NOMBRES (THÉORIE DES)Nombres p-adiques

Analyse p-adique

On peut développer une théorie des fonctions analytiques de variables p-adiques en définissant de telles fonctions par des développements en séries entières convergentes (cf. fonctions analytiques - Fonctions analytiques d'une variable complexe).

Par exemple, la série exponentielle :

converge dans le « disque ouvert » de Q_p défini par l'inégalité :en effet :et le nombre d'entiers k ≤ n tels que v_p(k) ≥ r est égal à la partie entière [n/p^r] du nombre rationnel n/p^r, ce qui donne :en désignant par s_n la somme des coefficients du développement p-adique de n (si n = Σa_ipⁱ avec 0 ≤ a_i ≤ p − 1, on a s_n = Σa_i) ; on en déduit facilement que v_p(1/n !)/n converge vers − 1/(p − 1) pour n infini, c'est-à-dire que |1/n !|^1/n converge vers p^1/(p−1). On peut donc définir une fonction exponentielle x ↦ exp x pour |x| < p^−1/(p−1) ; il est clair que l'on a :et que la fonction exponentielle ne s'annule pas dans son disque de convergence : elle définit un homomorphisme de ce disque, qui est un sous-groupe du groupe additif de Q_p (à savoir pZ_p si p ≠ 2 et 4Z₂ si p = 2), dans le groupe multiplicatif de Q_p^*. C'est en fait un isomorphisme sur un sous-groupe de Q_p^*, comme on peut le montrer à l'aide de la fonction logarithme définie par la série :qui converge pour v_p(y) > 0 et définit donc un logarithme dans U₁ ; on peut vérifier que :pour v_p(x) > 1/(p − 1) et, par suite, exp définit un isomorphisme de pZ_p sur U₁ si p ≠ 2 et de 4 Z₂ sur U₂ si p = 2 : on retrouve les isomorphismes du chapitre 3.

Comme le corps Q_p est totalement discontinu, on ne peut espérer une théorie globale raisonnable pour les fonctions analytiques au sens habituel, c'est-à-dire définies localement par des développements en série. Il y a cependant une théorie globale pour les fonctions « strictement holomorphes » ; donnons, par exemple, la définition des fonctions strictement holomorphes dans la « couronne » :

Ce sont les fonctions définies par des développements de Laurent :

qui vérifient la condition de convergence suivante : pour tout ρ ∈ [r, R], |a_n|ρⁿ tend vers 0 lorsque n tend vers ± ∞ ; l'espace L(r, R) de ces développements de Laurent est un espace de Banach sur le corps Q_p pour la norme (ultramétrique) :et on peut y définir une multiplication qui en fait une algèbre de Banach. On démontre que L(r, R) est un anneau principal et que ses éléments irréductibles sont les polynômes unitaires irréductibles dont les racines (dans une clôture algébrique de Q_p) ont des valeurs absolues dans l'intervalle [r, R], ainsi que les produits de ces polynômes par des éléments inversibles ; ces derniers sont les développements de la forme :avec |a_n|rⁿ < 1 et |a_n|Rⁿ < 1 pour tout n. M. Lazard a généralisé ces résultats au cas d'une couronne « ouverte » (définie par des inégalités strictes) et a obtenu des théorèmes analogues à ceux de Weierstrass (développement en produit infini d'une fonction strictement méromorphe) et de Mittag-Leffler.

En s'inspirant de la théorie de Jacobi, J. Tate a élaboré une théorie analytique des fonctions elliptiques sur un corps p-adique. Soit q ∈ Q_p tel que 0 < |q| < 1, on considère le corps des fonctions strictement méromorphes dans Q_p − {0} (couronne de rayons 0 et ∞) qui sont invariantes par la multiplication par q, c'est-à-dire f (qx) = f (x) ; on peut montrer que c'est un corps de fonctions algébriques d'une variable et que son genre est 1, c'est-à-dire qu'il s'identifie au corps des fonctions rationnelles sur une courbe elliptique. Cette théorie donne l'uniformisation de certaines courbes elliptiques sur Q_p ; plus récemment, M. Raynaud et D. Mumford ont étudié d'une manière analogue les variétés abéliennes et les courbes algébriques de genre ≥ 2.

J. Tate a également donné une définition des espaces analytiques p-adiques qui permet d'étudier les fonctions analytiques de plusieurs variables. Les principaux théorèmes de la théorie des faisceaux cohérents (cf. fonctions analytiques - Fonctions analytiques de plusieurs variables) ont été établis pour ces espaces (J. Tate et R. Kiehl). Le renouveau d'intérêt pour l'analyse p-adique vient surtout de la démonstration par Dwork de la rationalité de la fonction zêta d'une variété algébrique sur un corps fini (cf. fonction zêta) ; la méthode utilisée consiste à démontrer la rationalité d'une série formelle à coefficients entiers en étudiant ses propriétés comme fon [...]

1  2  3  4  5 …
pour nos abonnés,
l’article se compose de 8 pages