NOMBRES (THÉORIE DES)Nombres p-adiques

On peut développer une théorie des fonctions analytiques de variables p-adiques en définissant de telles fonctions par des développements en séries entières convergentes (cf. fonctions analytiques - Fonctions analytiques d'une variable complexe).

Par exemple, la série exponentielle :

converge dans le « disque ouvert » de Q_p défini par l'inégalité :en effet :et le nombre d'entiers k ≤ n tels que v_p(k) ≥ r est égal à la partie entière [n/p^r] du nombre rationnel n/p^r, ce qui donne :en désignant par s_n la somme des coefficients du développement p-adique de n (si n = Σa_ipⁱ avec 0 ≤ a_i ≤ p − 1, on a s_n = Σa_i) ; on en déduit facilement que v_p(1/n !)/n converge vers − 1/(p − 1) pour n infini, c'est-à-dire que |1/n !|^1/n converge vers p^1/(p−1). On peut donc définir une fonction exponentielle x ↦ exp x pour |x| < p^−1/(p−1) ; il est clair que l'on a :et que la fonction exponentielle ne s'annule pas dans son disque de convergence : elle définit un homomorphisme de ce disque, qui est un sous-groupe du groupe additif de Q_p (à savoir pZ_p si p ≠ 2 et 4Z₂ si p = 2), dans le groupe multiplicatif de Q_p^*. C'est en fait un isomorphisme sur un sous-groupe de Q_p^*, comme on peut le montrer à l'aide de la fonction logarithme définie par la série :qui converge pour v_p(y) > 0 et définit donc un logarithme dans U₁ ; on peut vérifier que :pour v_p(x) > 1/(p − 1) et, par suite, exp définit un isomorphisme de pZ_p sur U₁ si p ≠ 2 et de 4 Z₂ sur U₂ si p = 2 : on retrouve les isomorphismes du chapitre 3.

Comme le corps Q_p est totalement discontinu, on ne peut espérer une théorie globale raisonnable pour les fonctions analytiques au sens habituel, c'est-à-dire définies localement par des développements en série. Il y a cependant une théorie globale pour les fonctions « strictement holomorphes » ; donnons, par exemple, la définition des fonctions strictement holomorphes dans la « couronne » :

Ce sont les fonctions définies par des développements de Laurent :

qui vérifient la condition de convergence suivante : pour tout ρ ∈ [r, R], |a_n|ρⁿ tend vers 0 lorsque n tend vers ± ∞ ; l'espace L(r, [...]