GÉOMÉTRIE
La géométrie projective
Au sens moderne du terme, on entend par géométrie projective l'étude des propriétés des figures qui se conservent par transformation homographique. Ce point de vue général ne s'est dégagé que lentement, par élargissement de conceptions plus particulières et par une clarification qui a eu notamment à distinguer les propriétés projectives des figures de leurs propriétés métriques. La géométrie projective a joué un rôle majeur dans l'évolution de la conception de la géométrie. Elle fut le principal facteur du mouvement d'idées qui, au cours du xixe siècle, a progressivement rapproché les diverses géométries et a donné à la notion de transformation une place centrale dans la géométrie.
Le rapport anharmonique chez les Grecs
Dans les mathématiques grecques, on ne rencontre pas à proprement parler de géométrie projective, essentiellement parce que la notion de transformation des figures n'y apparaît pas, même pas la projection centrale que semble suggérer pourtant très naturellement la considération des cônes et de leurs intersections par des plans qui engendrent les coniques. En revanche, on trouve des notions et des théorèmes qu'on rattache maintenant à la géométrie projective. Principalement, la définition du rapport anharmonique, dit aujourd'hui birapport, de quatre points alignés A, B, C, D, soit :
La perspective à la Renaissance
En Europe, dès le xve siècle, les artistes, peintres et graveurs, s'intéressent surtout à la représentation sur un plan des figures de l'espace à partir du point de vue constitué par l'œil. Ils sont ainsi amenés à l'étude de la projection centrale, et, en particulier, à la considération du point de fuite qui représente, sur le plan des projections, le point à l'infini de droites parallèles perpendiculaires à ce plan. Il faut signaler les traités de perspective de Jean Pélerin (1505) et d'Albert Dürer (1525). Au xve siècle, les architectes, tels que Filippo Brunelleschi et Leon Battista Alberti, contribuent aussi au développement de la perspective pratique. Des considérations de perspective se rencontrent également dans la gnomonique (art des cadrans solaires) et dans la stéréotomie ou taille des pierres. Plus tard, la perspective est développée pour les besoins des fortifications et de la « scénographie ». Mais elle demeurait encore au début du xviie siècle une discipline sans rapport avec la science géométrique. C'est Desargues qui, le premier, rapprochera ces deux ordres de recherches.
Desargues et Pascal
Le Français Gérard Desargues (1593-1662), ingénieur et architecte, appartient au milieu des praticiens. Il a été en rapport avec les milieux savants de l'époque. Son souci d'une rationalisation et d'une simplification de la perspective par la mise en lumière de nouvelles méthodes géométriques[...]
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Écrit par
- François RUSSO : ancien élève de l'École polytechnique, docteur en droit, conseiller à l'U.N.E.S.C.O.
Classification
Pour citer cet article
François RUSSO. GÉOMÉTRIE [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )
Médias
Pythagore
Hulton Archive/ Getty Images
Euclide - Alexandrie (Égypte)
Hulton Archive/ Getty Images
Coniques
Planeta Actimedia S.A.© Encyclopædia Universalis France pour la version française.
Autres références
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PRIX ABEL 2020
- Écrit par Jean-François QUINT
- 1 824 mots
- 2 médias
Le prix Abel 2020 a été attribué conjointement à Hillel Furstenberg et Gregory Margulis « pour l'utilisation visionnaire de méthodes issues de la théorie des probabilités et de celles des systèmes dynamiques en théorie des groupes, théorie des nombres et combinatoire ».
Hillel...
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ALEXANDRIE ÉCOLE MATHÉMATIQUE D'
- Écrit par Jean ITARD
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...ère, il traite d'un domaine très stable à travers les âges et correspond, à peu de choses près, à ce qui était déjà enseigné au iiie siècle avant J.-C. Le fonds en est constitué par les livres géométriques des Éléments d'Euclide, accrus des résultats obtenus par Archimède. Mais il vise plus à l'efficacité... -
ALGÈBRE
- Écrit par Jean-Luc VERLEY
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C'est à Jordan que remonte la première étude de groupes contenant une infinité d'éléments, notion qui allait prendre une importance considérable durant la deuxième moitié du xixe siècle. En liaison avec le renouveau des études géométriques et les préoccupations axiomatiques de cette... -
APERÇU HISTORIQUE SUR L'ORIGINE ET LE DÉVELOPPEMENT DES MÉTHODES EN GÉOMÉTRIE (M. Chasles)
- Écrit par Bernard PIRE
- 189 mots
L'apport de Michel Chasles (1793-1880) en géométrie est caractéristique du fécond débat entre les diverses conceptions défendues par les mathématiciens français du xixe siècle. Dans toutes ses recherches et son enseignement, Chasles a développé la géométrie projective et contribué...
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Voir aussi
- PROJECTION, mathématiques
- EUCLIDE POSTULAT D'
- BIRAPPORT
- COORDONNÉES, mathématiques
- ERLANGEN PROGRAMME D'
- GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE
- GÉOMÉTRIE PROJECTIVE
- INVOLUTION, mathématiques
- HOMOGRAPHIE
- GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNES
- TRANSFORMATIONS GÉOMÉTRIQUES
- SPHÈRE
- POSTULAT
- MENELAÜS THÉORÈME DE
- AXIOME
- HOMOLOGIE
- MATHÉMATIQUES HISTOIRE DES
- GROUPE DE TRANSFORMATIONS
- CONJUGUÉS HARMONIQUES
- TRANSLATION, mathématiques
- ROTATION, mathématiques
