GROUPES (mathématiques)Groupes finis

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p-groupes

Si H est un sous-groupe d'un groupe fini G, son ordre |H|, son indice [G : H] (c'est-à-dire le nombre de classes à gauche de H dans G) et l'ordre |G| de G sont liés par le théorème de Lagrange (1770) :

En particulier, |H| divise |G|. Soit p un nombre premier et pn la plus grande puissance de p qui divise |G|. Tout p-sous-groupe H de G (c'est-à-dire tout sous-groupe dont l'ordre |H| est une puissance pk de p) a un ordre |H| ≤ pn. Si |H| = pn, on dit que H est un p-sous-groupe de Sylow de G. Il y a plusieurs théorèmes de Sylow (1872) pour ces sous-groupes :

1. Tout groupe fini G a au moins un p-sous-groupe de Sylow P.

2. Tout autre p-sous-groupe de Sylow Q de G est un conjugué de P, c'est-à-dire que Q = σPσ-1, pour un élément σ de G.

3. Tout p-sous-groupe H de G est un conjugué d'un sous-groupe de P, c'est-à-dire que τHτ-1 ⊂ P, pour un élément τ de G.

4. Le nombre l des p-sous-groupes de Sylow de P divise |G| et est de la forme l = 1 + pm, pour un certain entier m.

Le deuxième de ces théorèmes implique que le p-sous-groupe de Sylow P est déterminé, à un isomorphisme près, par le groupe G. On peut donc classer les groupes finis suivant leurs p-sous-groupes de Sylow ; d'où l'importance de la théorie des p-groupes (groupes P dont l'ordre est une puissance p> 1 d'un nombre premier p). L'une des propriétés de ces groupes est que leurs centres Z(P) sont toujours non triviaux, soit Z(P) ≠ {1}. Chaque p-groupe P est donc nilpotent (cf. groupes [mathématiques] - Généralités, fin du chap. 3).

Si G est un groupe fini et si E est un sous-ensemble de G, le normalisateur NG(E) de E dans G est le sous-groupe formé des éléments σ de G, tels que σEσ-1 = E. On montre alors qu'un groupe fini G est nilpotent si et seulement si tout sous-groupe H de G, différent de G, est strictement contenu dans son normalisateur NG(H). On peut aussi montrer qu'un groupe fini G est nilpotent si et seulement si G n'a qu'un p-sous-groupe de Sylow Gp pour chaque nombre premier p. Dans ce cas, G est le produit direct de ses uniques sous-groupes de Sylow Gp. Les groupes finis nilpotents sont donc « pres [...]

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Everett DADE, « GROUPES (mathématiques) - Groupes finis », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 30 juillet 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/groupes-mathematiques-groupes-finis/