Source de nombreux paradoxes depuis l'Antiquité, l'infini a toujours été un sujet de préoccupation et d'inquiétude pour les mathématiciens qui cherchaient à l'appréhender. La nécessité d'asseoir le calcul infinitésimal sur des bases solides avait conduit les mathématiciens de la première moitié du xixe siècle à étudier avec précision la notion de limite, mais l'étude de l'infini mathématique n'était pas abordée de front, puisqu'il intervenait seulement comme une possibilité de variation de certaines quantités finies.
À l'occasion de recherches fines d'analyse, Cantor étudia et compara directement des ensembles infinis, introduisant à cet effet de nouveaux concepts qui constituaient une véritable arithmétique de l'infini : outil puissant mais qui, sous sa forme initiale, soulevait de nombreuses difficultés logiques, la théorie de Cantor allait lui susciter de nombreux opposants ; les paradoxes apparents auxquels elle conduit ont provoqué une véritable crise des mathématiques, la « crise des fondements », qui a conduit à une profonde rénovation de la logique mathématique.
D'autres articles de cette encyclopédie (cf. théorie des ensembles, ensembles ordonnés) proposent un exposé de ces théories sous leur forme contemporaine ; on se contentera ici, en suivant de très près l'analyse de J. Cavaillès, de préciser quelle fut chez Cantor la genèse de la théorie des ensembles.
1. Les étapes de la création cantorienne
Georg Cantor est né à Saint-Pétersbourg, d'une famille de riches négociants d'origine israélite ; en 1856, la famille Cantor s'établit définitivement en Allemagne, à Francfort-sur-le-Main. G. Cantor termine ses études à Wiesbaden ; il étudie ensuite les mathématiques à l'université de Zurich, puis de Berlin où il est élève de Kummer, Kronecker et Weierstrass. En 1867, il soutient une thèse de théorie des nombres, mais s'oriente vite, sous l'influence de Weierstrass, vers l'analyse et plus particulièrement vers l'étude des séries trigonométriques. Un des problèmes essent […]
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