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GÉOMÉTRIE

La géométrie analytique

Origines

Il est assez habituel de considérer que la géométrie analytique a été créée par Descartes. En réalité, cette vue est trop simple. Si la « géométrie analytique » est prise au sens moderne de l'expression, celle de Descartes en était encore assez éloignée. D'autre part, plusieurs éléments caractéristiques de la géométrie analytique avaient été formulés avant Descartes.

Coordonnées - crédits : Planeta Actimedia S.A.© Encyclopædia Universalis France pour la version française.

Coordonnées

La géométrie analytique paraît consister dans l'association de trois facteurs : l'expression d'une réalité géométrique par une relation entre des quantités variables, l'usage des coordonnées, le principe de la représentation graphique. Or, si chacun de ces trois facteurs se rencontre assez tôt dans le développement de la géométrie avant Descartes, ils n'ont cependant pas été rapprochés.

Dès la plus haute antiquité, l'observation astronomique avait conduit à repérer les directions dans l'espace par deux coordonnées angulaires : hauteur au-dessus de l'horizon, écart par rapport au méridien. Et, très tôt, furent mises en évidence des relations entre ces coordonnées. Mais il s'agissait là de pratiques qui étaient à peu près sans rapport avec la science géométrique. Au contraire, c'est au cœur même de la géométrie que l'on voit intervenir chez les Grecs un calcul portant sur deux variables en vue de caractériser des réalités géométriques et d'en établir les propriétés. Chez Archimède et surtout chez Apollonios, un tel calcul est développé systématiquement pour l'étude des coniques. Apollonios écrit explicitement les équations des coniques en coordonnées obliques ayant pour origine un point de la conique et pour directions le diamètre correspondant à ce point et son diamètre conjugué :

pour l'hyperbole, l'ellipse et la parabole respectivement.

Dans une perspective tout à fait différente, Nicolas Oresme, au xive siècle, imagine une représentation graphique de certains phénomènes. Il distingue une latitudo et une longitudo qui correspondent à l'abscisse et à l'ordonnée d'une représentation en coordonnées rectangulaires. Cette façon de faire est inverse de celle des Grecs, puisque Oresme ne part pas d'une réalité géométrique mais exprime sous forme géométrique une relation entre des grandeurs. La conception même d'une telle correspondance doit être considérée comme s'inscrivant dans le cadre des idées qui sont à la base de la géométrie analytique. Toutefois, les vues d'Oresme, en dépit de la grande faveur qu'elles connurent, ne furent aucunement rapprochées des pratiques « analytiques » des Grecs dont l'Occident prit connaissance vers la fin du xvie siècle avec la publication en latin des œuvres d'Archimède et d'Apollonios.

Descartes et Fermat

Le calcul géométrique exposé par Descartes (1596-1650) dans sa Géométrie (1637) ne diffère guère en son principe du calcul d'Apollonios. Il porte sur deux variables que l'on peut sans doute considérer comme constituant des coordonnées ; mais on n'y trouve pas explicités des axes de coordonnées, c'est-à-dire deux droites orientées, distinctes des lignes de la figure. Toutefois, dans quelques passages de son ouvrage, Descartes précise qu'il choisit sur une droite, distincte de la figure, un point origine ; mais il ne fait pas intervenir un autre axe de coordonnées, se contentant de choisir une direction selon laquelle est mesurée la seconde variable.

Le vrai progrès réalisé par Descartes réside en ce que, au lieu de limiter un tel calcul à l'étude d'une figure donnée, comme le faisaient les Grecs, il le pose en procédé général susceptible de permettre la création d'une infinité de courbes nouvelles. Malheureusement, il limite singulièrement le champ de sa géométrie en refusant d'y recevoir les « courbes décrites[...]

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Écrit par

  • : ancien élève de l'École polytechnique, docteur en droit, conseiller à l'U.N.E.S.C.O.

Classification

Pour citer cet article

François RUSSO. GÉOMÉTRIE [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )

Article mis en ligne le et modifié le 14/03/2009

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Pythagore - crédits : Hulton Archive/ Getty Images

Pythagore

Euclide - Alexandrie (Égypte) - crédits : Hulton Archive/ Getty Images

Euclide - Alexandrie (Égypte)

Coniques - crédits : Planeta Actimedia S.A.© Encyclopædia Universalis France pour la version française.

Coniques

Autres références

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