NOMBRES COMPLEXES

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Théorie géométrique

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Racines 6es de 1

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Le corps des nombres complexes

Construction

Par définition, un nombre complexe sera un couple z = (xy) de deux nombres réels ; si z = (xy) et z′ = (x′, y′) sont deux nombres complexes, on appelle alors somme et produit de ces deux nombres complexes les nombres complexes :

Il est alors facile de vérifier que, pour ces deux opérations, l'ensemble des couples de nombres réels est un corps, le corps C des nombres complexes ; par exemple, si z = (xy) ≠ (0, 0), son inverse est le nombre complexe :

aussi noté 1/z.

Il est aussi souvent commode de représenter géométriquement le nombre complexe z = (xy) par le point M de coordonnées (x, y) dans le plan muni d'un système d'axes de coordonnées orthonormé ; M s'appelle l'image de z et il est clair que tout point M du plan est l'image d'un unique nombre complexe appelé affixe de M.

Les nombres complexes de la forme (x, 0) forment un sous-corps de C qui est isomorphe au corps R des nombres réels par l'application qui à (x, 0) fait correspondre x ; dans la suite, nous identifierons donc le nombre complexe (x, 0) au nombre réel x, ce qui fait apparaître R comme un sous-corps de C. Parmi les nombres complexes, les nombres réels ont donc pour images les points de l'axe Ox, appelé pour cette raison axe réel ; remarquons que si a est un nombre réel, le produit de a et du nombre complexe z = (xy) est simplement az = (axay).

Le nombre complexe i = (0,1) vérifie i2 = − 1, et tout nombre complexe z = (xy) peut s'écrire de manière unique z = x + iy, pour x et y réels ; nous adoptons désormais cette écriture, dite cartésienne, pour tout nombre complexe. Les nombres réels x et y s'appellent respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de z et on note :

Les nombres complexes écrits sous forme cartésienne satisfont aux règles usuelles du calcul élémentaire, en tenant compte du fait que i2 = − 1 ; par exemple :

ce qui redonne la formule ci-dessus du produit. Les nombres complexes non nuls de la forme iy∈ R, ont pour carré le nombre réel négatif − y2 ; pour cette raison, ils sont dits imaginaires purs et l'axe Oy est appelé l [...]

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Écrit par :

  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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Pour citer l’article

Jean-Luc VERLEY, « NOMBRES COMPLEXES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 02 juillet 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-complexes/