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CANTOR GEORG (1845-1918)

Source de nombreux paradoxes depuis l'Antiquité, l'infini a toujours été un sujet de préoccupation et d'inquiétude pour les mathématiciens qui cherchaient à l'appréhender. La nécessité d'asseoir le calcul infinitésimal sur des bases solides avait conduit les mathématiciens de la première moitié du xixe siècle à étudier avec précision la notion de limite, mais l'étude de l'infini mathématique n'était pas abordée de front, puisqu'il intervenait seulement comme une possibilité de variation de certaines quantités finies.

À l'occasion de recherches fines d'analyse, Cantor étudia et compara directement des ensembles infinis, introduisant à cet effet de nouveaux concepts qui constituaient une véritable arithmétique de l'infini : outil puissant mais qui, sous sa forme initiale, soulevait de nombreuses difficultés logiques, la théorie de Cantor allait lui susciter de nombreux opposants ; les paradoxes apparents auxquels elle conduit ont provoqué une véritable crise des mathématiques, la « crise des fondements », qui a conduit à une profonde rénovation de la logique mathématique.

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CANTOR : THÉORIE DES ENSEMBLES

Auteur :  Bernard PIRE

Georg Cantor (1845-1918), professeur de mathématiques à l'université de Halle (Allemagne), publie en 1874 dans le Journal de Crelle l'article fondateur de la théorie des ensembles. Après quelques travaux en théorie des nombres et une rencontre décisive avec le mathématicien Richard Dedekind (1831-1916), Cantor s'était consacré à l'étude d… Lire la suite
ANALYSE MATHÉMATIQUE

Auteur :  Jean DIEUDONNÉ

Dans le chapitre "L'avènement de la théorie des ensembles et de la topologie" : …  Ce doute fut levé par les travaux à peu près simultanés de Weierstrass, de Méray, de *Cantor et de Dedekind, qui, par divers procédés, définirent les nombres réels à partir des nombres rationnels, au moyen de l'opération que nous appelons maintenant complétion, assurant donc la non-contradiction de l'analyse, pourvu que soit admise celle de l'… Lire la suite
CONTINU & DISCRET

Auteur :  Jean-Michel SALANSKIS

Dans le chapitre "Signification logico-mathématique de l'opposition" : …  au schéma élémentaire suivant : L'opposition quantitative de ces deux ensembles fut révélée par *Cantor, elle est en quelque sorte le point de départ de la théorie du transfini, la première illustration du sens qu'il y a à comparer les infinis au moyen de la notion d'équipotence tirée de la théorie des ensembles. L'ensemble Z a la même… Lire la suite
CONTINU HYPOTHÈSE DU

Auteur :  Patrick DEHORNOY

Dans le chapitre "Une affaire terminée ?" : …  *Cantor a fondé la théorie des ensembles à la fin du xixe siècle en montrant qu'il existe plus de nombres réels que d'entiers, et donc des infinis de tailles différentes. Le problème du continu est la question : toute partie infinie de ℝ est-elle en bijection avec ℕ ou ℝ ? Même si l'intuition suggère que ℕ est beaucoup… Lire la suite
DÉNOMBREMENT IDÉE DE

Auteur :  Roger DAVAL

Dans le chapitre "Le dénombrement du point de vue empirique" : …  concept théorique. Le glissement à la notion d'ensemble est en effet facile. Si, avec *Cantor, on appelle ensemble le « groupement en un tout d'objets bien définis, et discernables de notre perception ou de notre entendement, que nous appelons les éléments de l'ensemble », les deux notions permettant de caractériser un… Lire la suite

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Bibliographie

G. Cantor, Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts, Springer-Verlag, Berlin, 1980

Sur les fondements de la théorie des ensembles transfinis, Jacques Gabay, Paris, 2005.

J. Cavaillès, Philosophie mathématique, Hermann, Paris, 1971

J. W. Dauben, Georg Cantor, His Mathematics and Philosophy of Infinite, Princeton Univ. Press, 1990

I. Grattan-Guinness, The Search of Mathematical Roots 1870-1940 : Logics, Set Theories and the Foundations of Mathematics from Cantor through Russell to Gödel, Princeton Univ. Press, 2000

M. Tiles, The Philosophy of Set Theory : an Historical Introduction to Cantor's Paradise, Blackwell, Basil, Cambridge (Mass.), 1988.

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