NOMBRES (THÉORIE DES)Nombres p-adiques

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Analyse p-adique

On peut développer une théorie des fonctions analytiques de variables p-adiques en définissant de telles fonctions par des développements en séries entières convergentes (cf. fonctions analytiques - Fonctions analytiques d'une variable complexe).

Par exemple, la série exponentielle :

converge dans le « disque ouvert » de Qp défini par l'inégalité :
en effet :
et le nombre d'entiers ≤ n tels que vp(k) ≥ r est égal à la partie entière [n/pr] du nombre rationnel n/pr, ce qui donne :
en désignant par sn la somme des coefficients du développement p-adique de n (si n = Σaipi avec 0 ≤ a≤ p − 1, on a sn = Σai) ; on en déduit facilement que vp(1/n !)/n converge vers − 1/(p − 1) pour n infini, c'est-à-dire que |1/n !|1/n converge vers p1/(p−1). On peut donc définir une fonction exponentielle ↦ exp x pour |x| < p−1/(p−1) ; il est clair que l'on a :
et que la fonction exponentielle ne s'annule pas dans son disque de convergence : elle définit un homomorphisme de ce disque, qui est un sous-groupe du groupe additif de Qp (à savoir pZp si ≠ 2 et 4Z2 si p = 2), dans le groupe multiplicatif de Qp*. C'est en fait un isomorphisme sur un sous-groupe de Qp*, comme on peut le montrer à l'aide de la fonction logarithme définie par la série :
qui converge pour vp(y) > 0 et définit donc un logarithme dans U1 ; on peut vérifier que :
pour vp(x) > 1/(p − 1) et, par suite, exp définit un isomorphisme de pZp sur U1 si ≠ 2 et de 4 Z2 sur U2 si p = 2 : on retrouve les isomorphismes du chapitre 3.

Comme le corps Qp est totalement discontinu, on ne peut espérer une théorie globale raisonnable pour les fonctions analytiques au sens habituel, c'est-à-dire définies localement par des développements en série. Il y a cependant une théorie globale pour les fonctions « strictement holomorphes » ; donnons, par exemple, la définition des fonctions strictement holomorphes dans la « couronne » :

Ce sont les fonctions définies par des développements de Laurent :

qui vérifient la condition de convergence suivante : pour tout ρ ∈ [r, R], |ann tend vers 0 lorsque n tend vers ± ∞ ; l'espace L(r, [...]

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Écrit par :

  • : directeur de recherche au C.N.R.S., professeur à l'université de Paris-VIII-Denis-Diderot

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Pour citer l’article

Christian HOUZEL, « NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres p-adiques », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 24 janvier 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-theorie-des-nombres-p-adiques/