CORPS, mathématiques

La structure de corps n'est en fait qu'un cas particulier de la structure plus générale d'anneau ; en plus des axiomes généraux, on stipule que le groupe multiplicatif des éléments inversibles est le complémentaire de 0. Les corps sont donc les domaines dans lesquels les opérations habituelles du calcul sont valables, y compris la division par un élément non nul. La terminologie habituelle sous-entend la commutativité de la multiplication, mais il s'introduit de manière naturelle des corps où la multiplication n'est pas commutative (cf. Quaternions, in anneaux et algèbres, chap. 2 et infra, chap. 3). Du point de vue arithmétique, l'étude d'un corps commutatif se caractérise par l'absence d'idéaux non triviaux.

On se limitera ici à la théorie proprement algébrique des corps, mais on rencontre aussi des corps munis de structures additionnelles compatibles avec la structure de corps : les corps ordonnés (cf. nombres réels), les corps topologiques et les corps valués (cf. théorie des nombres - Nombres p-adiques).

Un sous-ensemble K d'un corps L qui est un corps pour l'addition et la multiplication induites est appelé un sous-corps de L. Pour ne prendre que des exemples bien connus, les nombres rationnels forment un sous-corps Q du corps R des nombres réels, qui est lui-même un sous-corps du corps C des nombres complexes.

Si K apparaît comme sous-corps d'un corps L, on dit aussi que L est une extension de K. On peut alors considérer L comme un espace vectoriel à gauche sur K, l'opération externe n'étant autre que la multiplication à gauche des éléments de L par les éléments de K. Si cet espace vectoriel L est de dimension finie n sur K, on dit que L est une extension finie de K ; le nombre n s'appelle le degré de L sur K, et on le note [L : K]. Si M est une extension finie de L, c'est une extension finie de K et on a :

Un homomorphisme f d'un corps K dans un corps L est un homomorphisme d'anneau, c'est-à-dire qui respecte les deux lois additive et multiplicative, avec la condition importante f (1) = 1. Un tel homomorphisme est nécessairement injectif car tout x ≠ 0 a un inverse x^-1, d'où f (1) = f (xx^-1) = f (x)f (x)^-1 = 1, d'où f (x) ≠ 0 ; ainsi f identifie K à un sous-corps K′ = f (K) de L et réalise ainsi L comme une extension de K. Si cette injection est une bijection, f est un isomorphisme. Les isomorphismes d'un corps K sur lui-même, ou automorphismes du corps K, jouent un rôle particulièrement important dans l'étude de la structure du corps (cf. Théorie de Galois).

Exemples

Suffisamment « rigides » pour être maniés et étudiés précisément, les corps constituent à la fois un modèle et un outil qui interviennent dans de nombreux domaines des mathématiques et dans des questions, même relativement élémentaires, de géométrie algébrique, analytique ou projective ou de théorie des nombres. Voici quelques exemples.

Caractéristique d'un corps et corps finis

L'intersection d'une famille de sous-corps d'un corps K est encore un corps. Considérant en particulier la famille de tous les sous-corps de K, on obtient le plus petit sous-corps de K, appelé sous-corps premier K₀ de K. Notant n.1 la somme de n exemplaires de 1, pour tout entier naturel n, on définit la caractéristique (cf. anneaux et algèbres, chap. 3).

Si n.1 ≠ 0 pour n ≠ 0, on dit que K est de caractéristique nulle. Les n.1 et − (n.1) pour n ∈ N forment donc un sous-anneau de K isomorphe à l'anneau Z des entiers relatifs et le corps K₀ est isomorphe au corps Q des nombres rationnels. Le corps K est donc une extension du corps des nombres rationnels.

Dans le cas contraire, la caractéristique de K est le plus petit entier strictement positif tel que p.1 = 0. C'est un nombre premier et le corps K₀ est alors isomorphe au corps fini F_p = Z/pZ des entiers relatifs modulo p (cf. anneaux et algèbres, chap. 3). Ainsi, tout corps de caractéristique p est une extension du corps F_p et deux corps de caractéristiques différentes ne peuvent être extension l'un de l'autre.

Soit K un corps fini. Un théorème dû à J. H. M. Wedderburn affirme qu'un tel corps est nécessairement commutatif. La caractéristique de K est nécessairement un nombre premier p et K est une extension finie du corps premier F_p. Si n = [K : F_p], alors K est isomorphe à (F_p)ⁿ comme espace vectoriel sur F_p et il a donc pⁿ éléments. On verra ci-d [...]

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