- CATÉGORIES & FONCTEURS
- FONCTEUR
- SPHÈRE
- FIBRÉ, mathématiques
- COHOMOLOGIE
- EULER-POINCARÉ CARACTÉRISTIQUE D'
- TOPOLOGIE ALGÉBRIQUE
- POLYÈDRE
- CERCLE, mathématiques
- HOMOTOPIE
- CONNEXE SIMPLEMENT
- CONNEXE ESPACE
- CONNEXES COMPOSANTES
- SIMPLEXE
- CONVEXE ENVELOPPE
- HOMOLOGIQUE ALGÈBRE
- POINCARÉ GROUPE DE
- REVÊTEMENTS, mathématiques
- SIMPLICIAUX ENSEMBLES
- SUITE SPECTRALE
- HOMOTOPIE TYPE D'
- GROUPE D'HOMOTOPIE
- INCIDENCE ENTIERS D'
- FREUDENTHAL THÉORÈME DE
- MODULE DIFFÉRENTIEL
- FAISCEAUX, mathématiques
- CONTRACTILE ESPACE
- CONNEXE PAR ARCS
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- CYCLE, topologie
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