GÉOMÉTRIE

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Les géométries non euclidiennes

Jusqu'au début du xviiie siècle, le problème posé par le postulat des parallèles fut envisagé dans la même perspective : le postulat n'est pas une évidence première, mais une vérité qu'on doit pouvoir démontrer. La plupart des démonstrations se fondent sur la définition de la parallèle comme droite équidistante à une droite donnée, définition que l'on ne trouve pas dans les Éléments d'Euclide, il faut le noter. On ne soupçonne pas le cercle vicieux qu'implique une telle façon de faire, la possibilité qu'une droite puisse être équidistante à une autre droite supposant le postulat. Telles se présentent les démonstrations de Posidonius (iie siècle av. J.-C.), de Geminus (ie siècle apr. J.-C.), de Proclus (ve siècle apr. J.-C.) ; et encore celle du jésuite Clavius (1537-1612) à la fin du xvie siècle, celui-ci doutant cependant de la validité de sa démarche. Le jésuite G. Saccheri, dans son Euclides ab omni naevo vindicatus (1733), est le premier mathématicien à mettre nettement en doute la validité des démonstrations fondées sur l'équidistance et à proposer une autre approche, la réduction à l'absurde : supposer que le postulat des parallèles ne vaut pas et démontrer que cette hypothèse aboutit à une contradiction. À cet effet, Saccheri fait appel au trapèze isocèle qu'avait introduit le géomètre arabe Nāṣir al-Dīn (xiiie siècle). Ce trapèze est construit en menant perpendiculairement aux extrémités d'une droite AB deux segments égaux AC et AD. Les angles intérieurs en C et D sont égaux. Ils valent un droit dans le cas où le postulat est vrai ; dans le cas contraire, ils sont soit aigus, soit obtus. Ainsi, bien avant que ne soit prouvée la validité des géométries non euclidiennes, était mis en évidence le dédoublement de l'hypothèse de la négation du postulat : angle aigu (géométrie de Lobatchevski), angle obtus (géométrie de Riemann). Nāṣir al-Dīn avait très vite cru pouvoir conclure que ces angles intérieurs en C et D étaient droits, pensant donc avoir démontré le postulat. Saccheri arrive à la même conclusion, mais au terme de longs développements, au cours desquels, contre son gré pourrait-on dire, il édifie pour une grande part la géométrie de Nikolaï Ivanovitch Lobatchevski (1792-1856) et pour une moindre part celle de Bernhard Riemann (1826-1866). Finalement, il rejette les deux hypothèses de l'angle aigu et de l'angle obtus, car elles le conduisent à deux conclusions qu'il estime non admissibles, la première à l'existence d'une perpendiculaire commune à deux droites à l'infini, la seconde à l'affirmation que deux droites contiennent un espace.

Plus de trente ans plus tard, en 1766, le mathématicien suisse Johann Heinrich Lambert (1728-1777), indépendamment semble-t-il de Saccheri, dans une étude qui ne sera publiée qu'en 1786, suit fondamentalement la même démarche que Saccheri. Mais si, comme ce dernier, il rejette l'hypothèse de l'angle obtus, il est plus hésitant dans le cas de l'angle aigu.

Carl Friedrich Gauss (1777-1855) amorce vraiment, autour des années 1820, la rupture avec la croyance bimillénaire en la démonstrabilité du postulat des parallèles : Gauss pense que l'on peut démontrer de façon rigoureuse que l'hypothèse de l'angle obtus conduit à une contradiction, mais il arrive à la conviction que l'on ne peut pas y parvenir dans le cas de l'hypothèse de l'angle aigu. Cette vue entraîne un changement radical dans la conception de la géométrie. Gauss déclare que, désormais, « la géométrie ne doit pas être mise au même rang que l'arithmétique dont la vérité est purement a priori, mais plutôt au même rang que la mécanique ».

Lobatchevski, dont les travaux se situent entre 1826 et 1856, parvient en 1834 à une conclusion encore plus explicite : « La vérité à établir – le postulat des parallèles – n'est pas impliquée dans les notions antérieures ; pour la démontrer, il faut recourir à des expériences, par exemple aux observations astronomiques. » Ces expériences furent faites à l'époque et montrèrent qu'au degré de précision des appareils de mesure on ne pouvait écarter la géométrie euclidienne. Le mathématicien hongrois János Bolyai (1802-1860), qui, indépendamment de Lobatchevski, élabore de façon assez complète la géométrie de l'angle aigu dans La Science absolue de l'espace (1832), n'a pas une attitude aussi nette ; il n'aperçoit pas clairement que la validité du postulat des parallèles est à chercher non dans une déduction logique à partir des axiomes d'Euclide, mais dans l'expérience.

Quant à l'hypothèse de l'angle obtus, en 1854, elle est reconnue acceptable par Riemann, bien qu'elle conduise à affirmer que les droites sont de longueur finie et que deux droites peuvent enfermer un espace.

Toutefois, ces vues nouvelles ne firent qu'assez lentement leur chemin. Il restait d'ailleurs à s'assurer qu'en poursuivant le développement des deux géométries non euclidiennes, on n'y rencontrerait pas de contradiction, ce qui ne fut réalisé de façon pleinement satisfaisante qu'à la fin du xixe siècle grâce aux travaux de Klein et par l'élaboration de modèles des deux géométries ; ainsi, pour la géométrie de Bolyai-Lobatchevski, par le modèle de Henri Poincaré (1854-1912), où l'on considère le demi-plan et où les droites sont représentées par les demi-cercles centrés sur la droite qui limite ce demi-plan ; et, pour la géométrie de Riemann, par une correspondance associant à un point de l'espace une droite, et à une droite un plan (cf. groupes [mathématiques]- Groupes classiques et géométrie, chap. 3).

Soit qu'au début ils les rejettent comme aboutissant à des contradictions, soit que, au contraire, ne parvenant pas à y trouver de contradiction, ils inclinent à les reconnaître valables, durant un siècle environ, à partir de Saccheri jusqu'à Lobatchevski et Bolyai, les géomètres ont peu à peu élaboré la géométrie de l'angle aigu et, de façon beaucoup plus sommaire, celle de l'angle obtus qui ne prend vraiment consistance qu'après son acceptation par Riemann.

Saccheri et Lambert montrent que les trois hypothèses, angle aigu, angle droit, angle obtus, sont stables, c'est-à-dire que, si elles valent pour un trapèze, elles valent pour tout trapèze. Ils établissent en outre que ces trois hypothèses sont équivalentes aux trois catégories de valeurs possibles pour la somme des angles d'un triangle : inférieure, égale, supérieure à deux droits.

Dans le cas de l'angle aigu, Saccheri montre, ce qu'avait à peine aperçu Lambert, que, pour un point situé hors d'une droite, on peut mener une infinité de droites non sécantes. Pour chaque droite non sécante, on peut déterminer une perpendiculaire commune à cette n [...]

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  • : ancien élève de l'École polytechnique, docteur en droit, conseiller à l'U.N.E.S.C.O.

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Pour citer l’article

François RUSSO, « GÉOMÉTRIE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 26 novembre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/geometrie/