Source de nombreux paradoxes depuis l'Antiquité, l'infini a toujours été un sujet de préoccupation et d'inquiétude pour les mathématiciens qui cherchaient à l'appréhender. La nécessité d'asseoir le calcul infinitésimal sur des bases solides avait conduit les mathématiciens de la première moitié du xixe siècle à étudier avec précision la notion de limite, mais l'étude de l'infini mathématique n'était pas abordée de front, puisqu'il intervenait seulement comme une possibilité de variation de certaines quantités finies.
À l'occasion de recherches fines d'analyse, Cantor étudia et compara directement des ensembles infinis, introduisant à cet effet de nouveaux concepts qui constituaient une véritable arithmétique de l'infini : outil puissant mais qui, sous sa forme initiale, soulevait de nombreuses difficultés logiques, la théorie de Cantor allait lui susciter de nombreux opposants ; les paradoxes apparents auxquels elle conduit ont provoqué une véritable crise des mathématiques, la « crise des fondements », qui a conduit à une profonde rénovation de la logique mathématique.
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ANALYSE MATHÉMATIQUE
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concept théorique. Le glissement à la notion d'ensemble est en effet facile. Si, avec *Cantor, on appelle ensemble le « groupement en un tout d'objets bien définis, et discernables de notre perception ou de notre entendement, que nous appelons les éléments de l'ensemble », les deux notions permettant de caractériser un…
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Bibliographie
G. Cantor, Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts, Springer-Verlag, Berlin, 1980
Sur les fondements de la théorie des ensembles transfinis, Jacques Gabay, Paris, 2005.
J. Cavaillès, Philosophie mathématique, Hermann, Paris, 1971
J. W. Dauben, Georg Cantor, His Mathematics and Philosophy of Infinite, Princeton Univ. Press, 1990
I. Grattan-Guinness, The Search of Mathematical Roots 1870-1940 : Logics, Set Theories and the Foundations of Mathematics from Cantor through Russell to Gödel, Princeton Univ. Press, 2000
M. Tiles, The Philosophy of Set Theory : an Historical Introduction to Cantor's Paradise, Blackwell, Basil, Cambridge (Mass.), 1988.
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