NOMBRES COMPLEXES

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Forme trigonométrique

Trigonométrie

Les nombres complexes de module 1 peuvent être caractérisés comme les nombres complexes ≠ 0 dont le conjugué et l'inverse sont égaux ; on vérifie facilement qu'ils forment un groupe multiplicatif que nous désignerons par U. Les images des éléments de U sont les points du cercle de centre O et de rayon 1 (appelé souvent « cercle trigonométrique ») ; l'application qui au nombre complexe u ∈ U, d'image M, fait correspondre l'angle A(u) du demi-axe réel positif avec la demi-droite OM est un isomorphisme du groupe multiplicatif U sur le groupe additif des angles orientés de demi-droites et pourrait d'ailleurs servir à donner une définition rigoureuse de ces angles. L'étude du groupe U constitue ce qu'on appelle traditionnellement la trigonométrie ; l'outil pour définir de façon correcte les fonctions trigonométriques est la fonction exponentielle complexe.

Pour tout nombre réel t, le nombre complexe eit appartient à U. En effet, on voit facilement sur le développement en série de ez que le conjugué de ez est e pour tout nombre complexe z ; on a donc, en utilisant aussi (*),

la formule (*) montre aussi que l'on a :
ce qui exprime que l'application qui au nombre réel t associe le nombre complexe eit ∈ U est un homomorphisme du groupe additif R sur le groupe multiplicatif U.

Par définition, on appelle cos t et sin t respectivement les parties réelle et imaginaire de eit, soit :

puisque |eit| = 1, on a cos2t + sin2t = 1 pour tout nombre réel t.

L'étude de eit montre alors qu'il existe un nombre réel π > 0 tel que eiπ/2 = i et tel que l'application qui à t associe eit soit une bijection de l'intervalle [0, 2 π[ sur U. Puisque, d'après (*) :

on en déduit, toujours d'après (*), que la fonction eit est périodique de période 2 π. Ainsi, tout nombre complexe u de module 1 s'écrit sous la forme :
t est un nombre réel déterminé à 2 kπ près, k entier relatif ; cela revient à dire que si x et y sont deux nombres réels tels que x2 + y2 = 1, il existe un nombre réel t, défini à 2 kπ près, tel que x = cos t et y = sin t. La propriété (**) montre, d'autre [...]


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Théorie géométrique

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Racines 6es de 1

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Écrit par :

  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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Pour citer l’article

Jean-Luc VERLEY, « NOMBRES COMPLEXES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 22 janvier 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-complexes/