GROUPES (mathématiques)Groupes finis

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Groupes simples

Si H est un sous-groupe distingué d'un groupe fini G, le morphisme surjectif naturel de G sur le groupe quotient G/H, ayant H pour noyau, nous donne une sorte d'analyse du groupe G en les deux groupes H et G/H. Les deux cas H = {1}, et H = G sont triviaux, le groupe G étant alors isomorphe à l'un des deux groupes H et G/H. Dans tous les autres cas, les ordres |G/H| et |H| sont strictement plus petits que l'ordre de G. Les groupes G/H et H sont donc plus simples que G. Le groupe G est appelé simple si G ≠ {1} et si l'on ne peut pas l'analyser ainsi en des groupes d'ordre strictement plus petit, c'est-à-dire si {1} et G sont les seuls sous-groupes distingués de G. Par exemple, pour chaque entier premier p, le groupe cyclique Cp d'ordre p est simple.

Tout groupe fini G peut se décomposer en groupes simples : si G = {1}, il n'y a rien à faire ; si G ≠ {1}, il y a toujours un sous-groupe distingué H1 de G tel que G/H1 soit un groupe simple. Si H1 = {1}, l'analyse est terminée. Sinon, il existe un sous-groupe distingué H2 de H1, tel que H1/H2 soit un groupe simple. Si on itère cette construction, on aboutit à une suite G = H0, H1, H2, ..., Hn = {1} de sous-groupes de G, où Hi est distingué dans Hi-1, et où Hi-1/Hi est un groupe simple, i = 1, ..., n. Une telle suite s'appelle une suite de Jordan-Hölder du groupe fini G, et les groupes quotients H0/H1, H1/H2, ..., Hn-1/Hn : s'appellent les facteurs de Jordan-Hölder de G. La terminologie adoptée ici suit N. Bourbaki ; les théoriciens des groupes finis, traditionnellement, continuent à réserver le terme de suite de composition à ce que nous appelons ici suite de Jordan-Hölder.

Considérons, par exemple, le groupe symétrique Σ4 des permutations de 1, 2, 3, 4. L'ordre de Σ4 est 4 ! = 24. Le groupe alterné A4 d'ordre 4 !/2 = 12 est un sous-groupe distingué dans Σ4, et le groupe quotient Σ4/A4 est isomorphe au groupe simple C2. Les trois permutations (12)(34), (13)(24), (14)(23) forment avec l'identité un sous-groupe V d'ordre 4 dans A4 qui s'appelle le 4-groupe de Klein. Ce groupe V est distingué dans Σ4, et donc [...]


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Pour citer l’article

Everett DADE, « GROUPES (mathématiques) - Groupes finis », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 23 novembre 2020. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/groupes-mathematiques-groupes-finis/