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CANTOR GEORG (1845-1918)

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Georg Cantor

Source de nombreux paradoxes depuis l'Antiquité, l'infini a toujours été un sujet de préoccupation et d'inquiétude pour les mathématiciens qui cherchaient à l'appréhender. La nécessité d'asseoir le calcul infinitésimal sur des bases solides avait conduit les mathématiciens de la première moitié du xixe siècle à étudier avec précision la notion de limite, mais l'étude de l'infini mathématique n'était pas abordée de front, puisqu'il intervenait seulement comme une possibilité de variation de certaines quantités finies.

À l'occasion de recherches fines d'analyse, Cantor étudia et compara directement des ensembles infinis, introduisant à cet effet de nouveaux concepts qui constituaient une véritable arithmétique de l'infini : outil puissant mais qui, sous sa forme initiale, soulevait de nombreuses difficultés logiques, la théorie de Cantor allait lui susciter de nombreux opposants ; les paradoxes apparents auxquels elle conduit ont provoqué une véritable crise des mathématiques, la « crise des fondements », qui a conduit à une profonde rénovation de la logique mathématique.

D'autres articles de cette encyclopédie (cf. théorie des ensembles, ensembles ordonnés) proposent un exposé de ces théories sous leur forme contemporaine ; on se contentera ici, en suivant de très près l'analyse de J. Cavaillès, de préciser quelle fut chez Cantor la genèse de la théorie des ensembles.

1.  Les étapes de la création cantorienne

Georg Cantor est né à Saint-Pétersbourg, d'une famille de riches négociants d'origine israélite ; en 1856, la famille Cantor s'établit définitivement en Allemagne, à Francfort-sur-le-Main. G. Cantor termine ses études à Wiesbaden ; il étudie ensuite les mathématiques à l'université de Zurich, puis de Berlin où il est élève de Kummer, Kronecker et Weierstrass. En 1867, il soutient une thèse de théorie des nombres, mais s'oriente vite, sous l'influence de Weierstrass, vers l'analyse et plus particulièrement vers l'étude des séries trigonométriques. Un des problèmes essent […]

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CANTOR : THÉORIE DES ENSEMBLES

Écrit par :  Bernard PIRE

Georg Cantor (1845-1918), professeur de mathématiques à l'université de Halle (Allemagne), publie en 1874 dans le Journal de Crelle l'article fondateur de la théorie des ensembles. Après quelques travaux en théorie des nombres et une rencontre décisive avec le mathématicien Richard Dedekind (1831-1916), Cantor s'était consacré à l'étude… Lire la suite
ANALYSE MATHÉMATIQUE

Écrit par :  Jean DIEUDONNÉ

Dans le chapitre "L'avènement de la théorie des ensembles et de la topologie"  : …  Ce doute fut levé par les travaux à peu près simultanés de Weierstrass, de Méray, de *Cantor et de Dedekind, qui, par divers procédés, définirent les nombres réels à partir des nombres rationnels, au moyen de l'opération que nous appelons maintenant complétion, assurant donc la non-contradiction de l'analyse, pourvu que soit admise celle de l'… Lire la suite
CONTINU & DISCRET

Écrit par :  Jean-Michel SALANSKIS

Dans le chapitre "Signification logico-mathématique de l'opposition"  : …  au schéma élémentaire suivant : L'opposition quantitative de ces deux ensembles fut révélée par *Cantor, elle est en quelque sorte le point de départ de la théorie du transfini, la première illustration du sens qu'il y a à comparer les infinis au moyen de la notion d'équipotence tirée de la théorie des ensembles. L'ensemble Z a la même… Lire la suite
CONTINU HYPOTHÈSE DU

Écrit par :  Patrick DEHORNOY

Dans le chapitre "Une affaire terminée ?"  : …  *Cantor a fondé la théorie des ensembles à la fin du xixe siècle en montrant qu'il existe plus de nombres réels que d'entiers, et donc des infinis de tailles différentes. Le problème du continu est la question : toute partie infinie de ℝ est-elle en bijection avec ℕ ou ℝ ? Même si l'intuition suggère que ℕ est beaucoup… Lire la suite
DÉNOMBREMENT IDÉE DE

Écrit par :  Roger DAVAL

Dans le chapitre "Le dénombrement du point de vue empirique"  : …  concept théorique. Le glissement à la notion d'ensemble est en effet facile. Si, avec *Cantor, on appelle ensemble le « groupement en un tout d'objets bien définis, et discernables de notre perception ou de notre entendement, que nous appelons les éléments de l'ensemble », les deux notions permettant de caractériser un… Lire la suite
ENSEMBLES (THÉORIE DES) - Théorie axiomatique

Écrit par :  Jacques STERN

Dans le chapitre "Ordinaux et cardinaux. Axiome du choix"  : …  explicite la notion d'itération illimitée d'un même procédé, qui fut à la base des découvertes de *Cantor. Elle permet également de résoudre les deux problèmes suivants.

(A) Trouver une relation fonctionnelle associant à chaque ensemble bien ordonné x un ensemble hx de façon que deux ensembles bien… Lire la suite
GÖDEL KURT (1906-1978)

Écrit par :  Daniel ANDLER

Dans le chapitre "L'œuvre"  : …  il contribua, que Gödel fit sa troisième grande découverte, en apportant à une célèbre question de *Cantor, reprise par Hilbert, une surprenante réponse, qui constituait le premier résultat de non-contradiction relative. Si la théorie des ensembles est cohérente, cette théorie enrichie de l'axiome du choix et de l'hypothèse généralisée du… Lire la suite
HILBERT DAVID (1862-1943)

Écrit par :  Rüdiger INHETVEENJean-Michel KANTORChristian THIEL

Dans le chapitre "Problème 1 : hypothèse du continu"  : …  *Cantor ayant démontré que le cardinal de l'ensemble des réels R excède celui de l'ensemble des entiers N, la question se pose de savoir si entre ℵ0 (cardinal de N) et 20 (cardinal de R, dont on voit facilement qu'il égale celui de l'ensemble des parties de NLire la suite
INFINI, mathématiques

Écrit par :  Jean Toussaint DESANTI

Dans le chapitre "Cantor et le « transfini »"  : …  En 1870, *Georg Cantor commence sa carrière mathématique en s'attaquant, après B. Riemann et H. Hankel, à l'étude des critères de convergence des séries de Fourier. Depuis longtemps déjà, l'infini mathématique avait cessé d'être une source d'inquiétudes métaphysiques : A. Cauchy, B. Bolzano et K. Weierstrass l'avaient pour ainsi dire réduit à l'état… Lire la suite
MATHÉMATIQUES FONDEMENTS DES

Écrit par :  Jean Toussaint DESANTI

Dans le chapitre "L'œuvre de Bolzano"  : …  , concernaient le statut des théories mathématiques. Au cœur de ces problèmes se posait la question de la relation des mathématiques à une logique qu'il importait de produire. Avec Bolzano, la question des fondements commence à émerger de sa préhistoire. Elle en émerge complètement, au début de notre siècle, après Gottlob Frege et *Georg Cantor… Lire la suite
NUMÉRIQUE CALCUL

Écrit par :  Jean-Louis OVAERT

Dans le chapitre "Approximation des fonctions"  : …  (1829) et de Riemann (1854) sur l'intégration et sur les séries trigonométriques, et même ceux de *Cantor sur les ensembles de points (1871) y puisent leur origine. Bien d'autres secteurs mathématiques mettent en jeu de manière essentielle le calcul numérique. Citons par exemple la résolution des systèmes linéaires, l'inversion des matrices, la… Lire la suite
RÉALISME, mathématique

Écrit par :  Hourya BENIS-SINACEUR

Dans le chapitre "Le réalisme et l'infini"  : …  autre côté, en revanche, l'infiniment grand en acte s'inscrit dans une vision franchement réaliste. *Bernard Bolzano (1781-1848) et Georg Cantor (1845-1918), affirment la réalité ontologique des ensembles infinis en s'appuyant d'abord sur le fait que le mathématicien peut les concevoir sans contradiction. Car il suffit de disposer d'un « … Lire la suite
RÉELS NOMBRES

Écrit par :  Jean DHOMBRES

Dans le chapitre "Classification des nombres réels"  : …  3). Hermite, prouve en 1873, la transcendance de e et Lindemann, en 1882, celle de π. *Cantor, par comparaison des infinis, établit a priori l'existence de « beaucoup » de nombres transcendants (cf. nombres transcendants). Vers la même époque, Dedekind lance la théorie des nombres algébriques. D'autres classifications des… Lire la suite
SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES

Écrit par :  Jean-Pierre KAHANE

Dans le chapitre "Aperçu historique"  : …   des ensembles aurait pu naître autrement. Il se trouve qu'elle aussi a été fondée, par G. *Cantor, pour poser et résoudre un problème sur les séries trigonométriques. Il s'agit maintenant de séries (1) qui ne sont pas nécessairement séries de Fourier. Si deux telles séries convergent en tout point vers la même fonction, sont-elles… Lire la suite
TRANSCENDANTS NOMBRES

Écrit par :  Jean DIEUDONNÉ

Dans le chapitre "L'existence des nombres transcendants"  : …  approximation » des nombres irrationnels algébriques par les nombres rationnels. En 1873, G. *Cantor déduisit l'existence des nombres transcendants de son théorème prouvant que l'ensemble de tous les nombres réels est non dénombrable : il suffit, en effet, de prouver que l'ensemble A de tous les nombres algébriques est dénombrable. Pour cela… Lire la suite

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