3. Le Moyen Âge
• Le relais arabe
Dans le monde grec, Archimède n'eut ni disciple ni successeur véritable ; seuls, quelques commentateurs, tel Eutocius au début du vie siècle, ont contribué à maintenir le souvenir de son œuvre, sans toutefois pouvoir apprécier celle-ci dans l'intégralité de sa rigueur. En revanche, dès le ixe siècle, les mathématiciens arabes réussirent à dominer la méthode antique d'exhaustion et à obtenir, par son intermédiaire et avec l'aide de quelques procédés originaux, différents résultats, connus d'Archimède, et d'autres jusqu'alors inédits. Alors que la plupart des problèmes traités par Archimède équivalent à la quadrature de ax et de ax2, on trouve chez Thābit ibn Qurra, dès le ixe siècle, un calcul équivalant à la détermination de l'intégrale :
et cela par un procédé qui revient à diviser l'intervalle d'
intégration en éléments formant une progression arithmétique. Le calcul du volume du solide de révolution engendré par la rotation d'un segment de parabole autour de sa corde (calcul qui revient à la sommation de
ax4) amène Ibn al-Haytham, au début du
xie siècle, à réaliser la détermination préalable de la somme des puissances quatrièmes de la suite des entiers. Il faut encore mentionner que son contemporain, le célèbre physicien et géographe al-Bīrūnī, fut conduit par ses recherches sur le mouvement non uniforme à l'étude des propriétés des fonctions au voisinage de leurs maximums ou minimums et à la conception des notions de vitesse instantanée et d'accélération d'un mouvement ponctuel. De telles considérations innovent de façon remarquable sur l'Antiquité, qui ignorait pratiquement la cinématique ; elles ne réapparaîtront qu'à la fin du
xviie siècle, trop tardivement pour contribuer à la genèse de la notion de dérivée. […]
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