Analyse mathématique

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ANALYSE MATHÉMATIQUE

Écrit par :  Jean DIEUDONNÉ

L'analyse mathématique est le développement des notions et résultats fondamentaux du calcul infinitésimal. Ce dernier s'était déjà considérablement enrichi et diversifié entre les mains des mathématiciens du xviii^e siècle, avant tout Euler et Lagrange. À partir de 1800, cette diversification s'accentue encore et s'accompagne d' ...  Lire la suite

ASYMPTOTIQUES CALCULS

Écrit par :  Jean-Louis OVAERT, Jean-Luc VERLEY

Il est difficile de définir avec précision ce que l'on appelle méthodes asymptotiques en analyse mathématique. Ainsi, lors de l'étude d'une suite ou d'une fonction dont la nature est compliquée, certaines questions ne nécessitent que des renseignements d'ordre qualitatif tels que f (x) → 0 ou f (x) → +  ...  Lire la suite

CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à plusieurs variables

Écrit par :  Georges GLAESER

Le calcul infinitésimal des fonctions de plusieurs variables a eu un développement plus tardif que celui des fonctions d'un seul argument. Inauguré avec un siècle de retard, il ne parvient à établir solidement ses fondements qu'au début du xx^e siècle. Ce n'est qu'aux environs de 1930 que sont abordés les problèmes difficiles de ...  Lire la suite

CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à une variable

Écrit par :  Roger GODEMENT

Créée au xvii^e siècle par Newton, Leibniz et leurs prédécesseurs immédiats, transformée au xviii^e, par Euler, en un prodigieux instrument de calcul, débarrassée, sous la Restauration, de sa métaphysique par le baron Cauchy, l'analyse infinitésimale a, depuis longtemps, atteint un degré de perfection tel qu'i ...  Lire la suite

CALCUL INFINITÉSIMAL - Histoire

Écrit par :  René TATON

L'expression « calcul infinitésimal » désigne habituellement l'ensemble des notations et des méthodes fondamentales du calcul différentiel, du calcul intégral et du calcul des variations, tel qu'il a été mis au point au cours des xvii^e et xviii^e siècles, instrument merveilleux qui ouvrit aux mathématiques de ...  Lire la suite

COMPACITÉ, mathématique

Écrit par :  André WARUSFEL

La notion de compacité est, en quelque sorte, à la base de toute l'analyse moderne. En ce sens, elle vient aussitôt après celles de limite et de fonction continue, auxquelles elle apporte des compléments indispensables. Pourtant, il faudra de nombreux siècles pour qu'elle soit découverte, après que Cauchy (1789-1857) eut enfin apporté la clarté né ...  Lire la suite

CONNEXITÉ, mathématique

Écrit par :  André WARUSFEL

L'analyse moderne est née de l'étude des fonctions réelles f définies sur un intervalle I du corps ℝ des nombres réels, et tout particulièrement de celles qui sont continues. On sait qu'alors f est bornée, admet un maximum et un minimum et est même uniformément continue, si I est un segment. Mais la plus importante de ses proprié ...  Lire la suite

CONTINUITÉ, mathématique

Écrit par :  Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN

L'idée de continuité remonte à l'Antiquité, en particulier aux mathématiciens et philosophes grecs, dont Aristote (385 env.-322 av. J.-C.), et a longuement évolué, mais elle n'a pu prendre sa forme mathématique générale et rigoureuse que lorsque les premiers éléments de la théorie axiomatique des espaces topologiques ont été établis, c'est-à-dire ...  Lire la suite

CONVEXITÉ

Écrit par :  Victor KLEE

La convexité, étude des ensembles et des fonctions convexes, constitue une branche de la géométrie et de l'analyse qui unifie des phénomènes à première vue totalement dissemblables. Elle intervient à divers niveaux dans des branches très variées des mathématiques : théorie des nombres, problèmes combinatoires, analyse fonctionnelle et app ...  Lire la suite

CONVEXITÉ - Ensembles convexes

Écrit par :  Victor KLEE

Dans le chapitre Aspects qualitatifsContrairement à ce qui précède, les espaces considérés ici sont quelconques, et non nécessairement de dimension finie. La convexité intervient de manière essentielle dans les espaces vectoriels de l'analyse :, ou plus généralement espaces vectoriels topologiques localement convexes, c'est-à-dire où tout point a un système fondamental de voisinage ...  Lire la suite

CONVEXITÉ - Fonctions convexes

Écrit par :  Robert ROLLAND

L'étude des fonctions convexes a permis de fournir un cadre dans lequel peut se résoudre toute une classe de problèmes d'analyse fonctionnelle non linéaire ; les problèmes ainsi abordés sont des questions d'optimisation provenant de divers domaines : la mécanique, l'économie, les équations aux dérivées partielles, l'analyse numérique. Compte tenu ...  Lire la suite

DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX)

Écrit par :  Claude BARDOS, Martin ZERNER

Les équations aux dérivées partielles sont sans doute le domaine des mathématiques où le lien avec la physique est le plus étroit. Il ne s'agit pas seulement du fait que les recherches les plus actives, et en général les plus importantes, ont été motivées par des questions de physique. Il s'agit aussi, et surtout, du fait que les idées ap ...  Lire la suite

DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Analyse numérique

Écrit par :  Claude BARDOS, Martin ZERNER

Plus peut-être que tout autre domaine des mathématiques, les équations aux dérivés partielles étaient prédisposées à bénéficier de l'utilisation des ordinateurs, pour de nombreuses raisons. La plus importante est leur intervention dans de nombreux problèmes techniques. C'est d'ailleurs un problème d'hydrodynamique, dont la solution devait « amélio ...  Lire la suite

DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Équations non linéaires

Écrit par :  Claude BARDOS

L'étude des équations aux dérivées partielles non linéaires se trouve à l'interface de nombreux problèmes scientifiques. En effet, la plupart des phénomènes de la physique ou des sciences de l'ingénieur sont non linéaires et une modélisation par des équations linéaires risque, dans certains cas, d'effacer des événements que les é ...  Lire la suite

DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Sources et applications

Écrit par :  Martin ZERNER

On se propose de décrire très sommairement quelques types classiques d'équations aux dérivées partielles issues principalement de la physique et de préciser leurs interventions dans des domaines variés des mathématiques. Alors que les solutions des équations différentielles ordinaires dépendent d'une ou de plusieurs constantes arbitraires, celles ...  Lire la suite

DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Théorie linéaire

Écrit par :  Martin ZERNER

Il existe une théorie mathématique assez bien constituée des équations aux dérivées partielles linéaires, dont nous allons essayer de donner une idée. En contraste, les équations non linéaires présentent un foisonnement de problèmes et de méthodes dont peu sont générales. Sans que nous le précisions à chaque fois, certains des résultats que nous a ...  Lire la suite

DIFFÉRENTIELLES ÉQUATIONS

Écrit par :  Christian COATMELEC, Maurice ROSEAU, Universalis

Les équations différentielles sont apparues historiquement tout au début du développement de l'analyse, en général à l'occasion de problèmes de mécanique ou de géométrie. Si, dans les premières investigations, l'on s'attachait surtout à en calculer les solutions au moyen de fonctions déjà connues, très vite ce point de vue s'affirma trop étroit ; ...  Lire la suite

DISSERTATIONS (B. Riemann)

Écrit par :  Bernard PIRE

La dissertation inaugurale et la dissertation pour l'habilitation, soutenues en décembre 1851 et en juin 1854 à l'université de Göttingen, sont l'occasion pour Bernhard Riemann (1826-1866) de décrire un nombre impressionnant de résultats nouveaux. Élève et disciple de Carl Friedrich Gauss, Riemann s'inspire de la physique mathématique et de la géo ...  Lire la suite

DISTRIBUTIONS, mathématiques

Écrit par :  Paul KRÉE

Il est arrivé à plusieurs reprises que certaines exigences de la physique, par exemple, aient conduit les utilisateurs des mathématiques à des « calculs » non rigoureusement justifiables au moyen des concepts mathématiques existants, mais qui traduisaient avec succès la réalité expérimentale. C'est ainsi que l'ingénieur Heaviside introduisit dans ...  Lire la suite

ÉQUATION, mathématique

Écrit par :  Gilles LACHAUD

Une équation est une égalité entre deux expressions mathématiques, donc une formule de la forme A = B, où les deux membres A et B de l'équation sont des expressions où figurent une ou plusieurs variables, représentées par des lettres. Par extension, une équation conduit à un problème, qui consiste à pos ...  Lire la suite

ERGODIQUE THÉORIE

Écrit par :  Antoine BRUNEL

Ergodique vient du mot grec ἔργον qui signifie travail. C'est en effet d'un problème de mécanique que la théorie ergodique est issue. À l'origine se trouve une hypothèse de la théorie cinétique des gaz, audacieusement posée par L. Boltzmann en 1885, qui permettait aux physiciens de résoudre une difficulté liée à l'étude des systèmes mécaniques à u ...  Lire la suite

EXPONENTIELLE & LOGARITHME

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

Pour les constructeurs des premières tables, les logarithmes étaient avant tout un outil de calcul numérique ; mais leur importance n'a cessé de croître. Il suffira de feuilleter cette encyclopédie pour constater que, de nos jours, les logarithmes et les exponentielles interviennent dans tous les domaines de l'activité humaine, qu'il s'agisse de p ...  Lire la suite

FONCTION, mathématiques

Écrit par :  Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN

Depuis l'introduction en mathématique du mot « fonction » et de la notation y = f (x) par Gottfried Wilhelm Leibniz en 1692, à propos de parties de droites dépendant d'un point variable sur une courbe, cette notion, déjà présente implicitement dans la pensée de mathématiciens du xvii^e siècle comme Ren ...  Lire la suite

FONCTIONS ANALYTIQUES

Écrit par :  Jean DIEUDONNÉ

Depuis l'Antiquité, on connaît en substance la série géométrique suivante : Une des grandes découvertes qui jalonnèrent la formation du calcul infinitésimal au milieu du xvii^e siècle fut la possibilité de représenter les fonctions « usuelles » (logarithme, exponentielle, fonctions trigonométriques, etc.) par des dévelo ...  Lire la suite

FONCTIONS ANALYTIQUES (A.-L. Cauchy)

Écrit par :  Bernard PIRE

Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) a écrit 789 notes qui furent publiées pour la plupart aux Comptes rendus de l'Académie des sciences. Parmi les nombreux résultats importants qu’il a démontrés, ceux qui concernent les fonctions d'une variable complexe ont marqué un tournant décisif dans l'histoire de l'analyse mathématique. Dans un court ...  Lire la suite

FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions de plusieurs variables complexes

Écrit par :  André MARTINEAU, Henri SKODA

La notion de fonction holomorphe de plusieurs variables complexes est aussi ancienne que l'analyse complexe. Les problèmes les plus simples, qui font intervenir des relations algébriques ou analytiques ou des équations différentielles, introduisent nécessairement ces fonctions. Mais, à part quelques faits élémentaires, pendant très longtemps on ne ...  Lire la suite

FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions d'une variable complexe

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

On se propose, dans ce premier article, d'exposer, avec des démonstrations quasiment complètes, les résultats les plus élémentaires de la théorie des fonctions analytiques d'une variable complexe ; les deux derniers chapitres sont consacrés à quelques résultats sans démonstration. Historiquement, l'extension au cas complexe de nombreuses fonctions ...  Lire la suite

FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions elliptiques et modulaire

Écrit par :  Michel HERVÉ

Inaugurée par N. H. Abel et C. Jacobi, la théorie des fonctions elliptiques a été un sujet de prédilection pour les analystes pendant tout le xix^e siècle. Appliquées par B. Riemann et K. Weierstrass à l'étude des courbes algébriques dans le plan projectif complexe, ces fonctions sont à la base de la théorie plus générale des  ...  Lire la suite

FONCTIONS ANALYTIQUES - Représentation conforme

Écrit par :  Christian HOUZEL

La représentation conforme la plus anciennement connue est la projection stéréographique, inventée par les Grecs (Hipparque, Ptolémée). Les problèmes cartographiques conduisirent à la découverte d'autres applications conservant les angles d'un domaine sphérique sur un domaine plan, telle la projection de Mercator (xvi^e siècle). ...  Lire la suite

FONCTIONS REPRÉSENTATION & APPROXIMATION DES

Écrit par :  Jean-Louis OVAERT, Jean-Luc VERLEY

Il arrive très souvent que, dans les problèmes issus des mathématiques ou des autres sciences, les fonctions qui interviennent soient définies par des procédés qui ne permettent pas d'étudier de manière efficace leurs propriétés. C'est le cas des fonctions définies comme solutions d'équations fonctionnelles, d'équations différentielles ou intégral ...  Lire la suite

GAMMA FONCTION

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

Introduites pour la première fois comme nouvelles transcendantes par L. Euler, la fonction gamma et la fonction bêta, qui s'y ramène, sont les plus importantes « fonctions spéciales » étudiées, au fur et à mesure des besoins, depuis le xviii^e siècle. C'est ainsi que la fonction gamma intervient dans de nombreuses estimations as ...  Lire la suite

GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE CLASSIQUE

Écrit par :  Paulette LIBERMANN

L'histoire des courbes planes est intimement liée à l'histoire et aux développements du calcul infinitésimal, et les premiers résultats obtenus au xvii^e siècle sont directement issus de considérations géométriques et cinématiques (cf. calcul infinitésimal – Histoire). Les courbes dans l'espace à trois dimensions (dites ...  Lire la suite

HARMONIQUE ANALYSE

Écrit par :  René SPECTOR

Lorsqu'on fait vibrer, dans des conditions idéales, une corde de longueur l, fixée en ses extrémités d'abscisses 0 et l, l'équation aux dérivées partielles : est vérifiée, où u(x, t) est une fonction dont la valeur représente, à l'instant t, le déplacement transversal, par rapport à la position ...  Lire la suite

HILBERT ESPACE DE

Écrit par :  Lucien CHAMBADAL, Jean-Louis OVAERT

La théorie des espaces hilbertiens trouve son origine dans celle des développements de fonctions arbitraires en séries de fonctions orthogonales, lesquelles apparaissent le plus souvent comme fonctions propres de certains opérateurs différentiels linéaires (séries de Fourier, fonctions sphériques, théorie des oscillations de Sturm-Liouville). À l' ...  Lire la suite

INTÉGRALES ÉQUATIONS

Écrit par :  Michel HERVÉ, Universalis

Les premières équations intégrales furent obtenues par Daniel Bernoulli vers 1730 dans l'étude des oscillations d'une corde tendue (cf. analyse mathématique, chap. 6). Après l'introduction du noyau de Green, il fallut attendre les dernières années du xix^e siècle, avec les travaux de H. A. Schwarz, de H. Poincaré, de V. ...  Lire la suite

INTÉGRATION ET MESURE

Écrit par :  André REVUZ

La théorie de l'intégration joue en mathématique un rôle extrêmement important. C'est une théorie riche et complexe. Il ne sera pas question ici d'en donner une description exhaustive ni d'en aborder les assez redoutables aspects techniques. On s'efforcera de mettre en lumière les grandes idées simples qui y sont à l'œuvre et de montrer comment el ...  Lire la suite

INTRODUCTIO IN ANALYSIN INFINITORUM (L. Euler)

Écrit par :  Bernard PIRE

C'est à l'Académie des sciences de Berlin que Leonhard Euler (1707-1783) publie en 1748 le premier des trois grands traités didactiques où il expose sa conception du calcul différentiel et intégral. L'Introductio in analysin infinitorum met au premier plan le concept de fonction défini comme « une expression analytique composée d'une mani ...  Lire la suite

LE CALCUL DES FLUXIONS (I. Newton)

Écrit par :  Bernard PIRE

En octobre 1666, Isaac Newton (1642-1727) écrit Le Calcul des fluxions qui, sans être immédiatement publié, sera déterminant pour le développement du calcul différentiel. Il y définit le concept de fluxions. Newton décrit une particule parcourant une courbe à l'aide de deux quantités : la vitesse horizontale x' et la vitesse vert ...  Lire la suite

LEIBNIZ : CALCUL DIFFÉRENTIEL

Écrit par :  Bernard PIRE

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) publie en 1684 les détails de son calcul différentiel dans son traité Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus. Il y reprend ses découvertes antérieures. Il avait introduit la notation moderne d'une intégrale dès 1675, calculé les dérivées des fonctions usuelles en 1676 et démontré le ...  Lire la suite

LIMITE (mathématique)

Écrit par :  Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN

La notion mathématique de limite a été introduite en 1735 par le mathématicien anglais Benjamin Robins comme ce vers quoi tendent, sans jamais l'atteindre, certains rapports de quantités variables. Précisée en 1800 par le mathématicien et physicien allemand Carl Friedrich Gauss pour les suites de nombres réels, puis en 1823 par le mathématicien fr ...  Lire la suite

LIMITE NOTION DE

Écrit par :  Christian HOUZEL

La notion de limite fait son apparition dans un ouvrage du mathématicien anglais B. Robins intitulé A Discourse Concerning the Nature and Certainty of Sir Isaac Newton's Method of Fluxions and Prime and Ultimate Ratios (1735) ; c'est une réponse aux critiques formulées par le philosophe G. Berkeley à l'encontre du calcul infinitésimal dan ...  Lire la suite

MESURE, mathématique

Écrit par :  André WARUSFEL

Mesurer les objets concrets mathématisables fut l'un des premiers actes scientifiques conscients : il est d'usage de citer la redistribution, à des fins fiscales, des terres émergées après une crue du Nil, dans l'Égypte antique. Le premier niveau consiste à calculer des longueurs, d'abord d'intervalles de droites, puis de courbes comme le ...  Lire la suite

NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres p-adiques

Écrit par :  Christian HOUZEL

Dans le chapitre Analyse p-adiqueOn peut développer une théorie des fonctions analytiques de variables p-adiques en définissant de telles fonctions par des développements en séries entières convergentes (cf.  - Fonctions analytiques d'une variable complexe). Par exemple, la série exponentielle : converge dans le « disque ouvert » de  ...  Lire la suite

NOMBRES (THÉORIE DES) - Théorie analytique

Écrit par :  Jean DIEUDONNÉ

Ce qu'on appelle la « théorie analytique des nombres » ne peut pas être considéré comme une théorie mathématique au sens usuel qu'on donne à ces mots, c'est-à-dire un système organisé de définitions et de théorèmes généraux accompagné d'applications à des exemples importants. Il s'agit au contraire ici presque exclusivement de problèmes particulie ...  Lire la suite

NORMÉES ALGÈBRES

Écrit par :  Jean-Luc SAUVAGEOT, René SPECTOR

Au point de rencontre de deux types de structures, structures algébriques et structures topologiques, les algèbres normées jouent un rôle important dans de nombreux domaines de l'analyse mathématique. Développée à partir de 1940 environ, essentiellement par des mathématiciens soviétiques (I. M. Gelfand, M. A. Naimark, D. A. Raikov, G. E. Šylov), l ...  Lire la suite

NORMÉS ESPACES VECTORIELS

Écrit par :  Robert ROLLAND, Jean-Luc VERLEY

L'analyse fonctionnelle linéaire, en tant que théorie générale, s'est créée au début du xx^e siècle, autour des problèmes posés par les équations intégrales. Entre 1904 et 1906, D. Hilbert (1862-1943) est amené à étudier des développements en séries de fonctions orthogonales, ainsi que des formes quadratiques à une infinité de v ...  Lire la suite

NOTATION MATHÉMATIQUE

Écrit par :  Hans FREUDENTHAL

Dans le chapitre Les fonctionsL'emploi mathématique du terme de date de la correspondance de Leibniz avec Johann Bernoulli. Les auteurs sont conscients du fait que, parmi quelques variables, l'une peut être une fonction de l'autre et ils rendent, s'il est possible, cette dépendance explicite ; mais des signes de fonction y sont très rares (Johann Bernoulli, 1718 : ϕx, ...  Lire la suite

ONDELETTES

Écrit par :  Alexandre GROSSMANN, Bruno TORRESANI

Qu'y a-t-il de commun entre le stockage numérique des empreintes digitales effectué par le F.B.I., la compression des images pour la télévision haute définition et le téléphone vidéo, le stockage ou la transmission de résultats de mesures sismiques, l'analyse des grandes structures galactiques, la modélisation des cascades d'énergie dans des écoul ...  Lire la suite

OPTIMISATION & CONTRÔLE

Écrit par :  Ivar EKELAND

L'avènement du calcul différentiel, au xvii^e siècle, a permis de caractériser le minimum d'une fonction f par l'équation f′(x) = 0. On résolvait ainsi d'un coup une foule de problèmes pratiques, tout en soulevant de grandes questions théoriques : peut-on affirmer a priori l'existence d'un minimum ? L' ...  Lire la suite

ORTHOGONAUX POLYNÔMES

Écrit par :  Jean-Louis OVAERT

C'est à travers l'étude de certains problèmes d'analyse fonctionnelle (équations intégrales, séries de Fourier, problème de Sturm-Liouville et, plus généralement, problèmes aux limites dans les équations aux dérivées partielles) qu'est apparue la notion de système orthogonal de fonctions. Ces problèmes amènent à considérer des espaces hermitiens c ...  Lire la suite

POTENTIEL THÉORIE DU

Écrit par :  Arnaud de la PRADELLE

La théorie du potentiel, directement issue de l'électrostatique, est une source d'inspiration extrêmement riche en analyse. Si, au début du xix^e siècle, on connaissait déjà l'équation de Laplace, la fonction de Green et l'intégrale de Poisson dans la boule, ce n'est vraiment qu'avec C. F. Gauss (1840) que sont posés et résolus, ...  Lire la suite

RÉELS NOMBRES

Écrit par :  Jean DHOMBRES

Dans le chapitre Nombres et analyseLe langage des proportions, qui fait intervenir quatre éléments ou grandeurs, n'est guère propice à l'idée fonctionnelle, c'est-à-dire à la correspondance entre un élément et un autre. Aussi, en dehors des tables numériques à deux entrées, constate-t-on l'absence de représentations graphiques des variations de phénomène physique. Si l'on connaît u ...  Lire la suite

SÉRIES ET PRODUITS INFINIS

Écrit par :  Lucien CHAMBADAL

La notion de limite d'une suite est à la base de l'analyse. Le langage des séries, équivalent à celui des suites, s'est imposé dès le xvii^e siècle à propos du développement des fonctions en série entière. Cependant, les fondements rigoureux de la théorie des séries, reposant sur une définition des limites, remontent seulement a ...  Lire la suite

SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES

Écrit par :  Jean-Pierre KAHANE

Les séries trigonométriques se sont introduites au xviii^e et au début du xix^e siècle, en liaison avec certains problèmes de physique (mouvement des cordes vibrantes, propagation de la chaleur). Elles sont d'un usage courant en astronomie, en cristallographie, en optique. Mais c'est en mathématiques qu'elles ...  Lire la suite

SHIMURA-TANIYAMA-WEIL CONJECTURE DE

Écrit par :  Christophe BREUIL

« Toute courbe elliptique sur ℚ est modulaire » : la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil est devenue un théorème en 1999, mais l'appellation initiale est demeurée. Sa démonstration est due au mathématicien anglais Andrew Wiles et à ses continuateurs (cf. bibliographie : Wiles [1995] ; Taylor et Wiles [1995] ; Diamond [1996] ; Conrad, Diamond et Ta ...  Lire la suite

SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES, la théorie mathématique et ses applications

Écrit par :  Alain CHENCINER

De la topologie différentielle à la dynamique qualitative, en passant par la géométrie analytique et la topologie algébrique, les « singularités » ont bien des incarnations en mathématiques ; mais cela n'exclut pas une certaine unité : qu'il s'agisse des points où la dérivée d'une application n'est pas de rang maximal, des points où un espace anal ...  Lire la suite

SPECTRALE THÉORIE

Écrit par :  Lucien CHAMBADAL, Jean-Louis OVAERT

L'objet de la théorie spectrale est d'obtenir, pour certains endomorphismes d'un espace hilbertien, des formes réduites analogues aux formes canoniques de Jordan pour les endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie et aux formes diagonales pour les endomorphismes hermitiens d'un espace vectoriel hermitien de dimension finie. La théorie ...  Lire la suite

SYMBOLIQUE CALCUL

Écrit par :  Robert PALLU DE LA BARRIÈRE

Le calcul symbolique est né au xix^e siècle d'une succession de démarches heuristiques et il a été particulièrement développé par Heaviside pour l'étude des circuits électriques. Si l'on désigne par p la dérivation, p² désignera naturellement la double dérivation, 1/p l'intégration (encore f ...  Lire la suite

SYSTÈMES DYNAMIQUES DIFFÉRENTIABLES

Écrit par :  Alain CHENCINER

Sans doute née avec le mémoire que Poincaré écrivit en 1881 « sur les courbes définies par des équations différentielles », où l'étude quantitative (analytique) locale des équations différentielles dans le champ complexe est remplacée par leur étude qualitative (géométrique) globale dans le champ réel, la théorie des systèmes dynamiques a pour amb ...  Lire la suite

THÉORIE ANALYTIQUE DE LA CHALEUR (J. Fourier)

Écrit par :  Bernard PIRE

Les travaux de Joseph Fourier (1768-1830) sur la propagation de la chaleur, entrepris dès 1804 alors qu'il occupait le poste de préfet de l'Isère, présentés en 1811 dans un mémoire à l'Académie des sciences et rassemblés en 1822 dans le livre Théorie analytique de la chaleur, ont joué un rôle fondamental dans le développement de l'analyse ...  Lire la suite

THÉORIE DES DISTRIBUTIONS (L. Schwartz)

Écrit par :  Bernard PIRE

Professeur à l'université de Nancy, Laurent Schwartz (1915-2002) fonde la théorie mathématique des distributions dans un article intitulé « Généralisation de la notion de fonction, de dérivation, de transformation de Fourier et applications mathématiques et physiques ». Il donne une interprétation unifiée des nombreuses fonctions généralisées intr ...  Lire la suite

VARIATIONS CALCUL DES

Écrit par :  Claude GODBILLON

L'étude d'une fonction à valeurs réelles comporte en particulier la détermination de ses extrémums. C'est là un des objets du calcul différentiel classique lorsque la source de cette fonction est un espace numérique ; c'est l'objet de ce qu'Euler a appelé le calcul des variations lorsque cette source est un espace fonctionnel. On rencontr ...  Lire la suite

VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES

Écrit par :  Claude MORLET

On a l'habitude de considérer que la notion de variété différentiable est due à B. Riemann. C'est en effet Riemann qui proposa d'appliquer à l'étude des ensembles d'objets non géométriques les méthodes qui avaient été inventées pour les courbes et les surfaces. Cette idée se révéla extrêmement féconde ; elle fut longuement développée par les géomè ...  Lire la suite

ZÊTA FONCTION

Écrit par :  Jean DIEUDONNÉ

Issues d'un calcul formel d'Euler, la « fonction zêta » de Riemann et les « fonctions L » de Dirichlet ont été jusqu'ici les outils analytiques les plus puissants pour étudier la répartition et les propriétés des nombres premiers (cf. théorie desnombres - Théorie analytique des nombres). Mais ces fonctions sont elles-mêmes devenues l'obje ...  Lire la suite