GROUPES (mathématiques)Groupes finis

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Née de l'étude des groupes de permutations des racines d'équations, la théorie des groupes finis s'est développée indépendamment depuis le Traité des substitutions et des équations algébriques (1870) de Camille Jordan. Après les travaux importants de Burnside, de Frobenius et de leurs élèves vers le commencement du xxe siècle, cette théorie connut une période de développement lent, faute de méthodes pour résoudre les nombreux problèmes posés par ces pionniers. Les efforts de mathématiciens comme P. Hall et R. Brauer pendant cette période ont engendré les nouvelles méthodes qui, après 1955, ont amené une intense activité dans ce domaine ; des progrès énormes ont été accomplis, particulièrement dans la théorie des groupes simples et la théorie des relations entre un groupe et ses sous-groupes. Mais beaucoup de questions sont restées longtemps ouvertes et sont l'objet d'une recherche acharnée.

Groupes de permutations

Historiquement la théorie des groupes finis commença avec l'étude des groupes symétriques et de leurs sous-groupes, les groupes de permutations. Soit E un ensemble fini formé des n éléments e1, ..., en, ≥ 1. Une permutation π des éléments e1, ..., en (ou encore une permutation π sur E) est une application x ↦ π(x) de E dans E, telle que chaque élément y de E soit l'image y = π(x) d'un élément unique x de E. L'application π-1, envoyant chaque élément y sur l'élément x tel que y = π(x), est alors aussi une permutation sur E, qui s'appelle l'inverse de π. Le produit πρ de deux permutations π, ρ sur E est la permutation de e1, ..., en définie par : πρ(x) = π(ρ(x)), pour tout x dans E. Avec ces définitions de l'inversion et de la multiplication, l'ensemble des permutations sur E forme un groupe fini Σ(E), le groupe symétrique de E. Son élément neutre est la permutation identité 1 = 1E sur E, qui envoie chaque e1, ..., en sur lui-même : 1E(x) = x.

Le groupe symétrique Σ(E) est déterminé à un isomorphisme près par le [...]


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Pour citer l’article

Everett DADE, « GROUPES (mathématiques) - Groupes finis », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 27 octobre 2020. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/groupes-mathematiques-groupes-finis/