GÉOMÉTRIE

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La géométrie projective

Au sens moderne du terme, on entend par géométrie projective l'étude des propriétés des figures qui se conservent par transformation homographique. Ce point de vue général ne s'est dégagé que lentement, par élargissement de conceptions plus particulières et par une clarification qui a eu notamment à distinguer les propriétés projectives des figures de leurs propriétés métriques. La géométrie projective a joué un rôle majeur dans l'évolution de la conception de la géométrie. Elle fut le principal facteur du mouvement d'idées qui, au cours du xixe siècle, a progressivement rapproché les diverses géométries et a donné à la notion de transformation une place centrale dans la géométrie.

Le rapport anharmonique chez les Grecs

Dans les mathématiques grecques, on ne rencontre pas à proprement parler de géométrie projective, essentiellement parce que la notion de transformation des figures n'y apparaît pas, même pas la projection centrale que semble suggérer pourtant très naturellement la considération des cônes et de leurs intersections par des plans qui engendrent les coniques. En revanche, on trouve des notions et des théorèmes qu'on rattache maintenant à la géométrie projective. Principalement, la définition du rapport anharmonique, dit aujourd'hui birapport, de quatre points alignés A, B, C, D, soit :

et la démonstration de la conservation de ce rapport pour les points d'intersection de toute transversale coupant quatre droites concourantes. Les Grecs se sont plus spécialement intéressés au rapport harmonique, cas particulier où le rapport anharmonique a pour valeur – 1. Ils le rencontraient notamment dans l'étude des coniques, puisque, sur une droite quelconque passant par un point donné, ce point est conjugué harmonique de l'intersection de la droite joignant les points de contact des deux tangentes menées du point, par rapport aux deux points d'intersection de la droite avec la conique. Ces considérations se trouvent dans les Coniques d'Apollonios et dans la Collection mathématique de Pappus d'Alexandrie (iie siècle apr. J.-C.). Il faut aussi mentionner, comme se rattachant à la géométrie projective, un certain nombre de théorèmes sur les segments déterminés par des transversales à des triangles ou à des quadrilatères, principalement le théorème de Menelaüs déjà énoncé.

La perspective à la Renaissance

En Europe, dès le xve siècle, les artistes, peintres et graveurs, s'intéressent surtout à la représentation sur un plan des figures de l'espace à partir du point de vue constitué par l'œil. Ils sont ainsi amenés à l'étude de la projection centrale, et, en particulier, à la considération du point de fuite qui représente, sur le plan des projections, le point à l'infini de droites parallèles perpendiculaires à ce plan. Il faut signaler les traités de perspective de Jean Pélerin (1505) et d'Albert Dürer (1525). Au xve siècle, les architectes, tels que Filippo Brunelleschi et Leon Battista Alberti, contribuent aussi au développement de la perspective pratique. Des considérations de perspective se rencontrent également dans la gnomonique (art des cadrans solaires) et dans la stéréotomie ou taille des pierres. Plus tard, la perspective est développée pour les besoins des fortifications et de la « scénographie ». Mais elle demeurait encore au début du xviie siècle une discipline sans rapport avec la science géométrique. C'est Desargues qui, le premier, rapprochera ces deux ordres de recherches.

Desargues et Pascal

Le Français Gérard Desargues (1593-1662), ingénieur et architecte, appartient au milieu des praticiens. Il a été en rapport avec les milieux savants de l'époque. Son souci d'une rationalisation et d'une simplification de la perspective par la mise en lumière de nouvelles méthodes géométriques l'amène, en 1639, deux ans après la Géométrie de Descartes, à publier Brouillon projet d'une atteinte des événements des rencontres du cône avec un plan, petit ouvrage de quarante pages, tiré seulement à cinquante exemplaires. Rédigé de façon assez obscure, utilisant des termes nouveaux, qui, pour la plupart, ne seront pas retenus, cet opuscule est accueilli avec estime par Descartes et par Fermat ; pourtant ceux-ci n'en savent pas reconnaître l'originalité et la portée ; il se heurte à de violentes oppositions, notamment, à celles d'auteurs de traités de perspective pratique. Seul Pascal (1623-1662) comprend vraiment Desargues. Il voit en lui « un des grands esprits de ce temps et des plus versés aux mathématiques ». Pascal s'inspire très directement des vues de Desargues dans son Essay pour les coniques (1640), texte de quelques pages présentant déjà le vaste programme que développera le Traité des coniques, achevé entre 1654 et 1658, mais qui ne fut pas publié et dont il ne reste qu'un résumé et un commentaire dus à Leibniz. Philippe de La Hire (1640-1718), dans deux traités sur les coniques (1673, 1679), reprend et systématise les idées et les résultats de Desargues et de Pascal sans y apporter toutefois des éléments notablement nouveaux.

Après La Hire et pendant près d'un siècle, la géométrie projective tombe dans l'oubli. Cela s'explique surtout par l'intérêt porté alors à la géométrie analytique promue par Descartes et au développement du calcul infinitésimal auquel Leibniz et Newton venaient de donner son plein essor.

La nouveauté de l'œuvre géométrique de Desargues réside essentiellement dans l'introduction, en géométrie, de la projection centrale ; elle permet à ce mathématicien des démonstrations « par le relief ». Ainsi, il démontre pour le cercle des propriétés relatives aux polaires et aux tangentes ; ensuite, par une projection centrale qui transforme le cercle en une conique, il les étend aux coniques. D'autre part, se fondant sur le fait que, dans une perspective, des droites parallèles se transforment en droites concourantes, Desargues complète l'espace euclidien, en définissant les points à l'infini, qui seront considérés comme de même nature que les points à distance finie. Dès lors, Desargues pouvait substituer à l'étude séparée des trois catégories de coniques, selon la manière de faire d'Apollonios, une étude unique.

On lui doit en outre l'introduction de la notion – et du terme – d'involution, étroitement liée à la notion de la division harmonique. Ces questions, on l'a vu, n'étaient pas ignorées des Grecs, mais elles n'avaient pas encore été étudiées systématiquement.

Au langage près, assez complexe chez lui parce que dépourvu de notations symboliques, Desargues définit l'involution sur une droite, ainsi qu'on le fait aujourd'hui, comme une correspondance symétrique et donc réciproque de deux points sur une droite. Elle s'écrit sous forme canonique xy k. Tout couple de points d'une involution est conjugué harmonique des deux points doubles x = ± k. Desargues envisage seulement le cas où ces points sont réels. Il montre aussi que deux couples de points définissent une involution et il s'intéres [...]

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  • : ancien élève de l'École polytechnique, docteur en droit, conseiller à l'U.N.E.S.C.O.

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Pour citer l’article

François RUSSO, « GÉOMÉTRIE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 26 novembre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/geometrie/